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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Do 30.05.2013 | | Autor: | fabian22 |
| Aufgabe | Es gibt eine Urne mit 10 Bällen. Wir spielen Lotto. Drei Bälle werden gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei Richtige und eine Falsche zu haben, wenn
a) nach jedem Zug der Ball zurückgelegt wird, und die Reihenfolge wichtig ist.
b) nach jedem Zug der Ball zurückgelegt wir, un die Reihenfolge NICHT wichtig ist.
c) nicht zurückgelegt wird und die Reihenfolge wichtig ist.
d) nicht zurückgelegt wird und die Reihenfolge nicht wichtig ist. |
Wie würdet ihr das Lösen? Ich habe leider nicht so den Zugang zu kombinatorischem Denken und noch teils Schwierigkeiten die Formeln zur Berechnung der Möglichkeiten zu verstehen. Aber ihr könnt mir da sicher weiterhelfen, bzw. erklären wie ihr an solche Probleme rangeht. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es gibt eine Urne mit 10 Bällen. Wir spielen Lotto. Drei
> Bälle werden gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
> zwei Richtige und eine Falsche zu haben, wenn
> a) nach jedem Zug der Ball zurückgelegt wird, und die
> Reihenfolge wichtig ist.
> b) nach jedem Zug der Ball zurückgelegt wir, un die
> Reihenfolge NICHT wichtig ist.
> c) nicht zurückgelegt wird und die Reihenfolge wichtig
> ist.
> d) nicht zurückgelegt wird und die Reihenfolge nicht
> wichtig ist.
> Wie würdet ihr das Lösen? Ich habe leider nicht so den
> Zugang zu kombinatorischem Denken und noch teils
> Schwierigkeiten die Formeln zur Berechnung der
> Möglichkeiten zu verstehen.
Das ist aber für einen Mathestudenten im Hauptstudium (das steht in deinem Profil!) doch recht seltsam!
> Aber ihr könnt mir da sicher
> weiterhelfen, bzw. erklären wie ihr an solche Probleme
> rangeht.
Wir würden hier fast durchgehend
- unsere Unterlagen über den bisher gelernten Stoff gründlich durcharbeiten
- dann versuchen, welche der gelernten Konzepte kann man auf eine Aufgabenstellung anwenden?
- erst wenn wir dann nicht weiterkommen, würden wir uns an ein Matheforum unserer Wahl (eh klar, welches  ) wenden, dabei aber sämtliche eigenen Versuche zunächst vorstellen.
Dann könnte sich eine Diskussion ergeben, in deren Verlauf wir etwas lernen würden, sonst gelingt dies nicht.
Zu deiner Frage: sie ist seltsam gestellt. Ist das der Originaltext? Falls nein, dann reiche diesen bitte nach. Was mich daran stört, ist folgendes: wenn vom Lottospiel die Rede ist, dann werden damit gewisse Grundvoraussetzungen sozusagen mit einem Begriff, den jeder kennt, in den Ring geworfen. Vor allem:
- die Zahlen, die man tippt, müssen unterschiedlich sein
- die gezogene Reihenfolge spielt keine Rolle
Nun wird letzteres gleich in Frage a) auf den Kopf gestellt. Was ist dann mit den Tipps, dürfen die auch aus gleichen Zahlen bestehen, ja oder nein? Es würde nämlich bei Beachtung der Reihenfolge durchaus Sinn ergeben. Die Frage bleibt aber irgendwie offen, und so lange das nicht klar ist, kann man nur unter Vorbehalt antworten.
Eines darfst du dir hier nicht erwarten, das sind fertige Lösungen. Die geben wir hier prinzipiell nicht. Daher fange ich mal mit einem Tipp zu Aufgabe a) an, der allerdings davon ausgeht, dass man auch gleichartige Zahlen tippen darf. Die Anzahl möglicher Tipps nennt man dann Variationen, das zugrundeliegende Urnenmodell wäre das Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge. Das sollte dir helfen, die Aufgabe a) zu lösen. Versuche das bitte und melde dich dann wieder und zwar mit deinen Rechnungen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Do 30.05.2013 | | Autor: | fabian22 |
hey diophat, ich habe natürlich eigene Lösungen=) und die tatsache, dass wir entgegen dem "normalen Lotto" zurücklegen und die Reihenfolge beachten versetzt mir einige Denkprobleme.
