vollst. Induktion Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 So 25.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie per Induktion nach n, dass folgende Ungleichungen für jede Natürliche Zahl [mm] n\ge [/mm] 4 gelten:
a) [mm] 2n+1<2^{n}
[/mm]
b) [mm] n^{2}\le2^{n} [/mm] |
Hallo;
ich muss diese Aufgabe abgeben und bin nicht ganz fertig geworden.
Bei der a wollte ich fragen, ob jmd mir sagen kann, ob es richtig ist was ich gemacht habe:
Induktionsanfang: n=4 [mm] 2*4+1<2^{4}
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: [mm] 2n+1<2^{n} [/mm] für jede natürliche Zahl [mm] n\ge4
[/mm]
Induktionsschritt:
Zu zeigen ist: 2(n+1)< [mm] 2^{n+1}
[/mm]
aus [mm] 2n+1<2^{n} [/mm] folgt [mm] 2*(2n+1)<2^{n}*2 \gdw 4n+2<2^{n+1}\Rightarrow(IV) 2(n+1)<4n+2<2^{n+1}
[/mm]
also gilt die Behauptung für n+1 und somit für alle n aus [mm] \IN [/mm]
[mm] \Box
[/mm]
bei b bin ich leider nicht weit gekommen
Induktionsanfang: n=4
[mm] 4^2\le 2^4
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: [mm] n^{2}\le2^{n} [/mm] für jede natürliche Zahl [mm] n\ge [/mm] 4
Induktionsschritt:
Zu zeigen [mm] (n+1)^2 \le 2^{n+1}
[/mm]
Beweis:
[mm] (n+1)^2=n^2+2n+1.......2n^2+4n+2=2(n+1)^2\le2*2^n=2^{n+1}
[/mm]
hier tauch mein problem auf wie kann ich die ....... füllen?
würde mich freuen, wenn mir jmd weiterhelfen kann.
Lg Melisa
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Hallo Melisa,
> Zeigen Sie per Induktion nach n, dass folgende
> Ungleichungen für jede natürliche Zahl [mm]n\ge[/mm] 4 gelten:
>
> a) [mm]2n+1<2^{n}[/mm]
> b) [mm]n^{2}\le2^{n}[/mm]
> Bei der a wollte ich fragen, ob jmd mir sagen kann, ob es
> richtig ist was ich gemacht habe:
>
> Induktionsanfang: n=4 [mm]2*4+1<2^{4}[/mm]
Dies solltest du nicht einfach hinschreiben, sondern
deutlich machen, dass du es wirklich genau nachge-
prüft hast. Also schreib die ausgerechneten Zahlen-
werte wirklich hin und bestätige, dass die entstehende
Ungleichung wahr ist !
> Induktionsvoraussetzung: [mm]2n+1<2^{n}[/mm] für jede natürliche ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Zahl [mm]n\ge4[/mm]
FALSCH !
Dass die Ungleichung für jede natürliche Zahl
gültig ist, soll ja erst bewiesen werden.
In der Induktionsvoraussetzung wird nur mal
hypothetisch angenommen, dass man eine
gewisse (aber im übrigen beliebige) Zahl n habe,
für welche die Ungleichung tatsächlich erfüllt ist.
Im Induktionsschritt muss man dann nachweisen,
dass die Ungleichung dann auch für deren Nach-
folgerzahl, also für n+1, gültig ist.
> Induktionsschritt:
>
> Zu zeigen ist: 2(n+1)< [mm]2^{n+1}[/mm]
Wo ist der zusätzliche Summand 1 geblieben ?
> aus [mm]\underbrace{2n+1<2^{n}}_{\red{Ind.Vor.}}[/mm] folgt [mm]\underbrace{2*(2n+1)<2^{n}*2}_{[ok]} \gdw \underbrace{4n+2<2^{n+1}}_{[ok]}\Rightarrow 2(n+1)<4n+2<2^{n+1}[/mm]
mit der notwendigen Korrektur (fehlenden Summanden
ersetzen) sieht es dann ein wenig anders aus.
Schau, dass du am Schluss zur beweisenden Ungleichung
$\ [mm] 2^{n+1}\ [/mm] >\ 2*(n+1)+1\ =\ [mm] 2\,n+3$
[/mm]
kommst.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 25.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
> >
> > Induktionsanfang: n=4 [mm]2*4+1<2^{4}[/mm]
>
> Dies solltest du nicht einfach hinschreiben, sondern
> deutlich machen, dass du es wirklich genau nachge-
> prüft hast. Also schreib die ausgerechneten Zahlen-
> werte wirklich hin und bestätige, dass die entstehende
> Ungleichung wahr ist !
ok das habe ich jz gemacht
>
> > Induktionsvoraussetzung: [mm]2n+1<2^{n}[/mm] für jede natürliche
>
> > Zahl [mm]n\ge4[/mm]
>
> FALSCH !
