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| Aufgabe | Vervollständigen SIe die Formel 1 + x + [mm] x^2 [/mm] + .. + [mm] x^n [/mm] =....
-> Beweis mittels vollständiger Induktion |
Hallo!
1 + x + [mm] x^2 [/mm] + .. + [mm] x^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n x^k
[/mm]
I.Anfang 1 [mm] =x^0, [/mm] 1=1
I.Annahme 1 + x + [mm] x^2 [/mm] + .. + [mm] x^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n x^k
[/mm]
ZuZeigen: 1+ x + [mm] x^2 [/mm] + .. + [mm] x^n [/mm] + [mm] x^{n+1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n+1} x^k
[/mm]
I.Schritt: 1+ x + [mm] x^2 [/mm] + .. + [mm] x^n [/mm] + [mm] x^{n+1} [/mm] =laut I.Annahme [mm] \sum_{k=0}^n x^k [/mm] + [mm] x^{n+1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n+1} x^k
[/mm]
Passt das so, oder vollkommen daneben?
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Hallo
> Vervollständigen SIe die Formel 1 + x + [mm]x^2[/mm] + .. + [mm]x^n[/mm]
> =....
> -> Beweis mittels vollständiger Induktion
> Hallo!
>
> 1 + x + [mm]x^2[/mm] + .. + [mm]x^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n x^k[/mm]
>
Was du hier gemacht hast, ist zwar richtig, aber links schreibst du alle Glieder einzeln hin und rechts benutzt du die Summenschreibweise. Du sollst hier aber eine geschlossene Formel finden.
> I.Anfang 1 [mm]=x^0,[/mm] 1=1
> I.Annahme 1 + x + [mm]x^2[/mm] + .. + [mm]x^n[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n x^k[/mm]
>
> ZuZeigen: 1+ x + [mm]x^2[/mm] + .. + [mm]x^n[/mm] + [mm]x^{n+1}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1} x^k[/mm]
Das musst du nicht zeigen. Auf beiden Seiten steht das Gleiche
> I.Schritt: 1+ x + [mm]x^2[/mm] + .. + [mm]x^n[/mm] +
> [mm]x^{n+1}[/mm] =laut I.Annahme [mm]\sum_{k=0}^n x^k[/mm] + [mm]x^{n+1}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^{n+1} x^k[/mm]
> Passt das so, oder vollkommen
> daneben?
>
Also das, was man einsetzen soll, ist [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x}
[/mm]
Bevor du nun dies per Induktion zeigst, vergewissere dich, das die Formel auch stimmt.
Viel Erfolg
Gruß
TheBozz-mismo
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Hei
wie kommst du auf die Formel
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Fr 02.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Hei
> wie kommst du auf die Formel
> LG
Hallo,
das ist die Summenformel der geometrischen Reihe.
Gruß Abakus
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Und wie kommt man auf diese wenn man sie nicht weiß ?
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Erweitere den Term mit [mm] \bruch{1-x}{1-x}. [/mm] Wenn du oben ausmultiplizierst, dann heben sich alle Terme auf bis auf den ersten und den letzten.
Gruß
TheBozz-mismo
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Wie meinen?
(1- [mm] x^{n+1}) [/mm] * (1-x) = 1 - x - [mm] x^{n+1} [/mm] + [mm] x^{n+2}
[/mm]
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Hallo
> Wie meinen?
> (1- [mm]x^{n+1})[/mm] * (1-x) = 1 - x - [mm]x^{n+1}[/mm] + [mm]x^{n+2}[/mm]
Nein, ich meine folgendes
[mm] (1+x+x^2+...+x^n)*\bruch{(1-x)}{(1-x)}=\bruch{(1+x+x^2+...+x^n)*(1-x)}{1-x}
[/mm]
Guck dir nun das Produkt an, d. h. [mm] (1+x+x^2+...+x^n)*(1-x)=1+x+x^2+...+x^n-x-x^2-...-x^{n-1}
[/mm]
Wie du nun siehst, heben sich alle Terme weg außer den ersten und den letzten.
Gruß
TheBozz-mismo
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Achso ;)
> Wie du nun siehst, heben sich alle Terme weg außer den ersten und den letzten.
Ja und was sagt mir das nun?
DIe vollständige Induktion hab ich erledigt.
Ich hab noch so ein ähnliches Bsp.
Ergänze die Formel: 1 - 2 + [mm] 2^2 [/mm] - [mm] 2^3 [/mm] + [mm] ..+2^{2n} [/mm] =...
Wie mache ich das hier?
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> Achso ;)
> > Wie du nun siehst, heben sich alle Terme weg außer den
> ersten und den letzten.
> Ja und was sagt mir das nun?
Hallo,
ich sag' mal so ins Blaue hinein, rein mit meinem Hausfrauenverstand:
daß der erste und letzte übrigbleiben - worum auch immer es gehen mag.
>
> DIe vollständige Induktion hab ich erledigt.
> Ich hab noch so ein ähnliches Bsp.
> Ergänze die Formel: 1 - 2 + [mm]2^2[/mm] - [mm]2^3[/mm] + [mm]..+2^{2n}[/mm] =...
> Wie mache ich das hier?
Na, ich würde jetzt erstmal die Summen für n=1,...,20 ausrechnen und dann versuchen, eine Behauptung aufzustellen.
EDIT: Du solltest auch unbedingt darüber nachdenken, ob Du das zuvor Gezeigte verwenden kannst...