ich habe mir folgendes überlegt:
a) insgesamt gibt es [mm] 10^3 [/mm] Möglichkeiten drei Kugeln aus zehn zu ziehen, wenn wir immer wieder zurücklegen. ist die Reihenfolge wichtig, so sind von diesen [mm] 10^3 [/mm] Möglichkeiten 27, die für uns zwei richtige bedeuten. Nennen wir den Lösungsset 1,2,3(keine gezogene Zahl, sondern Platzstelle im Lösungsset). Wir müssen exakt 2 richtige haben: 1,2,x (erste und zweite zahl richtig, dritte falsch)=> für die erste und zweite zahl haben wir nur eine möglichkeit, da dies die richtigen sein müssen, bei x haben wir 9 möglichkeiten, weil wir diese falsch haben müssen! Somit haben wir für den fall erste und zweite richtig 9möglichkeiten. dann gibt es noch 1,x,3(erste und dritte richtig) auch mir neun möglichkeiten, und x,2,3(zweite und dritte richtig)=> 27 ==> P=27/1000
b) hier bleibt die anzahl von 27 möglichkeiten für zwei richtige gleich, denn wir legen ja immernoch zurück. allerdings ist die reihenfolge nicht wichitg, deshalb haben wir nur 220 mögliche Events;220=C(10+3-1;3) ==> P=27/220
c) insgesamt, da nicht zurückgelegt wir 10*9*8 möglichkeiten, für den fall dass die ersten beiden stimmen und die letzte Kugel falsch ist gibt es 7 möglichkeiten, dafür dass die zweite Kugel falsch ist gibt es 8 möglichkeiten, und dafpr dass die erste falsch ist 9 möglichkeiten. => P=(8+7+9)/(10*9*8)
d) hat die vorraussetzungen vom klassischen Lotto: P=[C(3;2)*C(7;1)]/C(10;3)
was meinst du dazu?
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Hallo,
> was meinst du dazu?
ZUnächst einmal: dass du es versäumt hast, auf meine Fragen nach der INterpretation der Aufgabe einzugehen bzw. einen eventuell vorhandenen Originaltext nachzureichen. Es ist sehr schwierig, solche Aufgaben im Netz zu diskutieren, wenn man gar nicht genau weiß, wovon man spricht.
> hey diophat, ich habe natürlich eigene Lösungen=) und die
> tatsache, dass wir entgegen dem "normalen Lotto"
> zurücklegen und die Reihenfolge beachten versetzt mir
> einige Denkprobleme.
Na ja, die bekomme ich auch jedesmal, wenn ich Mathematik betreibe.
>
> ich habe mir folgendes überlegt:
> a) insgesamt gibt es [mm]10^3[/mm] Möglichkeiten drei Kugeln aus
> zehn zu ziehen, wenn wir immer wieder zurücklegen. ist die
> Reihenfolge wichtig, so sind von diesen [mm]10^3[/mm] Möglichkeiten
> 27, die für uns zwei richtige bedeuten. Nennen wir den
> Lösungsset 1,2,3(keine gezogene Zahl, sondern Platzstelle
> im Lösungsset). Wir müssen exakt 2 richtige haben: 1,2,x
> (erste und zweite zahl richtig, dritte falsch)=> für die
> erste und zweite zahl haben wir nur eine möglichkeit, da
> dies die richtigen sein müssen, bei x haben wir 9
> möglichkeiten, weil wir diese falsch haben müssen! Somit
> haben wir für den fall erste und zweite richtig
> 9möglichkeiten. dann gibt es noch 1,x,3(erste und dritte
> richtig) auch mir neun möglichkeiten, und x,2,3(zweite und
> dritte richtig)=> 27 ==> P=27/1000
Ja, wenn man die Aufgabe so versteht, wie ich es vorgeschlagen habe, dann sind deine Überlegungen richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) hier bleibt die anzahl von 27 möglichkeiten für zwei
> richtige gleich, denn wir legen ja immernoch zurück.
> allerdings ist die reihenfolge nicht wichitg, deshalb haben
> wir nur 220 mögliche Events;220=C(10+3-1;3) ==> P=27/220
Diese Überlegung ist m.E. nicht richtig. Die Grundgesamtheit sind immer noch die 1000 Möglichkeiten der Ziehung!
