vielfachheit primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Sa 09.09.2017 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Seien $a,b [mm] \in \IQ\setminus{0}$ [/mm] mit $a+b [mm] \neq [/mm] 0$.Dann gilt für jede primzahl $p$
[mm] $v_p(a+b)\ge min\{v_p(a),v_p(b)\}$ [/mm] und es gilt die Gleicheit,falls [mm] $v_p(a) \neq v_p(b)$ [/mm] |
ich hab leider keinerlei ansatz.
ich hab mir mal überlegt
ich nehme die zahlen,wie geben a und b, aber kann ich diese jetzt eindeutig als produkt von primfaktoren darstellen,da $a,b [mm] \in \IQ\setminus{0}$ [/mm] ?
wenn ja hätte ich [mm] a=p_1^{v_1}*...*p_k^{v_k},b=q_1^{w_1}*...*q_k^{w_k}
[/mm]
jetzt,kommt ja jeder primzahl in [mm] $v_p(a)=v_1+..+v_k$ bzw.$v_p(b)=w_1+..+w_k$
[/mm]
Also [mm] $v_p(a+b)=v_1+..+v_k+w_1+..+w_k \ge v_p(a)+v_p(b)$
[/mm]
aber bringt mir das was?
liebe grüße
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> Seien [mm]a,b \in \IQ\setminus{0}[/mm] mit [mm]a+b \neq 0[/mm].Dann gilt für
> jede primzahl [mm]p[/mm]
>
> [mm]v_p(a+b)\ge min\{v_p(a),v_p(b)\}[/mm] und es gilt die
> Gleicheit,falls [mm]v_p(a) \neq v_p(b)[/mm]
Meinst du wirklich [mm]a,b \in \IQ\setminus \{0\}[/mm]
und nicht etwa [mm]a,b \in \IN\setminus \{0\}[/mm] ?
In letzterem Fall wäre dann [mm]a+b \neq 0[/mm] selbstverständlich
und müsste nicht separat verlangt werden.
Oder geht es um [mm]a,b \in \IZ\setminus\{0\}[/mm] ?
LG , Al-C.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Sa 09.09.2017 | | Autor: | nkln |
Hallo ,nein in der Aufgabenstellung steht $a,b [mm] \in \IQ \setminus\{0\}$
[/mm]
Also a und b in den rationalen Zahlen ohne die $0$
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> Hallo ,nein in der Aufgabenstellung steht [mm]a,b \in \IQ \setminus\{0\}[/mm]
>
> Also a und b in den rationalen Zahlen ohne die [mm]0[/mm]
Dann gib uns doch bitte noch an, wie denn $\ [mm] v_p(a)$ [/mm] für eine
rationale Zahl $\ a\ =\ [mm] \frac{n}{z}$ [/mm] mit $\ [mm] n\in\IZ$ [/mm] und $\ [mm] z\in\IN$ [/mm] genau definiert
sein soll.
Zum Beispiel $\ [mm] v_p\left(-\,\frac{24}{365}\right)\ [/mm] =\ \ ?$
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Hallo,
du musst noch die Primzahl $p$ spezifizieren.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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> Hallo,
>
> du musst noch die Primzahl [mm]p[/mm] spezifizieren.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Naja, zum Beispiel die Primzahlen, die in Zähler und Nenner
des Bruches stecken, also $\ [mm] p\,\in\,\{2,3,5,73\}$ [/mm] !
Sagen wir mal $\ [mm] v_2\left(\frac{24}{365}\right)\ [/mm] =\ ?$ und $\ [mm] v_5\left(\frac{24}{365}\right)\ [/mm] =\ ?$
LG, Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Sa 09.09.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
wenn ich es nicht falsch verstanden habe, dann ist
[mm] v_2\left(\frac{24}{365}\right)=3
[/mm]
und
[mm] v_5\left(\frac{24}{365}\right)=-1
[/mm]
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> wenn ich es nicht falsch verstanden habe, dann ist
>
> [mm]v_2\left(\frac{24}{365}\right)=3[/mm]
>
> und
>
> [mm]v_5\left(\frac{24}{365}\right)=-1[/mm]
>
>
> Gruß, Diophant
Hallo Diophant
Danke für den Hinweis. Bisher dachte ich an Primzahlzerlegungen
nur im Bereich der natürlichen Zahlen, aber wenn man auch negative
Exponenten zulässt, ist sofort alles klar (wenigstens mal soweit).
