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| Aufgabe | Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
[mm]
(a-b)\summe_{i=0}^{n} a^{i}b^{n-i} = a^{n+1}-b^{n+1} ,a,b\in\IR
[/mm] |
Hallo hab hier eine nette kleine vll. Induktion, dass hab ich bisher:
I.A.
[mm]
n=0
[/mm]
[mm]
(a-b)\summe_{i=0}^{0} a^{0}b^{0} = a^{0+1}-b^{0+1}
[/mm]
[mm]
(a-b) = (a-b)
[/mm]
I.V. (siehe Aufg.)
I.S.
[mm] n \mapsto n+1[/mm]
[mm] (a-b)\summe_{i=0}^{n+1} a^{i}b^{n+1-i} [/mm] = [mm] a^{n+1+1}-b^{n+1+1}
[/mm]
linke Seite:
[mm]a * \summe_{i=0}^{n+1} a^{i}b^{n+1-i} - b * \summe_{i=0}^{n+1} a^{i}b^{n+1-i} = \summe_{i=0}^{n+1} a^{i+1}b^{n+1-i} - \summe_{i=0}^{n+1} a^{i}b^{n+2-i}
[/mm]
und jetzt hänge ich fest, wie muss ich weiter machen? bzw. ist es bisher richtig?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 25.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo MrGreenhorn!
Es war etwas ungeschickt, die Klammer mit $(a-b)*..._$ auszumultiplizieren.
Besser ist:
$$(a-b)*\summe_{i=0}^{n+1} a^{i}*b^{n+1-i}$$
$$= \ (a-b)*\left( \ \summe_{i=0}^{n} a^{i}*b^{n+1-i}+a^{n+1}*b^0 \ \right)$$
$$= \ (a-b)*\left( \ b*\summe_{i=0}^{n} a^{i}*b^{n-i}+a^{n+1} \ \right)$$
$$= \ b*\red{(a-b)*\summe_{i=0}^{n} a^{i}*b^{n-i}}+(a-b)*a^{n+1} \ \right)$$
Auf den roten Term nun die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Gruß
Loddar
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ach jetzt fällt es mir wie Schuppen von den Augen :)
DANKE Loddar
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