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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 So 30.10.2005 | | Autor: | oplok |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender (eigentlich einfachen) Aufgabe:
Beweise, dass 6 ein Teiler von [mm] 3^n [/mm] - 3 ist.
Zunächst habe ich n bewiesen: 9-3=6
dann für n n+1 eingesetzt.
Ich weiß
[mm] 3^n [/mm] - 3 + x = [mm] 3^n+1 [/mm] -3
also x = [mm] 3^n+1 [/mm] - [mm] 3^n
[/mm]
jetzt muss ich beweisen, dass 6 ein Teiler von [mm] 3^n+1 [/mm] - [mm] 3^n [/mm] ist.
Aber wie mache ich das? Muss ich wieder die vollständige Induktion anwenden?
Schonmal danke im Vorraus! :)
Gruß
oplok
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Aha Uni Essen.. ;)
ALso zunächst machst du es richtig, dass du für A(1) das machst und damit deinen Induktionsanfang hast.
Danach haben wir ja immer folgendes aufgestellt:
A(n) => A(n+1)
Dann steht da:
[mm] 3^{n+1}-3 [/mm] + Irgendwas = [mm] 3^{n+1}-3
[/mm]
Wir haben dann ja immer umgestellt:
Irgendwas= [mm] 3^{n+1}-3 [/mm] - [mm] (3^{n+1}-3)
[/mm]
Als Ergebnis habe ich da 2* [mm] 3^{n} [/mm] raus.
Also steht da
[mm] 3^{n}-3 [/mm] + 2* [mm] 3^{n} [/mm] = [mm] 3^{n+1}-3
[/mm]
6 | [mm] 3^{n}-3 [/mm] (Induktionsverraussertzunh
Außerdem gilt, dass [mm] 3^{n} [/mm] ist auch immer durch 3 teilbar. Also ist [mm] 2*3^{n} [/mm] immer durch 6 teilbar.
Und wegen Distributivgesetz ist dann auch 6 | [mm] 3^{n+1} [/mm] -3
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 30.10.2005 | | Autor: | oplok |
Ich habe da noch ein Prob mit deiner Umstellung:
Irgendwas = [mm] 3^n+1 [/mm] - 3 [mm] ^-(3^n+1 [/mm] - 3)
wie kommst du darauf? ich hab da [mm] 3^n+1 [/mm] - [mm] 3^n [/mm] raus...
Hilfe! :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 30.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo oplok!
Der von Eddie eingeschlagene Weg erschließt sich mir nicht so ganz ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") ...
Mein Ansatz für den Induktionsschritt sieht so aus:
[mm] $3^{n+1} [/mm] - 3 \ = \ [mm] 3^n*3^1 [/mm] - 3 \ = \ [mm] 3*\left(3^n-1\right) [/mm] \ = \ [mm] 3*\left(3^n-3 + 2\right) [/mm] \ = \ [mm] 3*\left(3^n-3\right) [/mm] + 3*2 \ = \ [mm] 3*\red{\left(3^n-3\right)} [/mm] + 6 \ = \ [mm] 3*\red{6m} [/mm] + 6 \ = \ 6*(3m+1)$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 30.10.2005 | | Autor: | oplok |
aha...
hast du jetzt bei diesem Schritt nur [mm] 3^n+1 [/mm] -3 umgeformt oder
Irgendwas = [mm] 3^n+1 [/mm] - 3 - [mm] (3^n [/mm] - 3) ausgerechnet?
sehe ich das richtig, dass [mm] 3^n+1 [/mm] und [mm] 3^n *3^1 [/mm] das selbe sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 So 30.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo oplok!
Ich habe hier lediglich den Ausdruck [mm] $3^{n+1}-3$ [/mm] umgeformt.
