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| Aufgabe | | Zeige: Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist eine [mm] Untergruppe.\\ [/mm] |
Hallo,
sei dazu [mm] $\eta:G\rightarrow [/mm] G'$ ein Gruppenhomomorphismus. Dann
ist [mm] Ker($\eta)=\{g\in G|\eta(g)=1_{G}\}.$\\
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht so recht mit welcher Verknüpfung ich arbeiten
muss.
Normalerweise ist zu zeigen: [mm] $g,h\in [/mm] Kern,$ dann [mm] $g\circ h\in Kern$.\\
[/mm]
Das wäre auch nicht so das Problem, wenn ich das Verknüpfungsproblem
gelöst hätte.
Und dann muss ich noch zeigen, dass das Inverse im Kern liegt.
Wie mache ich aber das hier, bzw. wie komme ich hier auf das Inverse?
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Hallo T_Sleeper,
> Zeige: Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist eine
> [mm]Untergruppe.\\[/mm]
> Hallo,
> sei dazu [mm]\eta:G\rightarrow G'[/mm] ein Gruppenhomomorphismus.
> Dann
> ist [mm] $Ker(\eta)=\{g\in G|\eta(g)=1_{G\red{'}}\}$
[/mm]
Der Kern ist doch die Menge aller [mm] $g\in [/mm] G$, die auf das neutrale Element in der Zielgruppe, hier also $G'$ abgebildet werden!
> Ich weiß
> jetzt nicht so recht mit welcher Verknüpfung ich arbeiten
> muss.
Mit derselben Verknüpfung, die für $G$ definiert ist
>
> Normalerweise ist zu zeigen: [mm]g,h\in Kern,[/mm] dann [mm]g\circ h\in Kern[/mm][mm] .\\[/mm]
Und dass [mm] $Ker(\mu)\neq\emptyset$, [/mm] aber das ist ja klar, da [mm] $1_G\in Ker(\mu)$, [/mm] es ist ja [mm] $\mu(1_G)=1_{G'}$ [/mm] ..
>
> Das wäre auch nicht so das Problem, wenn ich das
> Verknüpfungsproblem
> gelöst hätte.
> Und dann muss ich noch zeigen, dass das Inverse im Kern
> liegt.
> Wie mache ich aber das hier, bzw. wie komme ich hier auf
> das Inverse?
Na, nimm dir ein Element [mm] $g\in Ker(\mu)$ [/mm] her.
Dann prüfe, ob [mm] $g^{-1}\in Ker(\mu)$ [/mm] liegt, ob also [mm] $g^{-1}$ [/mm] unter [mm] $\mu$ [/mm] auf [mm] $1_{G'}$ [/mm] abgebildet wird:
Dazu schaue dir an, wie [mm] $\mu\left(g^{-1}\right)$ [/mm] aussieht, bedenke, dass [mm] $\mu$ [/mm] ein Homomorphismus ist (und G' eine Gruppe)
LG
schachuzipus
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> Hallo T_Sleeper,
>
>
>
> > Zeige: Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist eine
> > [mm]Untergruppe.\\[/mm]
> > Hallo,
> > sei dazu [mm]\eta:G\rightarrow G'[/mm] ein
> Gruppenhomomorphismus.
> > Dann
> > ist [mm]Ker(\eta)=\{g\in G|\eta(g)=1_{G\red{'}}\}[/mm]
>
> Der Kern ist doch die Menge aller [mm]g\in G[/mm], die auf das
> neutrale Element in der Zielgruppe, hier also [mm]G'[/mm] abgebildet
> werden!
Ja das hatte ich auch gemeint.
>
> > Ich weiß
> > jetzt nicht so recht mit welcher Verknüpfung ich arbeiten
> > muss.
>
> Mit derselben Verknüpfung, die für [mm]G[/mm] definiert ist
Also: [mm] \eta(g\circ h)=\eta(g)\circ\eta(h)=1_{G'}\circ 1_{G'}=1_{G'}?
[/mm]
>
> >
> > Normalerweise ist zu zeigen: [mm]g,h\in Kern,[/mm] dann [mm]g\circ h\in Kern[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> Und dass [mm]Ker(\mu)\neq\emptyset[/mm], aber das ist ja klar, da
> [mm]1_G\in Ker(\mu)[/mm], es ist ja [mm]\mu(1_G)=1_{G'}[/mm] ..
>
> >
> > Das wäre auch nicht so das Problem, wenn ich das
> > Verknüpfungsproblem
> > gelöst hätte.
> > Und dann muss ich noch zeigen, dass das Inverse im Kern
> > liegt.
> > Wie mache ich aber das hier, bzw. wie komme ich hier
> auf
> > das Inverse?
>
> Na, nimm dir ein Element [mm]g\in Ker(\mu)[/mm] her.
>
> Dann prüfe, ob [mm]g^{-1}\in Ker(\mu)[/mm] liegt, ob also [mm]g^{-1}[/mm]
> unter [mm]\mu[/mm] auf [mm]1_{G'}[/mm] abgebildet wird:
>
> Dazu schaue dir an, wie [mm]\mu\left(g^{-1}\right)[/mm] aussieht,
> bedenke, dass [mm]\mu[/mm] ein Homomorphismus ist (und G' eine
> Gruppe)
Ok, also ist klar, dass [mm] g^{-1} [/mm] als Inverses der Gruppe existiert, dann ist:
[mm] \mu(g\circ g^{-1})=\mu(1_G)=1_{G'} [/mm] und aber auch: [mm] \mu(g \circ g^{-1})=\mu(g)\circ \mu(g^{-1})=1_{G'}\circ \mu(g^{-1})=\mu(g^{-1}), [/mm] also [mm] \mu(g^{-1})=1_{G'} [/mm] so in etwa?
>
> LG
>
> schachuzipus
>
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Hehe,
lass uns aber noch alle [mm] $\mu$ [/mm] durch [mm] $\eta$ [/mm] ersetzen 
LG
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
dann ist:
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
