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Guten Abend
Ich befasse mich mit den $ [mm] L^p [/mm] $ Räumen und habe ein Verständnisproblem mit den verschiedenen Konvergenzarten, insbesondere im Bezug zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.
In der Funktionalanalysis gibt es ja verschiedene Konvergenzarten, z.B. starke Konvergenz und die schwach Konvergenz.
Stark bedeutet ja bezgl einer Norm also $ [mm] \|x_n-x\| \to [/mm] 0 $.
Wenn ich dann z.B. in Funktionenräumen wie $ [mm] L^p [/mm] $ arbeite, dann gibt es dort ja die Konvergenz fast überalll. Dies entspricht ja der punktweisen Konvergenz auf nicht Nullmengen.
Wie unterscheidet sich die Konvergenz fast überall und die $ [mm] L^p$ [/mm] Konvergenz? Gibt es da überhaupt einen unterschied. In $ [mm] \IR [/mm] $ würde ich ja auch schreiben, wenn $ [mm] f_n(x) [/mm] $ punktweise gegen $ f(x) $ konvergiert:
[mm] $$|f_n(x)-f(x)| \to [/mm] 0$$
Meine zweite Frage geht in die gleiche Richtung. Wenn ich eine Folge von Zufallsvariablen habe und zeigen kann, dass diese stark konvergiert, folgt dann automatisch, dass sie auch P-f.s. konvergieren?
Herzlichen Dank, dass ihr mir mit den unterschiedlichen Konvergenzarten weiterhelft.
Liebe Grüsse
marianne88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend
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> Ich befasse mich mit den [mm]L^p[/mm] Räumen und habe ein
> Verständnisproblem mit den verschiedenen Konvergenzarten,
> insbesondere im Bezug zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.
> In der Funktionalanalysis gibt es ja verschiedene
> Konvergenzarten, z.B. starke Konvergenz und die schwache
> Konvergenz.
> Stark bedeutet ja bezgl einer Norm also [mm]\|x_n-x\| \to 0 [/mm].
> Wenn ich dann z.B. in Funktionenräumen wie [mm]L^p[/mm] arbeite,
> dann gibt es dort ja die Konvergenz fast überalll.
im [mm] $L^p$ [/mm] ist das auch eine Konvergenz bzgl. einer Norm, nämlich bzgl. der [mm] $L^p$-Norm $\|.\|_{L^p}\,.$ [/mm] In [mm] $L^p$ [/mm] identifiziert man zwei Funktionen ja ebendann, wenn sie in der gleichen Äquivalenzklasse liegen - und eine Äquivalenzklasse enthält dann alle [mm] $L^p$-Funktionen, [/mm] die fast überall, also bis auf Ausnahme einer Nullmenge, übereinstimmen. Oft wird der [mm] $L^p$ [/mm] ja so eingeführt: Erst betrachtet man [mm] $\mathcal{L}^p\,.$ [/mm] Diesen stattet man aus mit [mm] $\|.\|_{\mathcal{L}^p}\,,$ [/mm] wobei
[mm] $$\|f\|_{\mathcal{L}^p}=\sqrt[p]{\int |f|^p}\,,$$
[/mm]
