untervektorraum < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Sa 29.09.2007 | | Autor: | raynes |
| Aufgabe | | Es sei U der von (3,1,1) und (2,0,3) erzeugte UVR von [mm] R^3. [/mm] untersuche ob [mm] \vec{c} [/mm] zu U gehört: [mm] \vec{c}=(31,7,22) [/mm] |
ich hab krankheitsbedingt ne woche in der schule gefehlt und schreib am dienstag ne klausur. ich hab keine ahnung wie man die zugehörigkeit zu einem uvr untersucht....mein gefühl würde mir sagen, dass ich die drei vektoren nebeneinander in die erweiterte koeffizienten-matrix stelle und gleich null setze. wenn das richtig ist, was dann? bitte helft mir...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Sa 29.09.2007 | | Autor: | alex42 |
Hallo raynes,
ein Untervektorraum ist, vereinfacht gesagt, die Menge aller Linearkombinationen der erzeugenden Vektoren, bei zwei Vektoren also die Ebene, die durch den Ursprung geht und durch die zwei Vektoren aufgespannt wird. Bei der Aufgabe sollst du nun prüfen, ob der Vektor [mm] $\vec{c}$ [/mm] in der Ebene liegt.
Dazu musst du nun [mm] $\vec{c}$ [/mm] als Linearkombination von deinen beiden Vektoren darstellen und die Koeffizienten bestimmen. Ist das entstehende Gleichungssystem nichttrivial lösbar (nicht alle Koeffizienten sind 0), liegt [mm] $\vec{c}$ [/mm] in der Ebene, sonst nicht.
Gruß Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Sa 29.09.2007 | | Autor: | raynes |
okay, ich hab a=7 und b=5 raus, was muss ich jetzt tun? den schluss hab ich nicht ganz verstanden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Sa 29.09.2007 | | Autor: | alex42 |
Also die Lösung sieht gut aus.
Du hast somit eine gültige Linearkombination für [mm] $\vec{c}$ [/mm] gefunden: Nennen wir die beiden erzeugenden Vektoren [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$. [/mm] Dann gilt die Darstellung
[mm] $\vec{c} [/mm] = [mm] 7\vec{u} [/mm] + [mm] 5\vec{v}$
[/mm]
[mm] $\vec{c}$ [/mm] liegt damit in der Ebene. Hättest du dagegen herausbekommen, dass es keine Lösung a, b gibt, also [mm] $\vec{c}$ [/mm] nicht duch [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] darstellbar wäre, wäre [mm] $\vec{c}$ [/mm] NICHT im UVR enthalten.
Gruß Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Sa 29.09.2007 | | Autor: | raynes |
okay verstanden, ist ja ganz leicht, vielen dank
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