vektorgradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mi 11.12.2019 | | Autor: | nadrosch |
| Aufgabe | Seien f:Rn→R und g:Rn→R \ {0} differenzierbar. Zeigen Sie
grad~x(f/g)=(g(~x)*grad~x(f)−f(~x) grad~x(g)) / g2(~x)
für alle~x∈Rn. |
Ich weiß, dass ich bei dieser Aufgabe Ketten und oder Produktregel für gradienten anwenden muss
z.B. grad(f/g)
Kettenregel:
h(t)=t/g h'(t)=1/g=g^-1
grad(h°f)= h'(f(x))*grad(f(x)) da h' nicht von t abhängt und somit auch nicht von f(x) weiß ich nicht weiter
Aus dem angegebenen Ergebniss würde ich auch vermuten das die Produktregel anwendung findet also grad(f * 1/g)= An dieser stelle komme ich nicht weiter durch das 1/g.
Wäre für einen Tipp sehr dankbar.
MFG
nadrosch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Do 12.12.2019 | | Autor: | fred97 |
> Seien f:Rn→R und g:Rn→R \ {0} differenzierbar. Zeigen
> Sie
> grad~x(f/g)=(g(~x)*grad~x(f)−f(~x) grad~x(g)) / g2(~x)
> für alle~x∈Rn.
Puuh, das ist schwer zu lesen... Ich vermute, dass mit ~x der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] gemeint ist. In meinen Ausführungen weiter unten lasse ich den (bekloppten) Pfeil weg und schreibe nur x statt [mm] \vec{x}.
[/mm]
> Ich weiß, dass ich bei dieser Aufgabe Ketten und oder
> Produktregel für gradienten anwenden muss
> z.B. grad(f/g)
> Kettenregel:
> h(t)=t/g h'(t)=1/g=g^-1
>
> grad(h°f)= h'(f(x))*grad(f(x)) da h' nicht von t abhängt
> und somit auch nicht von f(x) weiß ich nicht weiter
>
> Aus dem angegebenen Ergebniss würde ich auch vermuten das
> die Produktregel anwendung findet also grad(f * 1/g)= An
> dieser stelle komme ich nicht weiter durch das 1/g.
>
> Wäre für einen Tipp sehr dankbar.
Es geht ganz einfach mit der Quotientenregel für Funktionen einer Variablen und etwas Vektorrechnung:
Setzen wir $h:= [mm] \frac{f}{g}.$ [/mm] Dann ist
$ [mm] (\star) \quad grad_x h(x)=(h_{x_1}(x),...., h_{x_n}(x))^T.$
[/mm]
Die partielle Ableitung [mm] h_{x_i} [/mm] bekommt man mit der Produktregel für Funktionen einer Variablen:
$ [mm] h_{x_i}(x)= \frac{g(x)f_{x_i}(x)-f(x)g_{x_i}(x)}{g(x)^2}.$
[/mm]
Nun setze dies in [mm] $(\star)$ [/mm] ein, fasse noch etwas zusammen, dann solltest Du das gewünschte Resultat erhalten.
> MFG
> nadrosch
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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