verteile n Kugeln auf N Zellen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 So 22.11.2009 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | | Eine Anzahl n voneinander unterscheidbarer Kugeln wird zufällig auf N Zellen verteilt. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der leergebliebenen Zellen. Berechne den Erwarungswert sowie die Varianz von X. |
Hallo!
Um den Erwartungswert und die Varianz berechnen zu können, muss ich ja ersteinmal die Wahrscheinlichkeit P(X =k) haben, woran es bei mir momentan auch scheitert.
Habe mir eigentlich überlegt, dass, wenn ich n Kugeln auf N Zellen verteilen will und k Zellen leer bleiben sollen, nur N-k Zellen besetzen darf. Daraus wäre ich auf folgendes gekommen, was jedoch falsch ist:
P(X=k)= [mm] \vektor{N \\ k} [/mm] * [mm] (\bruch{N-k}{N})^{n}
[/mm]
Vielleicht kann mir ja einer weiterhelfen. Danke schonmal im Vorraus.
Lg Julsch
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Hallo julsch,
wir haben das Thema zwar selbst erst in der Vorlesung gehabt, aber ich versuche mich trotzdem mal an einer Antwort:
Ich nehme mal an, dass auch mehrere Kugeln in eine Zelle reinkommen können bei dieser Verteilung, weil sonst die Frage nach dem Erwartungswert sinnlos wäre.
Also, du hast n Kugeln und N Zellen.
Definiere
X = Anzahl der leergebliebenen Zellen.
Jetzt spaltest du X auf:
$X = [mm] X_{1} [/mm] + [mm] X_{2} [/mm] + ... + [mm] X_{N}$,
[/mm]
wobei:
[mm] X_{1} [/mm] = 1, wenn 1. Zelle leer; [mm] X_{1} [/mm] = 0, wenn 1. Zelle voll, usw. für [mm] X_{2},...,X_{N}
[/mm]
Die [mm] X_{1},...,X_{N} [/mm] sind identisch verteilt, aber nicht notwendigerweise unabhängig (das müsstest du noch zeigen, weiß aber nicht ob es gilt!). Das macht dir beim Erwartungswert noch keine Probleme, aber bei der Varianz.
Die Idee ist nun, dass du damit schreiben kannst:
$E(X) = [mm] E\left(\sum_{k=1}^{N}X_{k}\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{N}E(X_{k}) [/mm] = [mm] N*E(X_{1})$
[/mm]
Wegen der Linearität des Erwartungswerts und der identischen Verteilungen von [mm] X_{1} [/mm] bis [mm] X_{N}.
[/mm]
Nun musst du nur noch den Erwartungswert von [mm] $X_{1}$ [/mm] bestimmen, das dürfte dir schnell gelingen, denn:
Wann ist die i-te Zelle leer? Wenn alle n Kugeln in die anderen (N-1) Zellen geschmissen wurden, also Wahrscheinlichkeit: [mm] \left(\frac{N-1}{N}\right)^{n}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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