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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 So 07.02.2010 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | In einer Urne liegen fünf schwarze und vier weiße Kugeln. Peter und Paul spielen folgendes Spiel:
Aus der Urne werden ohne Zurücklegen m [mm] (1\le [/mm] m [mm] \ge [/mm] 9) Kugeln gezogen. Peter gewinnt wenn unter den gezogenen Kugeln mindestens gleiche viele weiße wie schwarze sind. Andernfalls gewinnt Paul. Peter darf m im voraus festlegen. Welche Wahl von m ist für ihn am günstigsten? |
Also "mindestens gleich viel" heißt doch, dass auch mehr weiße als schwarze oder umgekehrt gezogen werden können, oder?
Dann wäre m=7 doch am günstigsten, weil wenn theoretisch 5 mal hintereinander die gleiche Farbe gezogen wird, was bei schwarz möglich wäre, wären die letzten zwei auf jeden Fall rot, oder?
Wie kann man das denn irgendwie mathematischer aufschreiben??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 So 07.02.2010 | | Autor: | abakus |
> In einer Urne liegen fünf schwarze und vier weiße Kugeln.
> Peter und Paul spielen folgendes Spiel:
> Aus der Urne werden ohne Zurücklegen m [mm](1\le[/mm] m [mm]\ge[/mm] 9)
> Kugeln gezogen. Peter gewinnt wenn unter den gezogenen
> Kugeln mindestens gleiche viele weiße wie schwarze sind.
> Andernfalls gewinnt Paul. Peter darf m im voraus festlegen.
> Welche Wahl von m ist für ihn am günstigsten?
> Also "mindestens gleich viel" heißt doch, dass auch mehr
> weiße als schwarze oder umgekehrt gezogen werden können,
> oder?
> Dann wäre m=7 doch am günstigsten, weil wenn theoretisch
> 5 mal hintereinander die gleiche Farbe gezogen wird, was
> bei schwarz möglich wäre, wären die letzten zwei auf
> jeden Fall rot, oder?
Dasa ausgerechnet diese Zugfolge eintritt, ist ja wohl sehr unwahrscheinlich.
> Wie kann man das denn irgendwie mathematischer
> aufschreiben??
Du musst schon eine Fallunterscheidung aller 9 möglichen Fälle für m machen.
m=1: Siegchance für Peter 4/9
m=2: Peter verliert nur bei schwarz-schwarz. Seine Gewinnchance ist somit 1-((5/9)*(4/8))=....
m=3: Peter gewinnt bei www, sww,wsw, wws. Gewinnwahrscheinlichkeit:...
m=4:
...
...
m=9:
Ganz ohne Arbeit geht es hier nicht.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 So 07.02.2010 | | Autor: | elba |
gut, das klingt ganz logisch.
aber warum ist denn bei m=1 die Siegchance für Peter [mm] \bruch{4}{9}??
[/mm]
Bei m=1 hat Peter doch gar keine Chance zu gewinnen, oder seh ich das falsch?? Es müssen doch von beiden Farben mind. gleich viele gezogen worden sein, was bei m=1 doch nicht möglich ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 07.02.2010 | | Autor: | abakus |
> gut, das klingt ganz logisch.
> aber warum ist denn bei m=1 die Siegchance für Peter
> [mm]\bruch{4}{9}??[/mm]
> Bei m=1 hat Peter doch gar keine Chance zu gewinnen, oder
> seh ich das falsch?? Es müssen doch von beiden Farben
> mind. gleich viele gezogen worden sein, was bei m=1 doch
> nicht möglich ist.
Hallo,
"mindestes gleich viele weiße wie schwarze" heißt:
es werden genau gleich viele weiße und schwarze
ODER es werden sogar mehr weiße als schwarze gezogen.
Peter gewinnt also, wenn [mm] w\ge [/mm] s gilt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 So 07.02.2010 | | Autor: | elba |
Danke, so hatte ich das gar nicht verstanden.
Ich hab das jetzt mal versucht zu rechnen.
Und bekomme jetzt als günstigste Wahl m=4 mit 64,29%.
Wäre nett, wenn du das für m=4 einmal nachrechnen könntest, damit ich weiß, ob das Ergebnis dafür überhaupt stimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 07.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke, so hatte ich das gar nicht verstanden.
> Ich hab das jetzt mal versucht zu rechnen.
> Und bekomme jetzt als günstigste Wahl m=4 mit 64,29%.
> Wäre nett, wenn du das für m=4 einmal nachrechnen
> könntest, damit ich weiß, ob das Ergebnis dafür
> überhaupt stimmt.
Schnellere Hilfe bekommst du im Forum, wenn du vorrechnest.
Mein Tipp: am schnellsten ist das Gegenereignis berechnet. es besteht aus
- 4 mal schwarz, Wahrsch. (5*4*3*2)/(9*8*7*6)
- 3 mal schwarz, einmal weiß (dafür 4 verschiedene Reihenfolgen mit jeweils (5*4*3*4)/(9*8*7*6)
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 So 07.02.2010 | | Autor: | elba |
Ja, ich hab das auch mit dem Gegenereignis berechnet:
1-( [mm] \bruch{5}{9}*\bruch{4}{8}*\bruch{3}{7}*\bruch{2}{6}+4*(\bruch{5}{9}*\bruch{4}{8}*\bruch{3}{7}*\bruch{4}{6})=0,6429
[/mm]
Danke schön!!
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