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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 04.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{2.k}=\bruch{1-x^{2.(n+1)}}{1-x^{2}} [/mm] |
Beim Induktionsanfang mit n=1 erhalte ich :
[mm] \summe_{k=0}^{n} x^{2.k}= [/mm] x
ABER : [mm] \bruch{1-x^{2.(n+1)}}{1-x^{2}}= \bruch{1-x^{2.5}}{1-x^{2}}= 1+x^{2} [/mm] !!
irgendwas hab ich falsch gemacht,da dies mein erster fall mit k=0 ist.
kann jemand mir erklären wie ich mit diesem fall umgehen soll?
vielen dank
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Ich vermute mal 2.k soll $2*k$, also "2 mal k" heissen? Besser dann nur zu schreiben 2k.
Dann hast du gleich mehrere Fehler auf einmal gemacht:
> Beim Induktionsanfang mit n=1 erhalte ich :
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{2.k}=[/mm] x
Das ist falsch, bedenke, dass die Summe bei $k=0$ losgeht und nicht bei $k=1$! Du hast also den ersten Summanden vergessen.
> ABER : [mm]\bruch{1-x^{2.(n+1)}}{1-x^{2}}= \bruch{1-x^{2.5}}{1-x^{2}}= 1+x^{2}[/mm]
Wie kommst du da auch [mm] x^{2.5} [/mm] ? Anscheinend heisst 2.(n+1) doch nicht $2(n+1)$ ?
Bist du sicher, dass du das mit vollständiger Induktion machen sollst?
Die Aufgabe lässt sich nämlich auch ohne lösen mit dem Wissen über die geometrische Summe, die ihr bestimmt schon bewiesen habt.
Nämlich:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 So 04.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | beim zweiten teil meiner frage war eine tippfehler |
das war [mm] \bruch{1-x^{4}}{1-x^{2}}
[/mm]
sorry. und die aufgabe soll ich mit voll. Induktion beweisen.nun verstehe ich nicht was für ein unterschied das ist wenn du schreibst 2.(k) ist ungleich 2k, kannst du es mir erklären bitte ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 So 04.07.2010 | | Autor: | abakus |
> beim zweiten teil meiner frage war eine tippfehler
> das war [mm]\bruch{1-x^{4}}{1-x^{2}}[/mm]
> sorry. und die aufgabe soll ich mit voll. Induktion
> beweisen.nun verstehe ich nicht was für ein unterschied
> das ist wenn du schreibst 2.(k) ist ungleich 2k, kannst du
> es mir erklären bitte ??
Das wurde nicht behauptet.
Nein, du müsstest was erklären. Wie kommst du in deinen Exponenten von 2*(n+1) auf 2,5?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 So 04.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | Wie kommst du in deinen Exponenten von 2*(n+1) auf 2,5?
es gibt kein 2,5 ich hab's falsch vom Formeleditor :)
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nun habe ich verstanden was du meintest :
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{2.k}=\bruch{1-x^{2.(n+1)}}{1-x^{2}} [/mm] $
Induktionsanfang : es gilt für n=1
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{2.k}= x^{2.0} [/mm] + [mm] x^{2.1} [/mm] $
also : $ [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{2.k}= [/mm] 1+ [mm] x^{2} [/mm] $
außerdem gilt: [mm] $\bruch{1-x^{2.(n+1)}}{1-x^{2}}= \bruch{1-x^{4}}{1-x^{2}}= 1+x^{2} [/mm] $
wahre Aussage
ist es so richtig?
danke
gruße saf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 04.07.2010 | | Autor: | Marcel |
> Wie kommst du in deinen Exponenten von 2*(n+1) auf 2,5?
> es gibt kein 2,5 ich hab's falsch vom Formeleditor :)
>
> nun habe ich verstanden was du meintest :
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{2.k}=\bruch{1-x^{2.(n+1)}}{1-x^{2}}[/mm]
>
> Induktionsanfang : es gilt für n=1
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{2.k}= x^{2.0} + x^{2.1}[/mm]
> also : [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{2.k}= 1+ x^{2}[/mm]
genau!
