verteilungsproblem < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi, ihr matheprofis!
ich bin selbst kein mathematiker und das ist auch das erste mal, dass ich hier was poste, aber ich hab hier gerade ein kleines problem, und vielleicht könnt ihr mir ja helfen. vielen dank schon mal vorweg! also:
1. ich möchte aus 6 kugeln mit unterschiedlicher farbe 3 ziehen.
(6 über 3): 6!/3!=720/6=120 möglichkeiten.
2. Ich ordne jedes der 120 ergebnisse (3 kugeln) kugelpackungsmässig optimal an;
also jede kugel berührt die zwei anderen.
dadurch ergibt sich unter allen ergebnissen eine rotationssymmetrie.
solch "kongruente" anordungen sind unerwünscht;
daher fliegen zwei von drei raus:
dann habe ich noch 120/3=40 anordnungen.
3. mein problem:
ich benötige nur 20 anordungen, muss daher die 40 "ergebnisse" nocheinmal halbieren. WIE?
natürlich sollen diese 20 anordnungen möglichst "gleichverteilt" sein, d.h. die "nachbarschaftsverhältnisse" sollen keiner "farbe" irgendeinen vorzug geben.
jede kugel soll in etwa gleich häufig einen nachbar mit entsprechender farbe "küssen", hier dann aber auch unter berücksichtigung der (rotations-) symmetrie.
ich hoffe, das war halbwegs verständlich *schwitz*
ist das überhaupt möglich, oder geht das garnicht?
gibt es vielleicht eine annäherung mit möglichst geringem fehler?
nochmal danke im voraus!
</kai>
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Hi, Kai,
(reimt sich: Ich bin ein Poet!)
> 1. ich möchte aus 6 kugeln mit unterschiedlicher farbe 3
> ziehen.
> (6 über 3): 6!/3!=720/6=120 möglichkeiten.
Schon falsch, denn: [mm] \vektor{6 \\ 3} [/mm] = 20.
Daher ist mir der Rest Deiner Ausführungen auch schleierhaft!
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Ah, vielen Dank für deine schnelle Antwort, und natürlich - du hast Recht.
6 über 3 ist 20. Mein (Anfänger-) Fehler. *schäm*
deshalb versuche ich es nocheinmal:
die 20(!) permutationen sind im einzelnen:
123
124
125
126
134
135
136
145
146
156
234
235
236
245
246
256
345
346
356
456
angenommen, ich ordne die drei kugeln jedes einzelnen ergebnisses ringförmig an, also kugelpackungsmässig ideal (so wie das zeichen, welches blinde menschen am arm tragen), dann tritt das nachbarschaftsverhältinis (nach oberer liste) "12" häufiger auf als "21" (bei beibehaltung EINES uhrzeigersinns)
nun gibt allerdings zwei möglichkeiten, drei kugeln nach o.g. regel anzuordnen (unter berücksichtigung der rotationssymmetrie), daher schwirrte mir die zahl 40 im kopf herum...
also, ich möchte sozusagen alle 20 permutationen ringförmig anordnen; aber die "nachbarschaftsverhältnisse unter beibehaltung eines uhrzeigersinns) sollen möglichst gleichverteilt sein; ich glaube, das trifft's.
sorry nochmal, wenn ich mich mathematisch nicht klar genug auszudrücken weiß, aber deshalb brauche ich doch eure hilfe!
ps: der reim war gut, aber ich glaub, den habbich schonmal gehört ;)
</kai>
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Hallo, Kai,
(jetzt reimt sich's nimmer!)
da läuft was falsch!
Du übersiehst bei den 20 Ergebnissen,
dass KEINE REIHENFOLGE VORHANDEN ist:
Z.B. Das Ergebnis 123 "beinhaltet" sozusagen 6 Tupel:
(123), (132), (231), (213), (312) und (321).
Also kann gar keine Rede davon sein, dass - wie Du sagst - "12 häufiger auftritt als 21". Egal wie Du die drei Zahlen (bzw. Farben) auch anordnest: es ist immer dasselbe (stochastische) Ergebnis:
Ob in einer Reihe, im Kreis, ob Du's von oben anschaust oder von unten, Uhrzeigersinn oder Gegenuhrzeigersinn: immer dasselbe; nur 1 Ergebnis!
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Hallo, Kai,
es wird Dir vielleicht nichts anderes übrig bleiben, als Dein Dominospiel aus 40 Steinen aufzubauen. Es ist halt nun mal so, dass jedes der 20 Ergebnisse insgesamt 6 Tupel repräsentiert, sodass die in Deinem Bild verwirklichte Reihenfolge, also z.B. 123 nur ZUFÄLLIG so zustandekommt. Genauso gut könntest Du in allen 20 Dreiecken die ersten beiden Kugeln vertauschen und schon wäre die Sache in Deinem Beispiel genau umgekehrt: 4 mal "Hellblau/Orange" und keinmal "Orange/Hellblau".
(PS: Warum ordnest Du die Farben in Deinem Bild eigentlich im Gegenuhrzeigersinn? Das führt zunächst mal in die Irre!)
Wenn's aber denn unbedingt nur 20 Ergebnisse sein sollen, dann nimm' halt die Hälfte der Ergebnisse im Uhrzeiger-, die anderen im Gegenuhrzeigersinn. Ob das dann aber wirklich auf die von Dir gewünschte Gleichverteilung der "Nachbarschaftsverhältnisse" führt, musst Du wohl ausprobieren! Du musst halt auf die zuvor schon erledigten Reihenfolgen achten. Mal einen Anfang machen:
123, 124, 125, 162,
134, 135, 163,
154, 164 (beide drehen, weil die Kombination Blau/Braun schon in 124 und 134 verwirklicht sind!)