genauere Details erspare ich mir, da Du sicher eh weißt, worum es geht. Der Raum [mm] $\mathcal{L}^p$ [/mm] ist mit [mm] $\|.\|_{\mathcal{L}^p}$ [/mm] halbnormiert - hier unterscheidet man Funktionen noch, wenn sie sich auch nur an einer einzigen Stelle unterscheiden. Um dieses "Defizit" zu beseitigen, betrachtet man nun anstelle von Funktionen eigentlich Äquivalenzklassen von Funktionen. Eine Äquivalenzklasse $[f]$ enthält nun alle $g [mm] \in \mathcal{L}^p$ [/mm] mit [mm] $\|f-g\|_{\mathcal{L}^p}=0\,.$ [/mm] Die "Sammlung" dieser Funktionenklassen bildet den [mm] $L^p:=\{[f]: f \in \mathcal{L}^p\}\,.$ [/mm] Auf dem [mm] $L^p$ [/mm] definiert man nun [mm] $\|.\|_{L^p}$ [/mm] durch
[mm] $$\|\;[f]\;\|_{L^p}:=\|f\|_{\mathcal{L}^p}$$ [/mm]
für alle $[f] [mm] \in L^p\,,$ [/mm] wobei zu beachten ist, dass $f [mm] \in \mathcal{L}^p$ [/mm] für $[f] [mm] \in L^p\,.$ [/mm] (Kurzgesagt: Der Repräsentant [mm] $f\,$ [/mm] repräsentiert seine Äquivalenzklasse $[f] [mm] \in L^p\,.$) [/mm] Was ist dabei besonders wichtig? Naja, die Repräsentantenunabhängigkeit, damit [mm] $\|.\|_{L^p}$ [/mm] eine wohldefinierte Funktion auf [mm] $L^p$ [/mm] ist. D.h.: Ist auch $g [mm] \in [f]\;\;(\in L^p)\,,$ [/mm] so muss [mm] $\|g\|_{\mathcal{L}^p}=\|f\|_{\mathcal{L}^p}$ [/mm] gelten. Das ist aber klar nach der Definition der Äquivalenzklassen. Ganz kurz wird das ![[]](/images/popup.gif) in diesem Artikel erwähnt oder auch hier.
(Zur Notation oben: Der Einfachheit wegen sagt man oft, dass die Funktion $f [mm] \in L^p$ [/mm] sei - und meint damit eigentlich eine Klasse von Funktionen. Wenn Du das ganze formal sauberer durchziehen willst, würdest Du etwa so vorgehen: Wir betrachten die Äquivalenzklasse $g [mm] \in L^p\,.$ [/mm] Per Definition gibt es eine Funktion $f [mm] \in \mathcal{L}^p\,,$ [/mm] die in [mm] $g\,$ [/mm] liegt, diese also repräsentiert: Es gilt also $f [mm] \in g\,.$ [/mm] Deswegen gilt [mm] $[f]=g\,.$ [/mm] Daher folgt $f [mm] \in [f]\,.$
[/mm]
Um aber derartige Sätze, die sich eh ständig wiederholen würden, zu vermeiden, sagt man aber auch oft: Wir betrachten eine Funktion $f [mm] \in L^p\,,$ [/mm] meint damit aber strenggenommen $[f] [mm] \in L^p$ [/mm] mit $f [mm] \in \mathcal{L}^p\,.$ [/mm] Es kann auch durchaus ein "Gemisch" sein: D.h. wenn jmd. von der Funktion $f [mm] \in L^p$ [/mm] spricht, kann er damit wirklich eine Äquivalenzklasse meinen. Er kann aber auch explizit mit dem Repräsentanten $f [mm] \in \mathcal{L}^p$ [/mm] mit $f [mm] \in [/mm] [f] [mm] \in L^p$ [/mm] arbeiten und damit etwas zeigen, was sich dann auf die Äquivalenzklasse [mm] $[f]\,$ [/mm] übertragen lässt. Strenggenommen kennst Du derartiges aber auch schon länger: Denn mit den rationalen Zahlen geht man im Wesentlichen ganz genauso um - auch dort arbeitet man ständig mit Äquivalenzklassen bzw. mit einem Repräsentant "seiner" Äquivalenzklasse.)
> Dies
> entspricht ja der punktweisen Konvergenz auf nicht
> Nullmengen.
> Wie unterscheidet sich die Konvergenz fast überall und die
> [mm]L^p[/mm] Konvergenz? Gibt es da überhaupt einen unterschied.
