variationelle form PDGl < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe noch einmal eine frage:
ich habe gelernt, dass man eine starke formulierung eines Randwertproblems, beispielsweise einer elliptischen PDG mit homogenen dirichlet Randbedingungen in starker formulierung
- [mm] \nabla [/mm] * (K(x) [mm] \nabla [/mm] u(x)) + (c(x) * [mm] \nabla [/mm] u(x)) + r(x) u(x) = f(x) in [mm] \Omega
[/mm]
u(x) = 0 auf [mm] \partial \Omega
[/mm]
mit gewissen voraussetzungen an die koeffizienten) in eine Variationelle Form oder schwache formulierung umwandelt kann, mit sesqulininearform a und linearform b
a(u,v) = b(v) für alle [mm] v\in [/mm] V
Meine Frgae ist aber nun. warum tut man das? nur um dann galerkin bzw. ritz darauf loszulassen? was hat man gewonnen? haben beide formulierungen die gleichen lösungen? hat die schwache formulierung mehr? inwieweit löst sie dann das eigentliche problem?
Danke!
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe noch einmal eine frage:
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> ich habe gelernt, dass man eine starke formulierung eines
> Randwertproblems, beispielsweise einer elliptischen PDG mit
> homogenen dirichlet Randbedingungen in starker
> formulierung
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> - [mm]\nabla[/mm] * (K(x) [mm]\nabla[/mm] u(x)) + (c(x) * [mm]\nabla[/mm] u(x)) + r(x)
> u(x) = f(x) in [mm]\Omega[/mm]
> u(x) = 0 auf [mm]\partial \Omega[/mm]
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> mit gewissen voraussetzungen an die koeffizienten) in eine
> Variationelle Form oder schwache formulierung umwandelt
> kann, mit sesqulininearform a und linearform b
>
> a(u,v) = b(v) für alle [mm]v\in[/mm] V
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> Meine Frgae ist aber nun. warum tut man das? nur um dann
> galerkin bzw. ritz darauf loszulassen? was hat man
> gewonnen? haben beide formulierungen die gleichen
> lösungen? hat die schwache formulierung mehr? inwieweit
> löst sie dann das eigentliche problem?
>
> Danke!
dies ist ein interessantes thema mit vielen potentiellen antworten. Ich schreib mal das, was mir spontan einfällt, ohne anspruch auf vollständigkeit.
1.) damit die von dir zitierte elliptische gleichung wohldefiniert ist, muss $u$ mindestens zweimal differenzierbar sein. Um die schwache Version der Gleichung zu erfüllen, muss sie dagegen viel weniger regularität haben (man sucht sie für gewöhnlich in sobolewräumen, also räumen von integrierbaren funktionen, die auch geeignete distributions-ableitungen haben). Dadurch wird der Raum, in dem man nach einer lösung sucht viel grösser und damit auch die Chance, eine solche Lösung tatsächlich zu finden.
2.) Man erschliesst sich ein ganzes Arsenal von Techniken, die existieren, um solche Variations-Gleichungen zu lösen. Zumeist aus dem Gebiet der Funktionalanalysis, die die Theorie der Banach- und Hilberträume schon umfassend erforscht hat.
3.) Der Variations-Ansatz führt sehr natürlich zu einer numerischen Methode, die Gleichungen zu lösen, nämlich den finiten Elementen
4.) Last but not least: die meisten differentialgleichungen sind ursprünglich Variationsprobleme! Nimm zum Beispiel die Laplace-Gleichung, also
[mm] $\Delta [/mm] u=0$
Diese fällt ja nicht so vom Himmel, sondern ergibt sich eigentlich aus einem Variations-Problem, nämlich der Minimierung des Funktionals
[mm] $E(u)=\int |\nabla u|^2$
[/mm]
Wenn Du die Euler-Lagrange Gleichung von $E$ berechnest, landest Du geradewegs bei der schwachen Formulierung der Laplace-Gleichung. Daraus leitet man dann mittels des Fundamentallemmas der Variationsrechnung die starke Version der PDG ab. (Dieses Beispiel findest Du auch ![[]](/images/popup.gif) hier)
gruss
matthias
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WOW. Danke Dir für die überaus ausführliche Antwort. Das bringt mich schonmal weiter. Ich denke irgendwann versteh ich das Thema (fast) vollständig ;)
aber ich habe noch eine frage bezüglich 1. von Dir also
> 1.) damit die von dir zitierte elliptische gleichung
> wohldefiniert ist, muss [mm]u[/mm] mindestens zweimal
> differenzierbar sein. Um die schwache Version der Gleichung
> zu erfüllen, muss sie dagegen viel weniger regularität
> haben (man sucht sie für gewöhnlich in sobolewräumen,
> also räumen von integrierbaren funktionen, die auch
> geeignete distributions-ableitungen haben). Dadurch wird
> der Raum, in dem man nach einer lösung sucht viel grösser
> und damit auch die Chance, eine solche Lösung tatsächlich
> zu finden.
