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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:07 Do 11.01.2007 | | Autor: | toggit |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
U ={f : [0; 1] [mm] \to\IR| [/mm] f ist zwei Mal differenzierbar auf dem Interval [0; 1] und f'' ist stetig}
ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist (bzgl. gewöhnlicher Skalarmultiplikation und Addition von Funktionen).
Entscheiden Sie nun, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:
a) Die Teilmenge V [mm] \subset [/mm] U gegeben durch
V = [mm] {f\inU |f(1) = f(0) = 1}
[/mm]
ist ein Untervektorraum von U.
b) Die Teilmenge W [mm] \subsetU [/mm] gegeben durch
W = {f [mm] \in [/mm] U| f(1) = f(0)}
ist ein Untervektorraum von U.
c) Für jedes Tripel [mm] (\alpha;\beta;\gamma) \in R^{3} [/mm] und jedes x [mm] \in [/mm] [0; 1] defniert
$ Phi| $: [mm] U\to \IR, f\mapsto \alpha [/mm] f(x) + [mm] \beta [/mm] f'(x) +
[mm] \gamma [/mm] f''(x)
eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung.
d) Für jedes Tripel [mm] (\alpha;\beta;\gamma) \in R^{3} [/mm] und jedes [mm] x\in [/mm] [0; 1] ist
X = [mm] {f\in U|\alpha f(x) + \beta f'(x) + \gamma f''(x) = 0}
[/mm]
ein Untervektorraum von U. |
hallo
habe nicht dem blosen schimmel wie ich beweisen kann das U ein vektorraum ist!!!
soll ich jede vektorraumaxiom prüfen? (wie prüfe ich den differenzierbarkeit und existenz von f'' ?)
kann mir jemand weiter helfen?
mfg toggit
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Hallo und guten Tag,
U ist ein Vektorraum, da es eine Teilmenge von [mm] M=\{f\: |\: f\colon [0,1]\to\IR\} [/mm] ist, die abgeschlossen unter Addition und
skalarer Multiplikation ist (d.h. Du musst wissen oder zeigen durch explizites Beweisen der Gültigkeit aller
Vektorraumaxiome, dass M ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist, dann verbleibt es noch zu zeigen, daß mit [mm] f,g\in [/mm] U und [mm] \lambda\in\IR [/mm] auch die Funktionen [mm] \lambda\cdot [/mm] f und f+g in U sind).
Zu (a): Wenn f(1)=g(1)=1, so ist (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2.
Zu (b): Ist Untervektorraum (zeige wiederum Abgeschlossenheit unter Addition und skalarer Mult.).
Zu (c): Das liegt daran, daß (f+g)'=f'+g' und damit auch (f+g)''=f''+g''.
(d) schaffst Du dann schon selber.
Gruss,
Mathias
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