> Dass die Ungleichung für jede natürliche Zahl
> gültig ist, soll ja erst bewiesen werden.
> In der Induktionsvoraussetzung wird nur mal
> hypothetisch angenommen, dass man eine
> gewisse (aber im übrigen beliebige) Zahl n habe,
> für welche die Ungleichung tatsächlich erfüllt ist.
> Im Induktionsschritt muss man dann nachweisen,
> dass die Ungleichung dann auch für deren Nach-
> folgerzahl, also für n+1, gültig ist.
Aber da steht doch nicht für alle natürlichen Zahlen, sondern für alle natürlichen zahlen [mm] n\ge [/mm] 4 ist das trotzdem falsch? Bei Aufgabe https://matheraum.de/read?i=602592 habe ich es auch so gemacht. Ich verstehe nicht, warum es da richtig war und hier falsch ist :S
> > Induktionsschritt:
> >
> > Zu zeigen ist: 2(n+1)< [mm]2^{n+1}[/mm]
>
> Wo ist der zusätzliche Summand 1 geblieben ?
>
upsss da muss natürlich [mm] 2(n+2)<2^{n+1} [/mm] stehen
und somit:
aus [mm] 2(n+1)<2^{n+1} [/mm] folgt [mm] 2(2(n+1))<2^{n}*2 \gdw 8n+4<2^{n+1}\Rightarrow 2(n+2)<2^{n+1} [/mm] weil 8n+4> 2(n+2)
stimmt das jz so?
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 So 25.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo;
> > >
> > > Induktionsanfang: n=4 [mm]2*4+1<2^{4}[/mm]
> >
> > Dies solltest du nicht einfach hinschreiben, sondern
> > deutlich machen, dass du es wirklich genau nachge-
> > prüft hast. Also schreib die ausgerechneten Zahlen-
> > werte wirklich hin und bestätige, dass die
> entstehende
> > Ungleichung wahr ist !
>
> ok das habe ich jz gemacht
>
>
> >
> > > Induktionsvoraussetzung: [mm]2n+1<2^{n}[/mm] für jede natürliche
> >
> > > Zahl [mm]n\ge4[/mm]
> >
> > FALSCH !
> > Dass die Ungleichung für jede natürliche Zahl
> > gültig ist, soll ja erst bewiesen werden.
> > In der Induktionsvoraussetzung wird nur mal
> > hypothetisch angenommen, dass man eine
> > gewisse (aber im übrigen beliebige) Zahl n habe,
> > für welche die Ungleichung tatsächlich erfüllt ist.
> > Im Induktionsschritt muss man dann nachweisen,
> > dass die Ungleichung dann auch für deren Nach-
> > folgerzahl, also für n+1, gültig ist.
>
> Aber da steht doch nicht für alle natürlichen Zahlen,
> sondern für alle natürlichen zahlen [mm]n\ge[/mm] 4 ist das
> trotzdem falsch? Bei Aufgabe
Hallo,
es ging im Einwand von Al-Chwarizmi nicht vordergründig darum, ob es alle oder alle ab 4 sind.
Du hast eine mathematische Todsünde begangen, indem du die Induktionsbehauptung verwendet hast. Ausgehen kannst du nur von der Indutionsvoraussetzung (von der du weißt, dass sie für wenigstens ein n stimmt). Jetzt musst du beweisen, dass sie dann auch für ALLE NACHFOLGENDEN n stimmt.
Nochmal:
Induktionsvoraussetzung: [mm] 2n+1<2^n
[/mm]
Induktionsbehauptung: [mm] 2(n+1)+1<2^{n+1} [/mm] Auch wenn man diese noch nicht verwenden darf, kann man doch schon mal für sich selbst festhalten, dass 2(n+1)+1 auch als 2n+3 geschrieben werden kann.
Wir formen jetzt die IV so um, dass sie in Teilen schon der IB entspricht:
Aus [mm] 2n+1<2^n [/mm] folgt durch beidseitige Addition von 2:
2n+1 +2 [mm] <2^n [/mm] +2, also [mm] 2n+3<2^n+2.
