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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mi 28.10.2009 | | Autor: | flare |
| Aufgabe | | [mm] n^{n+1}>(n+1)^n [/mm] |
Induktionsanfang ist sicherlich n=3
aus n folgt n+1
[mm] (n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1}
[/mm]
Bisher wars immer so schoen einfach, dass ich die linke Seite mit was multiplizieren musste um von n auf n+1 zu kommen und konnte dann durch abschaetzen der linken Seite zeigen, dass es gilt aber hier sehe ich weder auf der linken noch auf der rechten Seite eine Moeglichkeit das irgendwie zu multiplizieren.
Wenn ich zB die Ungleichung mit n+1 multipliziere kommt
[mm] (n+1)*n^{n+1}>(n+1)^{n+1}
[/mm]
was ich zu
[mm] n^{n+1}+n^{n+2}>(n+1)^{n+1}
[/mm]
hilft mir das weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mi 28.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Idee, das per Induktion zu zeigen, ist soweit gut.
Jetzt würde ich den Ind.-Schritt aber in einer (un)Gleichungskette fahren.
Also:
$$ [mm] (n+1)^{n+2} [/mm] $$
$$ [mm] =(n+1)^{n+1+1} [/mm] $$
$$ [mm] =(n+1)^{n+1}*(n+1)^{1} [/mm] $$
$$ [mm] >n^{n+1}*(n+1)^{1} [/mm] $$
$$ [mm] =n*n^{n+1}+1*n^{n+1} [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{I.V.}{>}n*(n+1)^{n}+1*(n+1)^{n} [/mm] $$
Kommst du damit erstmal weiter?
Marius
P.S.: Deine Reaktion hier trifft voll und ganz die Meinung des Moderatorenteams, da gibt es auch eine Diskussion über das Verhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Mi 28.10.2009 | | Autor: | flare |
Wie meinst du das denn mit der Notierung?
Du betrachtest nur den linken Teil der Ungleichung von n+1 , also
$ [mm] (n+1)^{n+2} [/mm] $
und lässt das immer kleiner werden?oder wie hast du das gemeint.
Darf man das denn, woher weiß ich denn, dass ich nicht zuviel abziehe.
Wenn ich zB 1024>625 habe und dann immer was abziehe, kann es ja sein dass ich plötzlich was niedrigeres auf der linken Seite habe ?^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Do 29.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie meinst du das denn mit der Notierung?
>
> Du betrachtest nur den linken Teil der Ungleichung von n+1
> , also
> [mm](n+1)^{n+2}[/mm]
> und lässt das immer kleiner werden?oder wie hast du das
> gemeint.
Genau. Und die Idee ist jetzt zu zeigen, dass die rechte Seite, die bei Marius unten uebrigbleibt, groessergleich $(n + [mm] 2)^{n + 1}$ [/mm] ist.
> Darf man das denn, woher weiß ich denn, dass ich nicht
> zuviel abziehe.
In diesem Fall ist bereits zu viel weg, da Marius nur noch $(n + [mm] 1)^{n + 1}$ [/mm] uebrig hat, da aber besser etwas [mm] $\ge [/mm] (n + [mm] 2)^{n + 1}$ [/mm] stehen sollte.
> Wenn ich zB 1024>625 habe und dann immer was abziehe, kann
> es ja sein dass ich plötzlich was niedrigeres auf der
> linken Seite habe ?^^
Genau. Du musst also aufpassen.
Mal zurueck zum Ausgangsproblem. Du sollst zeigen $n > (1 + [mm] 1/n)^n$, [/mm] wenn du das mal umformst. Wenn du jetzt weisst, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] (1 + [mm] 1/n)^n [/mm] = [mm] \exp(1)$ [/mm] ist (und die Folge monoton steigend ist), bist du ziemlich schnell fertig  Wenn du das ganze allerdings per Induktion loesen musst, ist das wohl nicht der richtige Ansatz.
Du kannst allerdings folgendes abschaetzen: $(1 + [mm] 1/(n+1))^{n+1} [/mm] - (1 + [mm] 1/n)^n [/mm] = [mm] \frac{(n + 2)^{n+1} - (n + 1)^n}{(n + 1)^{n+1} n^n} [/mm] = n [mm] (\frac{n + 2}{(n + 1) n})^{n + 1} [/mm] - [mm] \frac{1}{(n + 1) n^n} [/mm] = n (1/n + [mm] 1/(n^2+n))^{n + 1} [/mm] - [mm] \frac{1}{(n + 1) n^n}$. [/mm] Da $1/n + [mm] 1/(n^2+n) \le [/mm] 2/n$ ist dies [mm] $\le [/mm] n [mm] (2/n)^{n+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{(n + 1) n^n} [/mm] < 2 [mm] \cdot (2/n)^n$. [/mm] Fuer $n > 2$ ist dies strikt $< 1$. Damit kannst du wiederum die Aussage $n > (1 + [mm] 1/n)^n$ [/mm] per Induktion zeigen: die rechte Seite wird um weniger als 1 groesser, wenn du $n$ um eins erhoehst (wenn $n > 2$). Fuer ein paar kleine $n$ musst du die Aussage dann halt von Hand zeigen.
Das kann man sicher auch noch schoener aufschreiben (insb. in Bezug auf die eigentliche Aufgabe).
LG Felix
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