vervollständigter Massraum < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (X,A,d) sei ein Massraum. Seien
[mm] Z_d [/mm] := {Z [mm] \subset [/mm] X: Z [mm] \subset [/mm] N mit N d-Nullmenge, N [mm] \subset [/mm] A}
[mm] A_d [/mm] := { (B [mm] \cup Z_1)\setminus Z_2 [/mm] : B [mm] \subset [/mm] A, [mm] Z_1, Z_2 \subset Z_d [/mm] }
Man zeige nun, dass
Für jede Teilmenge D [mm] \subset [/mm] X gilt
D [mm] \subset A_d \gdw [/mm] D = B [mm] \cup [/mm] Z für ein Z [mm] \subset Z_d [/mm] und ein B [mm] \subset [/mm] A |
[mm] \Rightarrow
[/mm]
$D=(B [mm] \cup Z_1)\setminus Z_2 [/mm] = B [mm] \setminus Z_2 \cup Z_1 \setminus Z_2 [/mm] $
Nun [mm] \exists N_1 \subset [/mm] A mit [mm] Z_1 \subset N_1 [/mm] und [mm] d(N_1) [/mm] =0 . Also ist auch weil [mm] Z_1 \setminus Z_2 \subset N_1 [/mm] also [mm] Z_1 \setminus Z_2 [/mm] eine d-Nullmenge [mm] \subset Z_d [/mm] .
Wie aber kann ich zeigen, dass B [mm] \setminus Z_2 \subset [/mm] A ist bzw. warum ist das so?
[mm] \Leftarrow
[/mm]
D=B [mm] \cup [/mm] Z = (B [mm] \cup [/mm] Z ) [mm] \setminus \emptyset
[/mm]
B [mm] \subset [/mm] A, Z, [mm] \emptyset \subset Z_d [/mm]
(Das reicht?)
Grüsse
|
|
| |
|
Hiho,
ein Hinweis vorweg: Deine Ausdrücke der Form $N [mm] \subset [/mm] A$ sind fundamental falsch! Du musst genauer unterscheiden zwischen Teilmenge [mm] "$\subset$" [/mm] und Element [mm] "$\in$"! [/mm] Ansonsten machen die Ausdrücke keinen Sinn. Das fängt schon zu Beginn an:
> [mm]Z_d := \{Z \subset X: Z \subset N \text{ mit } N \text{ d-Nullmenge }, N \subset A\}[/mm]
N ist hier keine Teilmenge von A, sondern ein Element.
Mach dir das klar und korrigier das bitte auch in allen anderen Fällen.
Das führt sogar dazu, dass deine Aufgabenstellung einfach nicht zu zeigen wäre, denn sie wäre falsch, es müsste auch dort [mm] $D\in Z_d$ [/mm] heißen!
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]D=(B \cup Z_1)\setminus Z_2 = B \setminus Z_2 \cup Z_1 \setminus Z_2 [/mm]
>
> Nun [mm]\exists N_1 \subset[/mm] A mit [mm]Z_1 \subset N_1[/mm] und [mm]d(N_1)[/mm] =0
> . Also ist auch weil [mm]Z_1 \setminus Z_2 \subset N_1[/mm] also
> [mm]Z_1 \setminus Z_2[/mm] eine d-Nullmenge [mm]\subset Z_d[/mm] .
>
> Wie aber kann ich zeigen, dass B [mm]\setminus Z_2 \subset[/mm] A
> ist bzw. warum ist das so?
Das ist im Allgemeinen auch nicht so.
Es gilt ja aber [mm] $Z_2 \subset N_2 \in [/mm] A$.
Nun Versuch mal [mm] $B\setminus Z_2$ [/mm] mit Hilfe von [mm] $B\setminus N_2, Z_2$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] darzustellen.
Dann bist du fertig.
Bei [mm] $B\setminus N_2$ [/mm] nimmst du ja anschaulich "mehr" weg als bei [mm] $B\setminus Z_2$, [/mm] dann musst du also was noch machen?
> [mm]\Leftarrow[/mm]
>
> D=B [mm]\cup[/mm] Z = (B [mm]\cup[/mm] Z ) [mm]\setminus \emptyset[/mm]
>
> B [mm]\subset[/mm] A, Z, [mm]\emptyset \subset Z_d[/mm]
>
> (Das reicht?)
Ja, wenn du die Notation anpasst, ist das wirklich so trivial 
MFG,
Gono.
|
|
|
|