[/mm]
Jetzt reicht es zu beweisen, dass diese [mm] 2^n+2 [/mm] kleiner sind als die [mm] 2^{n+1} [/mm] aus der Induktionsbehauptung. Wenn du das geschaff hast, steht die Ungleichungskette
[mm] 2n+3<2^n+2<2^{n+1} [/mm] und damit die Indukionsbehauptung.
Gruß Abakus
> https://matheraum.de/read?i=602592 habe ich es auch so
> gemacht. Ich verstehe nicht, warum es da richtig war und
> hier falsch ist :S
>
>
> > > Induktionsschritt:
> > >
> > > Zu zeigen ist: 2(n+1)< [mm]2^{n+1}[/mm]
> >
>
> > Wo ist der zusätzliche Summand 1 geblieben ?
> >
> upsss da muss natürlich [mm]2(n+2)<2^{n+1}[/mm] stehen
> und somit:
>
> aus [mm]2(n+1)<2^{n+1}[/mm] folgt [mm]2(2(n+1))<2^{n}*2 \gdw 8n+4<2^{n+1}\Rightarrow 2(n+2)<2^{n+1}[/mm]
> weil 8n+4> 2(n+2)
>
>
> stimmt das jz so?
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 25.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
kann ich das jz so stehen lassen?
Induktionsanfang: $ [mm] 2\cdot{}4+1<2^{4} [/mm] $= 9<16 ist wahr
Induktionsvoraussetzung: Es sei [mm] n\in \IN [/mm] mit [mm] n\ge4 [/mm] und es gelte [mm] 2n+1<2^n
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] n\to [/mm] n+1
zu zeigen: [mm] 2(n+1)+1<2^{n+1} \gdw 2n+3<2^{n+1}
[/mm]
aus $ [mm] 2n+1<2^{n} [/mm] $ folgt [mm] 2n+1+2<2^n+2 \gdw 2^n+3<2^n+2 \Rightarrow 2^n+3< 2^{n+1} [/mm] weil [mm] 2^n+2 [/mm] < [mm] 2^{n+1}
[/mm]
anders weis ich nicht wie ich [mm] 2^n+2 [/mm] < [mm] 2^{n+1} [/mm] zeigen soll
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Anfang in Ordnung.
> Induktionsanfang: [mm]2\cdot{}4+1<2^{4} [/mm]= 9<16 ist wahr
>
> Induktionsvoraussetzung: Es sei [mm]n\in \IN[/mm] mit [mm]n\ge4[/mm] und es
> gelte [mm]2n+1<2^n[/mm]
>
> Induktionsschritt: [mm]n\to[/mm] n+1
>
> zu zeigen: [mm]2(n+1)+1<2^{n+1} \gdw 2n+3<2^{n+1}[/mm]
>
> aus [mm]2n+1<2^{n}[/mm] folgt [mm]2n+1+2<2^n+2 \gdw
ab hier hast du dich wohl verschrieben
2^n+3<2^n+2 \Rightarrow 2^n+3< 2^{n+1}[/mm]
richtig: [mm] 2n+3<2^n+2
[/mm]
[mm] 2^n+2<2^n+2^n [/mm] fuer n>1 also sicher fuer n>4
[mm] 2^n+2^n=2^n*(1+1)
[/mm]
Den Rest kannst du? ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 25.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
ich habe ehrlich gesagt nicht viel von dem was du geschrieben hast verstanden (schäääämmm)
> > aus [mm]2n+1<2^{n}[/mm] folgt [mm]2n+1+2<2^n+2 \gdw
ab hier hast du dich wohl verschrieben
2^n+3<2^n+2 \Rightarrow 2^n+3< 2^{n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
>
> richtig: 2^n+3<2^n+2
> 2^n+2<2^n+2^n fuer n>1
> 2^n+2^n=2^n*(1+1)
> Den Rest kannst du? {grins]
> Gruss leduart
>
warum ist es ab \gdw 2^n+3<2^n+2 \Rightarrow 2^n+3< 2^{n+1} nicht mehr richtig?
2n+1+2<2^n+2 ist doch das selbe wie 2^n+3<2^n+2 ?
und wenn 2^n+3<2^n+2 dann ist auch 2^n+3< 2^{n+1} weil $ 2^n+2 $
oder nicht?