> außerdem gilt: [mm]\bruch{1-x^{2.(n+1)}}{1-x^{2}}= \bruch{1-x^{4}}{1-x^{2}}= 1+x^{2}[/mm]
(Letzteres gilt eigentlich "nur" für $|x| [mm] \not=1$, [/mm] sofern wir in [mm] $\IR$ [/mm] rechnen.)
> wahre Aussage
> ist es so richtig?
Ja. (Bis auf die kleine Einschränkung, dass man [mm] $1-x^2 \not=0$ [/mm] fordern muss, damit [mm] $\bruch{1-x^{4}}{1-x^{2}}$ [/mm] überhaupt definiert ist. Aber das ist nur eine "Feinheit", der man aber dennoch Beachtung schenken sollte.)
Edit: Da Du die Formel sicher für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] zeigen sollst, wäre es sinnvoller, mit [mm] $n=0\,$ [/mm] den Induktionsanfang zu machen. Denn oben zeigst Du, wenn Du den Induktionsstart mit [mm] $n=1\,$ [/mm] machst, dass die Formel "nur" für alle $n [mm] \in \IN=\IN_{\ge 1}$ [/mm] gilt. D.h. Du müsstest auch dann den Fall [mm] $n=0\,$ [/mm] nochmal gesondert untersuchen.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 So 04.07.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Möp, quatsch geschrieben.
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 04.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{2.k}=\bruch{1-x^{2.(n+1)}}{1-x^{2}}[/mm]
>
> Beim Induktionsanfang mit n=1 erhalte ich :
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^{2.k}=[/mm] x
>
> ABER : [mm]\bruch{1-x^{2.(n+1)}}{1-x^{2}}= \bruch{1-x^{2.5}}{1-x^{2}}= 1+x^{2}[/mm]
> !!
> irgendwas hab ich falsch gemacht,da dies mein erster fall
> mit k=0 ist.
> kann jemand mir erklären wie ich mit diesem fall umgehen
> soll?
> vielen dank
Deine Schreibweisen sind unklar. Wenn Du allerdings
[mm] $$\sum_{k=0}^n x^{2k}=\sum_{k=0}^n (x^2)^k$$
[/mm]
schreibst (beachte [mm] $x^2 \not=1 \gdw [/mm] x [mm] \not=\pm1$), [/mm] dann hast Du eh schon von Gonozal_IX eine Lösung, wo Du keine Induktion mehr brauchst.
Ansonsten schreib' halt mal den Induktionsschritt auch noch auf. Den Induktionsanfang solltest Du eigentlich für [mm] $n=0\,$ [/mm] machen:
[mm] $$\sum_{k=0}^n x^{2k}=1 \text{ und }\frac{1-x^{2*(0+1)}}{1-x^2}=\frac{1-x^2}{1-x^2}=1\;\;\;(|x| \not=1 )\,,$$
[/mm]
passt also.
Wenn Du es auch für $n=1$ machst (dann musst Du die Behauptung zusätzlich vorher für [mm] $n=0\,$ [/mm] geprüft haben, sonst erhältst Du den Beweis mittles Induktion ja nur für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 1$):
[mm] $$$$\sum_{k=0}^1 x^{2k}=x^{2*0}+x^{2*1}=1+x^2 \text{ und }\frac{1-x^{2*(1+1)}}{1-x^2}=\frac{1-x^4}{1-x^2}=\frac{1-(x^2)^2}{1-x^2}=\frac{(1+x^2)(1-x^2)}{(1-x^2)}=1+x^2\;\;(|x| \not=1)\,.$$
[/mm]
Passt also auch.
Beste Grüße,
Marcel
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 So 04.07.2010 | | Autor: | safsaf |
vieeeeelen dank
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