untervektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Fr 06.05.2005 | | Autor: | woody |
hi
wir befassen uns gerade mit untervektorräumen in der matrizenrechnung. jedoch habe ich nix verstanden. also die frage, was sind untervektorräume und was muss ich bei der berechnung beachten?
vielleicht könnten wir es an folgender aufgabe mal ausprobieren:
bildet U1 = [mm] (\vektor{x_{1} \\ x_{2}} \varepsilon [/mm] R [mm] ^{2}:X_{1}=X_{2}) [/mm] EIN UNTERVEKTORRAUM VON [mm] R^{2} [/mm] ?
wie rechnet man so eine aufgabe? help*
woody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> hi
> wir befassen uns gerade mit untervektorräumen in der
> matrizenrechnung. jedoch habe ich nix verstanden. also die
> frage, was sind untervektorräume und was muss ich bei der
> berechnung beachten?
> vielleicht könnten wir es an folgender aufgabe mal
> ausprobieren:
> bildet U1 = [mm](\vektor{x_{1} \\ x_{2}} \varepsilon[/mm] R
> [mm]^{2}:X_{1}=X_{2})[/mm] EIN UNTERVEKTORRAUM VON [mm]R^{2}[/mm] ?
> wie rechnet man so eine aufgabe? help*
> woody
Keine Panik! Wir versuchen unser Bestes hier! 
Also du hast die Menge U1 $:= [mm] \{ \vektor{x_1 \\ x_2} \in \IR^2 | x_1 = x_2 \} [/mm] $ gegeben. Was bedeutet das? Also von meinem gesamten Raum [mm] $\IR^2$ [/mm] betrachte ich jetzt nur die Paare [mm] $\vektor{ x_1 \\ x_2}$, [/mm] bei denen erste und zweite Komponente übereinstimmen.
Also z.B. (3 , 3) , (745.98, 745.98) usw. (Ich schreibe die (Spalten-)Vektoren mal transopniert als Zeilenvektoren, weil das einfacher aufzuschreiben ist, ok? )
Was müssen wir nun für unseren Untervektorraum (UVR) überprüfen?
Nun zunächst muss die 0 aus [mm] $\IR^2$, [/mm] also der Vektor (0,0) enthalten sein. Das ist er offensichtlich, da beide Komponenten übereinstimmen, und damit der Nullvektor in der Menge U1 liegt.
Dann müssen wir die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und skalaren Multiplikation überprüfen:
Man nimmt sich zwei vektoren aus U1 her und überprüft das:
Also nehmen wir allgemein (a,a) und (b,b) aus U1.
Dann ist (a,a) + (b,b) = (a+b, a+b). Dann liegt das aber auch in U1, weil es die Bedingung erste Komponente = zweite Komponente erfüllt.
Ebenso bei der Skalaren Multiplikation. Nehmen wir ein t aus [mm] $\IR$, [/mm] dann ist:
t (a,a) = (t a, t a) und das ist auch aus U1.
Damit haben wir alles gezeigt, was wir müssen und bewiesen, dass U1 ein UVR ist.
Wenn etwas unklar blieb, dass frage bitte!
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Sa 07.05.2005 | | Autor: | zoe |
Hallo in den Matheraum,
wir haben gerade ähnliche Aufgaben und ich bin mir unsicher, ob mein Gedankengang der richtige ist.
Bei uns ist ein Zahlentripel gegeben: z.B. M = [mm] {(2\gamma, 0, 3\gamma)/ \gamma \varepsilon R}
[/mm]
In meinen Augen wäre das ein UVR, da das Nullelement enthalten ist, und bezüglich der Addition und Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen.
Ein anderes Beispiel: M= {(5, [mm] 2\gamma, -\gamma)/\gamma \varepsilon [/mm] R}
ist dann kein UVR, da das Nullelement nicht enthalten ist.
Sind meine Gedanken so weit richtig?
Dankbare, nachfragende Grüße von zoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Sa 07.05.2005 | | Autor: | zoe |
Danke lieber Paul *Kuß* ... und schon wieder *rotwerd* ... Gut, das kann ich dann als verstanden abhaken, bleibt aber noch ein Problem .. ich arbeite noch daran und werde mich dann dazu äußern *ankündig* ..
Riesenknuddel von zoe
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