(Das folgende, rotmarkierte ist fehlerhaft; siehe Hinweise bzw. wichtige/notwendige Ergänzungen von Matthias!) Nein. Sei nämlich eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)_n \in (L^p)^{\IN}$ [/mm] eine Funktionenfolge in [mm] $L^p\,.$ [/mm] Dann konvergiert [mm] $(f_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $f\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\|.\|_{L^p}$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $f_n(x) \to [/mm] f(x)$ für fast alle [mm] $x\,.$ [/mm] (D.h. [mm] $(f_n(x))_n$ [/mm] konvergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] bis auf Ausnahme eine Nullmenge.)
(Hier ist es übrigens besser, sich die Aussage wirklich mit Repräsentanten [mm] $f_n \in \mathcal{L}^p$ [/mm] klarzumachen - ich denke, mit den Äquivalenzklassen [mm] $[f_n]$ [/mm] verwirrt man sich ansonsten zu sehr. Mit den Repräsentanten ist es nämlich unmissverständlich klar, was die punktweise Konvergenz fast überall von [mm] $(f_n(x))_n$ [/mm] bedeutet.)
(Beachte: Falls also die Voraussetzung [mm] $\|f_n-f\|_{L^p} \to [/mm] 0$ erfüllt ist, folgt dann auch $f [mm] \in L^p\,.$ [/mm] Denn:
[mm] $$\|f\|_{L^p} \le \|f-f_n\|_{L^p}+\|f_n\|_{L^p}$$
[/mm]
zeigt, dass
[mm] $$\|f\|_{L^p} \le \|f_N\|_{L^p}+1$$
[/mm]
für ein genügend großes [mm] $N\,$ [/mm] ist - und [mm] $\|f_N\|_{L^p} [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] gilt ja, weil [mm] $(f_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $L^p$ [/mm] war.)
Ansonsten kannst Du auch hier ein wenig weiterlesen.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
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> > Dies
> > entspricht ja der punktweisen Konvergenz auf nicht
> > Nullmengen.
> > Wie unterscheidet sich die Konvergenz fast überall und die
> > [mm]L^p[/mm] Konvergenz? Gibt es da überhaupt einen unterschied.
>
> Nein. Sei nämlich eine Funktionenfolge [mm](f_n)_n \in (L^p)^{\IN}[/mm]
> eine Funktionenfolge in [mm]L^p\,.[/mm] Dann konvergiert [mm](f_n)_n[/mm]
> gegen [mm]f\,[/mm] bzgl. [mm]\|.\|_{L^p}[/mm] genau dann, wenn [mm]f_n(x) \to f(x)[/mm]
> für fast alle [mm]x\,.[/mm] (D.h. [mm](f_n(x))_n[/mm] konvergiert für alle
> [mm]x\,[/mm] bis auf Ausnahme eine Nullmenge.)
Diese Aussage stimmt leider von Anfang bis Ende nicht.
Punktweise Konvergenz impliziert in keinster Weise Konvergenz in einem
Lebesgue-Raum [mm] $L^p$. [/mm] Nimm das klassische Beispiel auf [mm] $\Omega=[0,1]$
[/mm]
[mm] $f_k(x)=k\chi_{[0,\frac1k]}$
[/mm]
Diese Funktion hat immer das integral 1, ihr träger wird aber immer kleiner.
Die funktion konvergiert unbestritten punktweise gegen 0, aber nicht in [mm] $L^p$. [/mm]
Stellt man weitere voraussetzungen an die funktionenfolge (zB. existenz einer integrierbaren majorante), kann man jedoch auf konvergenz in [mm] L^p [/mm] schliessen (siehe etwa den konvergenzsatz von lebesgue).
auch umgekehrt impliziert konvergenz in [mm] L^p [/mm] nicht zwangsläufig pktw. konvergenz. Wenn ich mich richtig erinnere, kann man lediglich eine pktw. f.ü. konvergente teilfolge auswählen.
gruss
Matthias
[...]
> Gruß,
> Marcel
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