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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Franzi12 |
| Aufgabe | a-b teilt aⁿ -bⁿ ; (a,b sind natürliche Zahlen; a ist ungleich b)
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Ich muss bis morgen diese Aufabe mit Hilfe der vollständigen Induktion lösen:
a-b teilt aⁿ -bⁿ ; (a,b sind natürliche Zahlen; a ist ungleich b)
Ich hab wirklich keine Idee, wie ich den Induktionsschritt durchführen soll! Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte!! Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich muss bis morgen diese Aufabe mit Hilfe der
> vollständigen Induktion lösen:
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> a-b teilt aⁿ -bⁿ ; (a,b sind
> natürliche Zahlen; a ist ungleich b)
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> Ich hab wirklich keine Idee, wie ich den Induktionsschritt
> durchführen soll! Es wäre echt toll, wenn mir jemand helfen
> könnte!! Danke!
>
Ich könnte mir folgenden Weg vorstellen:
[mm](a^{n+1} - b^{n+1}):(a - b) = a^n + \bruch{b*a^n-b^{n+1}}{a-b}[/mm] (normale schriftliche Division, nur einen Schritt ausführen, dann bleibt eben der genannte Rest übrig)
[mm]=a^n + \bruch{b*(a^n-b^{n})}{a-b} [/mm]
Nach Induktionsannahme ist [mm]a^n - b^n [/mm] teilbar durch a-b, also ergibt sich beim Bruch eine ganze Zahl, also ergibt die Division eine ganze Zahl. Damit ist die Teilbarkeit nachgewiesen.
Gruß,
weightgainer
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Okay, ich versuche es nochmal - eine andere Lösung per Induktion fällt mir nämlich nicht ein  .
Behauptung: a-b teilt [mm] a^n [/mm] - [mm] b^n
[/mm]
Beweis: mit Induktion
Induktionsanfang: n=1 ist klar
Induktionsschritt: Die Behauptung sei nun für ein n [mm] \in \IN [/mm] gezeigt und wir betrachten jetzt das ganze für n+1.
Wir müssen also anschauen, ob [mm] a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1} [/mm] durch a-b teilbar ist. Dabei sollten wir es irgendwie schaffen, wieder das [mm] a^n-b^n [/mm] mit ins Spiel zu bringen.
Leider kann man da jetzt nicht einfach ein a oder b ausklammern, denn dann kommt man nicht zu [mm] a^n, [/mm] sondern z.B. beim ausklammern eines b auf [mm] \bruch{a^n}{b} [/mm] - [mm] b^n. [/mm] Dann stimmt zwar hinten das [mm] b^n, [/mm] aber leider bekommst du vorne nicht das [mm] a^n, [/mm] das du brauchst.
Also muss es einen anderen Weg geben. Jetzt führen wir die Division einfach mal durch. Vielleicht hast du schon einmal den Begriff "Polynomdivision" gehört, das muss man hier dann machen:
Ich mache es erstmal für ein Beispiel, nämlich n =3:
[mm] (a^3-b^3):(a-b)=a^2
[/mm]
[mm] -(a^3-b*a^2)
[/mm]
---------------
[mm] b*a^2
[/mm]
(wie oft passt das a aus der zweiten Klammer in das [mm] a^3? [/mm] Genau [mm] a^2-mal. [/mm] Jetzt muss man das [mm] a^2-fache [/mm] der Klammer subtrahieren. das [mm] a^3 [/mm] ist damit erledigt und es bleibt dieser Teil, zusätzlich zu dem [mm] -b^3, [/mm] aber das verarzten wir später)
Jetzt geht das genauso weiter
[mm] (a^3-b^3):(a-b)=a^2 [/mm] + b*a
[mm] -(a^3-b*a^2)
[/mm]
---------------
[mm] b*a^2
[/mm]
[mm] -(b*a^2-b^2*a)
[/mm]
-----------------
[mm] b^2*a
[/mm]
Und noch ein Schritt:
[mm] (a^3 -b^3):(a-b)=a^2 [/mm] + b*a + [mm] b^2
[/mm]
[mm] -(a^3-b*a^2)
[/mm]
---------------
[mm] b*a^2
[/mm]
[mm] -(b*a^2-b^2*a)
[/mm]
-----------------
[mm] b^2*a
[/mm]
[mm] -(b^2*a [/mm] - [mm] b^3)
[/mm]
----------------
0
Im letzten Schritt kannst du endlich die [mm] b^3 [/mm] vom Anfang mit dem im letzten Schritt subtrahierten [mm] b^3 [/mm] verarbeiten.
Fazit: die Division geht auf, also ist [mm] a^3-b^3 [/mm] teilbar durch a-b
Genau das gleiche kannst du jetzt im Induktionsschritt machen. Da hast du nur das Problem, dass du nicht weißt, wann du fertig bist. Deswegen machst du nur den ersten Schritt und benutzt dann die Aussage für n, die du ja schon nachgewiesen hast. Also:
[mm] (a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1}):(a-b) [/mm] = [mm] a^n
[/mm]
- [mm] (a^{n+1} -b*a^n)
[/mm]
---------------------
[mm] b*a^n [/mm] - [mm] b^{n+1}
[/mm]
Ich ziehe jetzt diesen letzten Term [mm] b^{n+1} [/mm] mit herunter, weil ich jetzt ja mit dieser Division aufhören will. Das was jetzt noch übrig ist, muss ich aber noch durch die (a-b) dividieren, d.h. ich bekomme heraus:
[mm] (a^{n+1}- b^{n+1}):(a-b) [/mm] = [mm] a^n [/mm] + [mm] \bruch{b*a^n - b^{n+1}}{a-b}
[/mm]
Jetzt kannst du im Bruch das b ausklammern und es steht da:
[mm]=a^n + b* \bruch{a^n - b^n}{a-b} [/mm]
Für den Bruch weißt du aber jetzt nach deiner Induktionsannahme, dass da eine ganze Zahl rauskommt. Also bekommst du insgesamt heraus, dass bei der Division von [mm] a^{n+1}- b^{n+1} [/mm] durch a-b eine ganze Zahl herauskommt.
Ich hoffe, jetzt ist es ein bisschen verständlicher .
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Franzi12 |
Vielen Dank für die Mühe, du hast mir echt geholfen! Lg Franzi
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... gerne wieder .
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