>
Ich sehe ein, dass eine Lösung des Variationsproblems einfacher zu finden ist. Aber es stellt sich für mich die frage, was bringt das? die Lösung des Variationsproblems löst ja schließlich nicht das starke Problem (in der Regel) und an dessen lösung ist man doch interessiert eigentlich
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> WOW. Danke Dir für die überaus ausführliche Antwort. Das
> bringt mich schonmal weiter. Ich denke irgendwann versteh
> ich das Thema (fast) vollständig ;)
>
> aber ich habe noch eine frage bezüglich 1. von Dir also
>
> > 1.) damit die von dir zitierte elliptische gleichung
> > wohldefiniert ist, muss [mm]u[/mm] mindestens zweimal
> > differenzierbar sein. Um die schwache Version der Gleichung
> > zu erfüllen, muss sie dagegen viel weniger regularität
> > haben (man sucht sie für gewöhnlich in sobolewräumen,
> > also räumen von integrierbaren funktionen, die auch
> > geeignete distributions-ableitungen haben). Dadurch wird
> > der Raum, in dem man nach einer lösung sucht viel grösser
> > und damit auch die Chance, eine solche Lösung tatsächlich
> > zu finden.
> >
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> Ich sehe ein, dass eine Lösung des Variationsproblems
> einfacher zu finden ist. Aber es stellt sich für mich die
> frage, was bringt das? die Lösung des Variationsproblems
> löst ja schließlich nicht das starke Problem (in der
> Regel) und an dessen lösung ist man doch interessiert
> eigentlich
Dafür gibt es die sogenannte regularitätstheorie. Nimm wieder einfache elliptische PDGs zweiter Ordnung als Beispiel. Mit abstrakten existenzsätzen aus der funktionalanalysis (zB. satz von lax-milgram) zeigt man gewöhnlich die existenz einer lösung in [mm] $H^1$, [/mm] also (grob gesagt) dem raum der funktionen mit einer schwachen ableitung. Durch zusätzliche überlegungen und eventuell einige zusätzliche regularitäts-voraussetzungen für die koeffizienten-funktionen, kann man aber zeigen, dass die lösung auch in [mm] $H^2$ [/mm] liegt, also eine weitere schwache ableitung hat. Sind alle gegebenen koeffizienten/parameter-funktionen und das gebiet, auf dem man operiert, glatt, kann man sich so in der Regularität immer höher hangeln und am ende zeigen, dass auch die lösung glatt sein muss. Wichtiges hilfsmittel hierfür sind die einbettungssätze von sobolew- in hölder-räume. Diese sagen, dass, wenn eine funktion in einem sobolew-raum ist, sie auch eine gewisse hölder- (also klassische) regularität besitzt.
so ist zum beispiel eine funktion [mm] $u\in H^3({I}), I\subset \mathbb{R}$ [/mm] auch in [mm] $C^{2,\frac12}(I)$, [/mm] besitzt also klassische zweite ableitungen, die darüber hinaus sogar noch hölder-stetig sind.
(genauer gesagt, u unterscheidet sich nur auf einer nullmenge von solch einer glatten funktion, denn funktionen in [mm] H^3 [/mm] sind nur bis auf nullmengen eindeutig definiert)
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Fr 27.01.2012 | | Autor: | lannigan2k |
DANKE DANKE DANKE langsam schließen sich die Lücken in meinem kopf :)
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