Ich dachte so ist die Aufgabe bewiesen :S
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
tut mir leid, das viele rote Zeug ist verwirrend. ich habs jetzt verbesser, und hoffe dass es dann lesbar ist.
du schreibst
[mm] :2n+1+2<2^n+2 [/mm] ist doch das selbe wie [mm] 2^n+3<2^n+2 [/mm]
nein, denn [mm] 2^n [/mm] und 2*n ist ja nicht dasselbe.
ich dachte, du hast dich mit [mm] 2^n [/mm] und 2*n nur verschrieben. bei dir fehlte nur der Schritt [mm] 2^n+2<2^{n+1} [/mm] den hab ich ergaenzt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 25.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
hallo;
ja ich hab mich vertippt, aber eben konnte ich nichts erkennen :D
vielen dank für die hilfe
Ich hab es jz so aufgeschrieben:
aus [mm] 2n+1<2^{n} [/mm] folgt: [mm] 2n+1+2<2^n+2 \gdw 2n+3<2^n+2<2^n+2^n=2^n*(1+1)=2^{n+1}
[/mm]
ich denke jz müsste es endlich stimmen :D oder????
Lg
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Hallo,h hab es jz so aufgeschrieben:
>
> aus [mm]2n+1<2^{n}[/mm] folgt:
2(n+1)+1=
> [mm]2n+1+2<2^n+2 \gdw
Der äquivalenzpfeil ist heir fhll am Platze, denn Du schätzt ja ab.
Mach eine Ungleichungskette:
2(n+1)+1=
> 2n+3<2^n+2<2^n+2^n=2^n*(1+1)=2^{n+1}[/mm]
Ja, richtig.
Gruß v. Angela
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> > > Induktionsvoraussetzung:
> > > [mm]2n+1<2^{n}[/mm] für jede
> > > natürliche Zahl [mm]n\ge4[/mm]
> >
> > FALSCH !
> > Dass die Ungleichung für jede natürliche Zahl ab n=4
> > gültig ist, soll ja erst bewiesen werden.
> > In der Induktionsvoraussetzung wird nur mal
> > hypothetisch angenommen, dass man eine
> > gewisse (aber im übrigen beliebige) Zahl n habe,
> > für welche die Ungleichung tatsächlich erfüllt ist.
> > Im Induktionsschritt muss man dann nachweisen,
> > dass die Ungleichung dann auch für deren Nach-
> > folgerzahl, also für n+1, gültig ist.
>
> Aber da steht doch nicht für alle natürlichen Zahlen,
> sondern für alle natürlichen Zahlen [mm]n\ge[/mm] 4
Klar, in diesem Punkt hast du natürlich Recht.
Das war ein kleines Versehen meinerseits. Sorry !
Übrigens gilt diese Ungleichung (a) schon ab n=3 .
LG
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Hallo!
> b) [mm]n^{2}\le2^{n}[/mm]
> Induktionsanfang: n=4
>
> [mm]4^2\le 2^4[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung: [mm]n^{2}\le2^{n}[/mm] für jede
> natürliche Zahl [mm]n\ge[/mm] 4
>
> Induktionsschritt:
>
> Zu zeigen [mm](n+1)^2 \le 2^{n+1}[/mm]
>
> Beweis:
> [mm](n+1)^2=n^2+2n+1.......2n^2+4n+2=2(n+1)^2\le2*2^n=2^{n+1}[/mm]
Eigentlich müsste es etwas anders aussehen auf der rechten Seite: Die Induktionsvoraussetzung kannst du ja nur auf [mm] n^{2} [/mm] anwenden, nicht auf [mm] (n+1)^{2}.
[/mm]
Deine rechte Seite müsste also so aussehen:
[mm] $.........\le 2*n^{2} \le 2*2^{n} [/mm] = [mm] 2^{n+1}$
[/mm]
Du musst also nur zeigen: [mm] $(n+1)^2=n^2+2n+1 \le 2*n^{2}$
[/mm]
Das darfst du auch als kleinen Extra-Beweis nebenher führen:
[mm] $n^2+2n+1 \le 2*n^{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 2n+1 [mm] \le n^{2}$
[/mm]
Warum gilt das?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 25.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
> [mm]n^2+2n+1 \le 2*n^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw 2n+1 \le n^{2}[/mm]
>
> Warum gilt das?
>
Ich überlege schon die ganze Zeit aber ich steh auf´m schlauch
warum gilt es ??? :S
Liebe Grüße
Melisa
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> Hallo;
>
> > [mm]n^2+2n+1 \le 2*n^{2}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 2n+1 \le n^{2}[/mm]
> >
> > Warum gilt das?
> >
>
> Ich überlege schon die ganze Zeit aber ich steh auf´m
> schlauch
> warum gilt es ??? :S
Hallo,
bedenke ... <==> 1 [mm] \le n^{2}-2n
[/mm]
und jetzt mal quadratisch ergänzen.
Gruß v. Angela
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