> c) insgesamt, da nicht zurückgelegt wir 10*9*8
> möglichkeiten, für den fall dass die ersten beiden
> stimmen und die letzte Kugel falsch ist gibt es 7
> möglichkeiten, dafür dass die zweite Kugel falsch ist
> gibt es 8 möglichkeiten, und dafpr dass die erste falsch
> ist 9 möglichkeiten. => P=(8+7+9)/(10*9*8)
Auch das ist sicherlich falsch, da jede dieser Realisationen gleichwahrscheinlich ist.
>
> d) hat die vorraussetzungen vom klassischen Lotto:
> P=[C(3;2)*C(7;1)]/C(10;3)
>
Das ist korrekt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Fr 31.05.2013 | | Autor: | fabian22 |
entschuldige diophat, wollte dein anliegen natürlich nicht ignorieren, weil die aufgabenstellen jenige war, die ich angegeben habe, habe ich beim dozenten rückgefragt und hier ist die antwort: so soll man es sich vorstellen: es gibt einen tippschein mit 10 zahlen, wir kreuzen drei an. Später werden aus der Urne, welche mit 10 bällen mit den zahlen 1-10 befüllt ist, drei Bälle gezogen. Die frage ist nun wie wahrscheinlich es ist, zwei von diesen drei richtig zu haben, wenn jeweils die bedingungen a)bis d) gelten
zu b) weshalb bleiben 1000 möglichkeiten möglich? Denn da die reihenfolge nicht wichtig ist, gibt es mehrere permutationen die unter einer kombination gelten...demnach sollte es weniger als 1000 kombinationen geben.
zu c) wenn alle gleich wahrscheinlich sind, auf wieviele möglichkeiten kommst du dann? sind es 21, denn für die zwei richtigen zahlen gibt es immer nur eine mögliche zahl, für die falsche sind es sieben, da zwei wegfallen die schon richtig sind(es wir ja nicht zurückgelegt) und eine wegfällt die ein "dreirichtige verursachen würde",.. macht demnach 7
grüße
fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> entschuldige diophat, wollte dein anliegen natürlich nicht
> ignorieren, weil die aufgabenstellen jenige war, die ich
> angegeben habe, habe ich beim dozenten rückgefragt und
> hier ist die antwort: so soll man es sich vorstellen: es
> gibt einen tippschein mit 10 zahlen, wir kreuzen drei an.
> Später werden aus der Urne, welche mit 10 bällen mit den
> zahlen 1-10 befüllt ist, drei Bälle gezogen. Die frage
> ist nun wie wahrscheinlich es ist, zwei von diesen drei
> richtig zu haben, wenn jeweils die bedingungen a)bis d)
> gelten
>
Ok, dann wäre das mal geklärt. Ich habe heute keine Zeit, mich weiter um dein Anliegen zu kümmern. Ich habe aus deiner obigen Mitteilung daher eine Frage gemacht in der Hoffnung, dass sich jemand anders findet, der dir weiterhelfen kann. Soviel kann ich auf die Schnelle sagen: d) ist richtig. Aber bspw. bei a) kapiere ich dann den Sinn der Aufgabenstellung nicht: die Anordnung des Tippscheins erlaubt ja nur, dass unterschiedliche Zahlen getippt werden. Die Ziehungen bei a) und b) erlauben jedoch, dass gleiche Zahlen mehrfach gezogen werden. Verstehst du, wo da der gedankliche Haken liegt? Vielleicht kannst du ja bei deinem Dozenten nochmals rückfragen, um diesen Widerspruch noch aufzulösen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
Die Frage bleibt immer noch: Dürfen auf dem Tippschein für die Fälle a) und b) auch Zahlen mehrfach angekreuzt werden, während das in den Fällen c) und d) nicht getan wird, weil der Spieler die Ziehungsregeln schon vorher kennt???
Ich geh jetzt mal von einem ja im Folgenden aus.