Und die Gleichheit von [mm] $3^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 3^n*3^1 [/mm] \ = \ [mm] 3*3^n$ [/mm] gilt ja gemäß  Potenzgesetz : [mm] $a^{m+n} [/mm] \ = \ [mm] a^m [/mm] * [mm] a^n$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 30.10.2005 | | Autor: | oplok |
Hallo Loddar,
so weit ist mir das jetzt inzwischen klar geworden. :)
allerdings frage ich mich noch wie du von
[mm] 3*(3^n [/mm] - 3) + 6 auf 3*6m +6 = 6 kommst.
woher kommt auf einmal das m?
sehe ich das richtig, dass ich dann im nächsten schritt [mm] 3^n+1 [/mm] -3 genauso umformen muss. Danach ist bewiesen, dass "irgendwas" auch durch 6 teilbar ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 30.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Halo oplok!
Gemäß Induktionsvoraussetzung ist ja [mm] $3^n-3$ [/mm] durch $6_$ teilbar, es lässt sich also in der Form $6*m_$ mit $m \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] darstellen.
Und weiteres musst du nicht mehr umformen (siehe meine Argumentation von oben).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 So 30.10.2005 | | Autor: | oplok |
ok, so weit ist das klar.
wenn ich jetzt aber beweisen soll dass 4 ein teiler von [mm] 5^n [/mm] + 7 ist und ich dann für n+1 [mm] 5^n+1 [/mm] + 7 raushabe, wie komm ich dann daran?
ausklammern geht ja nicht. wie kommt man darauf???
vielen, vielen dank! Du bist mein Held!!! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 So 30.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo oplok!
[mm] $5^{n+1} [/mm] + 7 \ = \ [mm] 5*5^n [/mm] + 7 \ = \ [mm] (4+1)*5^n [/mm] + 7 \ = \ ...$
Schaffst Du den Rest nun selber?
Gruß
Loddar
PS: Für neue Aufgaben bitte auch einen neuen Thread eröffnen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 So 30.10.2005 | | Autor: | Eddie9983 |
Das ist genauso, wie es uns der Prof an Beispielen erklärt hat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 30.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo oplok,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du kommst hier auch ohne vollständige Induktion aus.
Wann ist eine Zahl durch $6_$ teilbar? Wenn sie durch $3_$ und durch $2_$ (also gerade) teilbar ist.
[mm] $3^n [/mm] - 3 \ = \ [mm] 3*\left( \ 3^{n-1} - 1 \ \right)$
[/mm]
Durch den Faktor $3_$ ist nun klar, die betrachteten Zahlen [mm] $3^n-3$ [/mm] sind immer durch $3_$ teilbar.
Und alle Potenzen von $3_$ sind immer ungerade, daher ist der Ausdruck [mm] $3^{n-1}-1$ [/mm] auch immer gerade, also durch $2_$ teilbar.
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 So 30.10.2005 | | Autor: | Eddie9983 |
Ansich ist dein Weg und deine Lösung völlig logisch und auch richtig. Aber die Aufgabenstellung sagt, dass wir die vollständige Induktion benutzen sollen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 So 30.10.2005 | | Autor: | oplok |
Danke sehr!
Eddie, kennste den Übungszettel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 So 30.10.2005 | | Autor: | Eddie9983 |
Ich gehe mal davon aus, dass wir morgen um 12 Uhr im selben Audimax bei dem selben Professor an der selben Uni sitzen werden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 So 30.10.2005 | | Autor: | oplok |
ist ja lustig! :)
vielleicht kannst du mir ja dann auch bei aufgabe 5 helfen?
was genau muss ich da machen?
also ich habe erstmal A(0) bewiesen.
dann n+1 eingesetzt: [mm] 2an+4a+qn^2+3qn+2q [/mm] alles durch 2.
das ist dann plus irgendwas = [mm] 2an+4a+qn^2+3qn+2q [/mm] /2
und dann entsteht bei mir chaos.
was genau will ich herausfinden???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 So 30.10.2005 | | Autor: | Eddie9983 |
Also das mit dem "Plus irgendwas" kannst du da nicht machen. Das geht nur bei der Teilbarkeit.
Wir haben in den Vorlestung letzte Woche ja ein Beispiel gehabt. Danach habe ich versucht irgendwas raus zu bekommen. Da steht dann irgendwas am Ende wie q= 0 oder bei 5b q = 1. Kein Plan, ob das so gewünscht wird. Ich habe die Vollständige Induktion, wenn es nicht um Teilbarkeit geht, noch nicht verstanden.
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