Sinnvollerweise sollte man sich dann aber wohl auf den Bereich
der positiven rationalen Zahlen beschränken oder irgendwie noch
die Zahl -1 als zusätzliche "Primzahl" zulassen, deren Vielfachheit
aber jeweils nur die Werte 0 und 1 annehmen darf ...
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo,
nein, das sollte man nicht. Es geht hier um Primzahlen (bzw. in geeigneter Verallgemeinerung um Primelemente), während $-1$ eine Einheit ist.
In einem nullteilerfreien Ring $A$ sei $p$ ein Primelement und [mm] $a\in [/mm] A$. Dann definiert man [mm] $v_p(a)=\max\{n:p^n\mid a\}$. [/mm] Ist $S$ eine multiplikative Teilmenge (z.B. [mm] $S=A\setminus\{0\}$, [/mm] sodass [mm] $S^{-1}A$ [/mm] der Quotientenkörper ist), so dehnt man [mm] $v_p$ [/mm] auf [mm] $S^{-1}A$ [/mm] aus durch [mm] $v_p(a/b)=v_p(a)-v_p(b)$, [/mm] hierbei muss man sich nicht um Gekürztheit des Bruches oder dergleichen scheren, sondern überlegt sich besser, dass diese Festlegung unabhängig von Kürzen und Erweitern ist - dies folgt natürlich aus der Beziehung [mm] $v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$).
[/mm]
Eigentlich war es natürlich Aufgabe des Themenstellers, dies irgendwo nachzuschlagen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Ich bin mittlerweile relativ weit von solchen Begriff-
lichkeiten entfernt.
Trotzdem denke ich, dass der wesentliche Inhalt des
vorliegenden Themas auch schon voll zur Geltung
kommt, wenn man sich auf die Menge der positiven
rationalen Zahlen beschränkt.
LG , Al-Chw.
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Man möchte aber [mm] $v_p$ [/mm] auf ganz [mm] $\IQ$ [/mm] definiert haben. Die Eigenschaft, die man hier im Themenstart zu zeigen hat, führt nämlich dazu, dass mit der Festsetzung [mm] $d(q,r)=p^{-v_p(q-r)}$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $\IQ$ [/mm] definiert wird, die sogenannte $p$-adische Metrik. Die Vervollständigung in Bezug auf Cauchy-Konvergenz nennt man den Körper der $p$-adischen Zahlen [mm] $\IQ_p$. [/mm] Das ist ein Körper mit dem man eine ganze Menge Analysis genauso wie in [mm] $\IR$ [/mm] betreiben kann, die Ergebnisse lassen sich schließlich wieder in arithmetische Aussagen über die Primzahl $p$ überführen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Nur eine kleine Frage:
sind dann im vorliegenden Fall auch etwa die Zahlen -2, -3, -5, -7 etc. "Primelemente" ?
Falls nein, weshalb nicht ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 So 10.09.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Nur eine kleine Frage:
>
> sind dann im vorliegenden Fall auch etwa die Zahlen -2, -3,
> -5, -7 etc. "Primelemente" ?
>
> Falls nein, weshalb nicht ?
würde man negative Primzahlen definieren, so wäre der Fundamentalsatz der Zahlentheorie (Eindeutigkeit der PFZ bis auf die Reihenfolge) hinfällig.
Gruß, Diophant
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Ja, sind sie. Allerdings ist die $-3$ was die Teilertheorie angeht, "nicht wesentlich von der $3$ verschieden", da beide Elemente sich gegenseitig teilen. Solche Elemente nennt man assoziiert (solange man in [mm] $\IZ$ [/mm] unterwegs ist, ist Assoziiertheit dasselbe wie Übereinstimmen bis auf Vorzeichen).
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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> Seien [mm]a,b \in \IQ\setminus{0}[/mm] mit [mm]a+b \neq 0[/mm].Dann gilt für
> jede primzahl [mm]p[/mm]
>
> [mm]v_p(a+b)\ge min\{v_p(a),v_p(b)\}[/mm] und es gilt die
> Gleicheit,falls [mm]v_p(a) \neq v_p(b)[/mm]
> ich hab leider
> keinerlei ansatz.