Zu b) Vorsichtig beim Verwenden der Formel [mm] \vektor{n+k-1 \\ k} [/mm] !!! Ich sag immer wieder bei der Formel ist Möglichkeit nicht gleich Möglichkeit, Beispiel: Das Ergebnis nach Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge lautet 1,2,3 - das kann auf 3!=6 verschiedene mögliche Ziehungsreihenfolgen zustande gekommen sein (1,2,3 ; 2,1,3; 1,3,2; 3,1,2; 2,3,1 oder 3,2,1) . Jedoch zählt 1,2,3 bei den [mm] \vektor{n+k-1 \\ k} [/mm] möglichen Ergebnissen genauso als eine Möglichkeit, wie das Ergebnis 1,1,1 - was von beiden Ergebnissen das wahrscheinlichere ist, dürfte klar sein...
Mein Ansatz wäre zunächst mal zu gucken, wie wahrscheinlich wäre ein Ergebnis mit A) 3 verschiedenen Zahlen, B) 2 verschiedenen Zahlen, C) 3 gleichen Zahlen. Anschließend würd ich schauen wie wahrscheinlich in den einzelnen Fällen A-C) 2 Richtige sind und über die Pfadregel die 3 Wk. berechnen und letzten Endes aufsummieren.
Viele Grüße
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:34 Fr 31.05.2013 | | Autor: | ms2008de |
Hallo
>
> > c) insgesamt, da nicht zurückgelegt wir 10*9*8
> > möglichkeiten, für den fall dass die ersten beiden
> > stimmen und die letzte Kugel falsch ist gibt es 7
> > möglichkeiten, dafür dass die zweite Kugel falsch ist
> > gibt es 8 möglichkeiten, und dafpr dass die erste
> falsch
> > ist 9 möglichkeiten. => P=(8+7+9)/(10*9*8)
>
> Auch das ist sicherlich falsch, da jede dieser
> Realisationen gleichwahrscheinlich ist.
Warum sollten die Möglichkeiten: rrf, rfr und frr allesamt gleich wahrscheinlich sein? Wenn man das Ganze über die Pfadregeln rechnet, hat der Fragesteller hier vollkommen recht in seiner Antwort: P= [mm] \bruch{1}{10}*\bruch{1}{9}*\bruch{7}{8} +\bruch{1}{10}*\bruch{8}{9}*\bruch{1}{8}+\bruch{9}{10}*\bruch{1}{9}*\bruch{1}{8}=\bruch{24}{720}=\bruch{1}{30}
[/mm]
Viele Grüße
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:51 Fr 31.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo ms2008de,
> Hallo
>
> >
> > > c) insgesamt, da nicht zurückgelegt wir 10*9*8
> > > möglichkeiten, für den fall dass die ersten beiden
> > > stimmen und die letzte Kugel falsch ist gibt es 7
> > > möglichkeiten, dafür dass die zweite Kugel falsch
> ist
> > > gibt es 8 möglichkeiten, und dafpr dass die erste
> > falsch
> > > ist 9 möglichkeiten. => P=(8+7+9)/(10*9*8)
> >
> > Auch das ist sicherlich falsch, da jede dieser
> > Realisationen gleichwahrscheinlich ist.
>
> Warum sollten die Möglichkeiten: rrf, rfr und frr allesamt
> gleich wahrscheinlich sein? Wenn man das Ganze über die
> Pfadregeln rechnet, hat der Fragesteller hier vollkommen
> recht in seiner Antwort: P=
> [mm]\bruch{1}{10}*\bruch{1}{9}*\bruch{7}{8} +\bruch{1}{10}*\bruch{8}{9}*\bruch{1}{8}+\bruch{9}{10}*\bruch{1}{9}*\bruch{1}{8}=\bruch{24}{720}=\bruch{1}{30}[/mm]
>
Ja, da habe ich mich vertan. Danke für die Korrektur.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Do 30.05.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> Es gibt eine Urne mit 10 Bällen. Wir spielen Lotto. Drei
> Bälle werden gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
> zwei Richtige und eine Falsche zu haben, wenn ...
Mir ist nicht klar, wie viele der 10 Bälle "richtig" und wie viele "falsch" sind.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Do 30.05.2013 | | Autor: | fabian22 |
ich denke so kann man es sich vorstellen: es gibt einen tippschein mit 10 zahlen, wir kreuzen drei an. Später werden aus der Urne, welche mit 10 bällen mit den zahlen 1-10 befüllt ist, drei Bälle gezogen. Die frage ist nun wie wahrscheinlich es ist, zwei von diesen drei richtig zu haben, wenn jeweils die bedingungen a)bis d) gelten
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