urnenaufgabe < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 So 11.10.2009 | | Autor: | quade521 |
Hallo,
habe diese aufgabe gefunden
Eine Urne enthält eine rote, eine schwarze und eine grüne Kugel.
Es wird solange ohne zurücklegen eine Kugel gezogen, bis eine grüne Kugel erscheint.
Wird die grüne Kugel im 1. Zug gezogen, so ist die Ausspielung 2 €.
Wird die grüne Kugel im 2. Zug gezogen, so ist die Ausspielung 1 €.
Wird die grüne Kugel im 3. Zug gezogen, so ist die Ausspielung 0 €.
Wie hoch muss der Einsatz sein, damit es sich um ein faires Spiel handelt?
ich habe den erwartungswert E(X) mittels eines Baumdiagramms errechnet
im ersten Zug grün zu ziehen = 1* 1/3
nach dem zweiten zug grün gezogen zu haben = 2* 2/3 * 1/2
nach dem dritten zug = 3* 2/3 * 1/2 * 1
dann komm ich auf E(X)= 2 in der lösung der aufgabe hier
http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/stoch_01_10.htm#L3
kommt aber E(X) =1 raus wo liegt denn mein fehler? Zumal es doch logisch ist, wenn E(X) = 2 Züge im Schnitt ist und bei 2 Zügen 1€ gewinn ausgeschüttet wird das los, damit das Spiel fair ist auch genau 1€ kosten muss ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 So 11.10.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
ohne mir den Link angesehen zu haben, würde ich deinen Denkfehler hier vermuten:
> im ersten Zug grün zu ziehen = [mm] \red{1}* [/mm] 1/3
> nach dem zweiten zug grün gezogen zu haben = [mm] \red{2}*2/3*1/2 [/mm]
> nach dem dritten zug = [mm] \red{3}* [/mm] 2/3 * 1/2 * 1
>
> dann komm ich auf E(X)= 2
Dass du hier E(X)=2 erhälst, ist korrekt, aber hat mir der Aufgabe nichts mehr zu tun.
Bereits hier
> im ersten Zug grün zu ziehen = 1*1/3
stimmt's schon nicht. Der Spieler erhält doch 2 €, wenn er im 1. Zug eine grüne Kugel zieht und nicht nur 1 €.
Zieht er im 2. Zug eine grüne Kugel, erhält er 1 € [mm] (1*\bruch{2}{3}*\bruch{1}{2}). [/mm] Und im dritten Zug erhält er 0€.
Überdenke also deine Berechnung des Erwartungswertes einmal. Soviel kann ich verraten: E(X)=1 ist richtig.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 11.10.2009 | | Autor: | quade521 |
hallo,
"stimmt's schon nicht. Der Spieler erhält doch 2 €, wenn er im 1. Zug eine grüne Kugel zieht und nicht nur 1 €. "
mit der von dir rot markierten 1 ist jedoch nicht der GEWINN sondern die ANZAHL DER ZIEHUNGEN gemeint ....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 11.10.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> mit der von dir rot markierten 1 ist jedoch nicht der
> GEWINN sondern die ANZAHL DER ZIEHUNGEN gemeint ....
das ist so leider nicht richtig. Wenn du dir die Wahrscheinlichkeiten ansiehst:
[mm] P(X=1)=\bruch{1}{3}, [/mm] also im 1. Zug eine grüne Kugel zu ziehen, so impliziert das doch bereits, dass du nur einen Zug gebraucht hast.
Ebenso für
[mm] P(X=2)=\underbrace{\bruch{2}{3}}_{\text{Wkt. dafür, im ,\red{1. Zug} keine grüne Kugel zu ziehen!}}*\underbrace{\bruch{1}{2}}_{\text{Wkt. dafür, im \red{2. Zug} die grüne Kugel zu ziehen!}}.
[/mm]
Wenn du jetzt zusätzlich noch dein Baumdiagramm verwendest, so leuchtet es dir sicher ein.
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 11.10.2009 | | Autor: | quade521 |
hallo,
kann ich denn damit nicht ausrechnen wie viele "Ziehungen" ich im Mittel benötige um die grüne Kugel zu ziehen, weil ich imme rnoch nicht weis wo mein fehler genau liegt
ich glaube wir reden eher aneinander vorbei wenn ich X definiere als:
Anzahl der Runden bis zur Ziehung der grünen Kugel dann passt es nämlich
du definierst X:
Gewinnausschüttung
dann ergibt sich
2*(1/3)+1/(2/3)*(1/2)+0*(2/3)*(1/2)*1 =1
dein Ergebnis sagt aus: Im Mittel gewinnt man 1€, mein Ergebnis sagt aus, im Mittel muss man zwei mal aus der Urne ziehen um die grüne Kugel zu ziehen --> beides läuft auf einen Spieleinsatz von 1€ hinaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 So 11.10.2009 | | Autor: | barsch |
Wir haben aneinander vorbeigeredet 
Die Aufgabe habe ich so verstanden, dass der erwartete Gewinn (bei 0 € Einsatz) zu berechnen ist. Und das hatte der Verfasser der Aufgabe sicher so gemeint. Denn so kommt man auf den erwarteten Gewinn von 1 € (E(X)=1).
Du möchtest aber wissen, wie oft der Spieler im Mittel ziehen muss, um eine grüne Kugel zu ziehen.
> weil ich imme rnoch nicht weis wo mein fehler genau liegt
Nirgends!
Dann würde ich so wie du vorgehen.
Dass deine Lösung nicht mit der "Musterlösung" von der genannten Seite übereinstimmt, liegt daran, dass sie genauso gedacht haben wie ich.
Gruß
barsch
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