>
> ich hab mir mal überlegt
>
> ich nehme die zahlen,wie geben a und b, aber kann ich diese
> jetzt eindeutig als produkt von primfaktoren darstellen,da
> [mm]a,b \in \IQ\setminus{0}[/mm] ?
>
> wenn ja hätte ich
> [mm]a=p_1^{v_1}*...*p_k^{v_k},b=q_1^{w_1}*...*q_k^{w_k}[/mm]
Nicht direkt eindeutig, aber du kannst sie jedenfalls so darstellen, die [mm] $v_i$ [/mm] bzw. [mm] $w_i$ [/mm] sind hierbei ganze Zahlen.
> jetzt,kommt ja jeder primzahl in [mm]v_p(a)=v_1+..+v_k[/mm]
> bzw.[mm]v_p(b)=w_1+..+w_k[/mm]
Das ist falsch. Kannst du es korrigieren?
> Also [mm]v_p(a+b)=v_1+..+v_k+w_1+..+w_k \ge v_p(a)+v_p(b)[/mm]
Das hier noch falscher.
> aber bringt mir das was?
>
>
> liebe grüße
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 09.09.2017 | | Autor: | nkln |
$N$ primfaktoren davon sind $k$ verschiedene [mm] $\sum_{i=1}^{k} v_i(n)$
[/mm]
ich hab einfach keine ahnung sorry
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> [mm]N[/mm] primfaktoren davon sind [mm]k[/mm] verschiedene [mm]\sum_{i=1}^{k} v_i(n)[/mm]
Das ist kein deutscher Satz.
> ich hab einfach keine ahnung sorry
Das glaub' ich dir gerne. Dann schlag doch am besten mal im Skript, Buch oder Internet nach, wie [mm] $v_p(a)$ [/mm] überhaupt definiert ist. Ohne diese Information wirst du die Aufgabe nur schwer lösen können.
Tipp: ![[]](/images/popup.gif) p-adische Bewertung
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> Seien [mm]a,b \in \IQ\setminus{0}[/mm] mit [mm]a+b \neq 0[/mm].Dann gilt für
> jede primzahl [mm]p[/mm]
>
> [mm]v_p(a+b)\ge min\{v_p(a),v_p(b)\}[/mm] und es gilt die
> Gleicheit,falls [mm]v_p(a) \neq v_p(b)[/mm]
> ich hab leider
> keinerlei ansatz.
>
> ich hab mir mal überlegt
>
> ich nehme die zahlen,wie geben a und b, aber kann ich diese
> jetzt eindeutig als produkt von primfaktoren darstellen,da
> [mm]a,b \in \IQ\setminus{0}[/mm] ?
>
> wenn ja hätte ich
> [mm]a=p_1^{v_1}*...*p_k^{v_k},b=q_1^{w_1}*...*q_k^{w_k}[/mm]
>
> jetzt,kommt ja jeder primzahl in [mm]v_p(a)=v_1+..+v_k[/mm]
> bzw.[mm]v_p(b)=w_1+..+w_k[/mm]
>
> Also [mm]v_p(a+b)=v_1+..+v_k+w_1+..+w_k \ge v_p(a)+v_p(b)[/mm]
>
>
> aber bringt mir das was?
>
>
> liebe grüße
Natürlich kann (bzw. sollte) man die beiden gegebenen
Zahlen a und b zuerst als vollständig gekürzte Brüche
darstellen. Um mir das Ganze klar zu machen, habe ich
zuerst mal ein Beispiel mit zwei Brüchen a und b (jeweils
mit mehr als einem Primfaktor im Zähler und im Nenner)
gewählt und mir eine Liste mit den [mm] v_p(a) [/mm] , [mm] v_p(b) [/mm] und $\ [mm] v_p\left(\frac{a}{b}\right)$
[/mm]
aufgestellt. Anhand dieser Liste kann man die Behauptung
zuerst einmal testen.
Anschließend muss man sich insbesondere klar machen,
wie denn der Nenner von [mm] \frac{a}{b} [/mm] genau zustande kommt.
LG , Al-Chw.
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