vektorraum (abstrakt) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich hab ein riesen problem, und zwar haben wir bei uns im mathe lk mit vektorräumen angefangen, nun stellt sich für mich folgende aufgabe auf die ich keine lösung weis, es wäre total nett, wenn mir jemand helfen könnte:
Weisen Sie nach, dass die Menge V={f|f(x)=ax³+bx²+cx+d mit a, b, c, d element R} derjenigen Polynomfunktionen, deren Grad höchstens 3 beträgt, ein Vektorraum ist, wenn man als Addition die gewöhnliche Addition von Polynomen und als skalare Multiplikation die gewöhnliche Vervielfachung von Polynomen mit reellen Zahlen wählt.
Ich muss gestehen, dass ich damit überfragt bin, und würde mich sehr über Hilfe freuen.
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Hallo Alexandra!
Du must beweisen, dass die Axiome des Vektorraumes erfüllt sind.
Nimm zwei Polynome mit verschiedenen, aber beliebigen Koeffizienten, addiere Sie, und zeige dass diese Operation eine Gruppe bildet. Hier musst du auf die Axiome der Gruppe zurückgreifen. Und so weiter...
Probiere es mal!
Schöne Grüße, 
Ladis
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Ok, erst mal vielen dank für die Antwort, jetzt habe ich noch eine Bestätigungsfrage hierzu, geht das dann in etwa so ?
f(x) = ax³+bx²+cx+d mit a, b, c, d element R
Abgeschlossenheit der Addition: Es seien f1, f2 elemnt V ( Vektorraum )
Dann gilt:
( f1+f2 )(x) = f1(x) + f2 (x)
= a1x³+ b1x² + c1x + d1 + a2x³ + b2x² + c2x + d2
=(a1 + a2)x³ + (b1 + b2)x² + (c1 + c2)x + (d1 + d2)
= ax³ + bx² + cx + d
=> f1 und f2 element aus V.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Di 14.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Alexandra
> Ok, erst mal vielen dank für die Antwort, jetzt habe ich
> noch eine Bestätigungsfrage hierzu, geht das dann in etwa
> so ?
>
> f(x) = ax³+bx²+cx+d mit a, b, c, d element R
> Abgeschlossenheit der Addition: Es seien f1, f2 elemnt V (
> Vektorraum )
>
> Dann gilt:
> ( f1+f2 )(x) = f1(x) + f2 (x)
> = a1x³+ b1x² + c1x + d1 + a2x³ + b2x² +
> c2x + d2
> =(a1 + a2)x³ + (b1 + b2)x² + (c1 + c2)x
> + (d1 + d2)
> = ax³ + bx² + cx + d
> => f1 und f2 element aus V.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, genau so muss man das tun! Super!
Jetzt einfach die Fleissarbeit machen und Axiom für Axiom prüfen! Sobald auch nur ein Axiom nicht eingehalten ist, bist du fertig. (Dann ists kein Vektorraum). Aber freu dich nicht zu früh: es werden alle Axiome eingehalten! 
Zunächst einmal, ob die Polynome eine abelsche additiv geschriebene Gruppe bilden, und dann noch, ob die Axiome eines Vektorraumes erfüllt sind.
Mit lieben Grüssen
Paul
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