156,
234, 253, 263 (die letzten beiden gedreht wegen der Kombination Orange/Gelb)
245, 264 (wegen Braun/Orange),
265, ...
(Bis dahin stimmt's, glaub' ich, aber nun müsste man sich die Sache wirklich mal farbig aufmalen, damit man wirklich jede Farbreihenfolge genau 2 mal kriegt, also z.B. 2 mal Blau/Gelb und 2 mal Gelb/Blau).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Mo 11.07.2005 | | Autor: | kai_hawaii |
liebes zwerglein-po-perglein (meine reime sind keine):
es gibt zwar noch keine lösung, doch nun hast du endlich meine frage verstanden (ja, ich konnte sie bisher nicht ausreichend gut formulieren *amkopfkratz*). Ich bin der meinung, es muß eine "gleichverteilung" der anordnungen geben, auch bei nur 20 Steinen. genau das ist mein problem, und ich glaube, es ist lösbar. was tun? </kai>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Di 12.07.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hallo, Kai,
die Aufgabe wird wohl schon so gelöst werden müssen, wie ich's begonnen habe, denn ich könnt' mir vorstellen, dass es keine EINDEUTIGE Lösung gibt, aber LösungEN sicher! Ich vermute, Du hast überprüft, dass oder ob mein Ansatz bis dahin stimmt. Nun schau halt, wie Du die letzten 3 Ergebnisse wählen musst, damit die "Paarbildung" vollkommen ist.
Vielleicht musst Du dazu auch noch einen oder mehrere der vorherigen Dreiecke drehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mi 13.07.2005 | | Autor: | kai_hawaii |
hi zwerglein!
dein ansatz (trial-and-error) war garnicht so verkehrt, nur kann es ab dem 3. tupel schon nicht mehr stimmen. (123),(124),(125), denn hier haben wir schon dreimal "12" in -einem- uhrzeigersinn nebeneinander. 1 und 2 erscheinen bei (6 über 3) genau 4-mal gleichzeitig in einem tupel. daher müssen/sollen sie sich bei gleichverteilung je 2-mal "im" und zweimal "gegen" den Uhrzeigersinn "küssen".
ich habe aber trotzalledem verstanden, worauf du hinaus willst, und habe es auch einmal mit der "brute-force"-methode versucht.
das hat allerdings zu nichts geführt (was nichts heißen soll, vielleicht bin ich auch nur zu doof...), aber mir fiel folgendes auf:
(rotation beachten; ab hier ist "12" etwas anderes als "21")
jedes "Nachbarschaftsverhältnis" besteht aus 2 Farben IN RICHTUNG.
es gibt auf jedem Stein 3 solcher "Küsse".
es gibt 20 Steine, also insgesamt 60 "Nachbarschaften".
es gibt 30 (6 über 2) Kuss-Möglichkeiten, daher muß jedes u.g. Zahlenpaar jeweils ZWEIMAL vorkommen:
12, 13, 14, 15, 16,
21, 23, 24, 25, 26,
31, 32, 34, 35, 36,
41, 42, 43, 45, 46,
51, 52, 53, 54, 56,
61, 62, 63, 64, 65.
So ergibt es nämlich es nämlich auch Sinn: 30*2=60; 60/3=20
Daher vermute ich, daß es nur EINE Lösung gibt (allerhöchstens noch eine zweite, achsengespiegelte), nicht mehr.
oh, gott, ich weiß nicht meht weiter *verzweifeltsei* </kai>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Do 14.07.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Kai,
naja: Dass es nicht "ganz" einfach sein wird, das per Hand zu lösen leuchtet ein, aber mit ein bissl probieren,...
Andererseits könntest Du versuchen, es mit Basic, Pascal oder so über ein selbst erstelltes Programm zu lösen. Oder geht sowas auch mit EXCEL?
Du schaffst es! Ich bau' auf Dich!
(Aber nochmal: Warum müssen's denn grade 20 Dreiecke sein?!
40 wär'n doch so einfach!)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Fr 15.07.2005 | | Autor: | kai_hawaii |
ok, vielleicht sollte ich tatsächlich ein programm schreiben.
so in etwa nach folgender logik:
- 20 Permutationen
- 6 Möglichkeiten, ein Tupel anzuordnen
=> 6 hoch 20 = 3.656*10^15 = 3.656.158.440.062.976 = alle Möglichkeiten
- für alle Möglichkeiten prüfe:
- kommt jedes Nachbarschaftsverhältnis IM Uhrzeigersinn zweimal vor?
- kommt jedes Nachbarschaftsverhältnis GEGEN DEN Uhrzeigersinn zweimal vor?
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gute idee oder schwachsinn? ansatz richtig/falsch? wie lange rechnet mein computer dann?
</kai>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hallo, Kai,
Du hast doch die Anzahl der Kombinationen bereits auf 40, genauer: 20 Paare, reduziert. Von jedem dieser 20 Paare musst Du - oder muss das Programm - nun eines auswählen und zwar so, dass die von Dir gewünschte Bedingung am Ende erfüllt ist!
Da die Wahl der ersten beiden Tupel beliebig ist, musst Du / Dein Programm ja "nur noch" bei jedem folgenden Paar prüfen, welches der beiden möglichen Tupel verwendet werden kann!
(PS: Ich bin immer noch der Ansicht, dass es mehr als 2 Lösungen gibt - kann's aber nicht beweisen!)
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http://www.bluescreensofdeath.com/problem.pdf