Gruß v. Angela
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Hallo
> Achso ;)
> > Wie du nun siehst, heben sich alle Terme weg außer den
> ersten und den letzten.
> Ja und was sagt mir das nun?
Du bist ja witzig. Du fragst, wie man auf die Formel kommt. Ich sag es dir und dann fragst du, was das dir sagen soll?
>
> Die vollständige Induktion hab ich erledigt.
> Ich hab noch so ein ähnliches Bsp.
> Ergänze die Formel: 1 - 2 + [mm]2^2[/mm] - [mm]2^3[/mm] + [mm]..+2^{2n}[/mm] =...
> Wie mache ich das hier?
TheBozz-mismo
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Gut, ich denke das erste Bsp hab ich jetzt verstanden.
Beim zweiten Bsp.:
[mm] 1-2+2^2-2^3+...+2^{2n} [/mm] =..
in Summeschreibweise wäre das glaub ich
[mm] \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k [/mm] * [mm] 2^k
[/mm]
k=0 ->1
k=1 ->-1
k=3 ->3
k=4 ->-5
k=5 ->11
k=6 -> -21
Ich erkenne da leider kein Muster.
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> Beim zweiten Bsp.:
> [mm]1-2+2^2-2^3+...+2^{2n}[/mm] =..
>
> in Summeschreibweise wäre das glaub ich
> [mm]\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k[/mm] * [mm]2^k[/mm]
> k=0 ->1
> k=1 ->-1
> k=3 ->3
> k=4 ->-5
> k=5 ->11
> k=6 -> -21
Hallo,
was meinst du hier mit k? n? 2n? Etwas ganz anderes?
> Ich erkenne da leider kein Muster.
Du willst also [mm] $\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k$ [/mm] * [mm] $2^k$=$\sum_{k=0}^{2n} (-2)^k [/mm] wissen.
Zuvor hattest Du ja gezeigt, daß [mm] \summe_{k=0}^Nx^i=\bruch{1-x^{N+1}}{1-x} [/mm] ist.
Was ist in der neuen Aufgabe nun das x und was das N?
Gruß v. Angela
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vielleicht:
[mm] \frac{1+2^{2n+1}}{3} [/mm] =$ [mm] 1-2+2^2-2^3+...+2^{2n} [/mm] $
Ne das kann nicht stimmen ;(
mein x = (-2)
mein N = 2n
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> vielleicht:
> [mm]\frac{1+2^{2n+1}}{3}[/mm] =[mm] 1-2+2^2-2^3+...+2^{2n}[/mm]
> Ne das kann nicht stimmen ;(
Warum denn nicht?
Ich würde schon sagen, daß daß stimmt.
Gruß v. Angela
P.S.:
Beachte, daß Du zuvor beim Einsetzen nicht bis 2n summiert hast.
Für n=5 mußt du ja bis zum Glied 2^10 summieren.
>
> mein x = (-2)
> mein N = 2n
>
>
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> vielleicht:
> $ [mm] \frac{1+2^{2n+1}}{3} [/mm] $ =$ [mm] 1-2+2^2-2^3+...+2^{2n} [/mm] $
> Ne das kann nicht stimmen ;(
>Warum denn nicht?
>Ich würde schon sagen, daß daß stimmt.
ABer schon beim Induktionsnafang
A(1) = [mm] \frac{1+2^3}{3}= [/mm] 3
Was nicht übereinstimmt mit der rechten seite!
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> > vielleicht:
> > [mm]\frac{1+2^{2n+1}}{3}[/mm] =[mm] 1-2+2^2-2^3+...+2^{2n}[/mm]
> > Ne das
> kann nicht stimmen ;(
>
> >Warum denn nicht?
> >Ich würde schon sagen, daß daß stimmt.
>
> ABer schon beim Induktionsnafang
> A(1) = [mm]\frac{1+2^3}{3}=[/mm] 3
> Was nicht übereinstimmt mit der rechten seite!
Das stimmt doch: [mm] 1-2^1+2^{2*1}=3.
[/mm]
Induktion brauchst Du hier nicht.
Du hast die Formel im ersten Aufgabenteil doch schon gezeigt.
Wenn Du allerdings unbedingt willst, kannst Du's natürlich tun.
Gruß v. Angela
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Hallo ;) Ich versteh das nicht ganz..Dehalb frage ich nochmals.
AUfgabe:
[mm] 1-2+2^2-2^3 [/mm] .... [mm] 2^{2n}= \frac{1+2^{2n+1}}{1+2}
[/mm]
Induktionsanfang
A(1) [mm] =\sum_{k=0}^{2*1} (-2)^k [/mm] = 3
A(1) [mm] =\frac{1+2^{2+1}}{1+2}
[/mm]
> Frage: Wie kann ich das ohne summenformel machen? Also wie weiß ich dass ich bei n=1 die ersten Drei Glieder ufsummieren muss?
I.Annahme
1 - 2+ [mm] 2^2 [/mm] - [mm] 2^3 [/mm] + .... [mm] +2^{2n}= \frac{1+2^{2n+1}}{1+2}
[/mm]
ZuZeigen:
1 - 2+ [mm] 2^2 [/mm] - [mm] 2^3 [/mm] + .... [mm] +2^{2n}-2^{2(n+1)}= \frac{1+2^{2n+3}}{1+2}
[/mm]
I.SChritt:
1 - 2 + [mm] 2^2 [/mm] - [mm] 2^3 [/mm] + .... [mm] +2^{2n}-2^{2(n+1)}
[/mm]
wegen i.Annahme
[mm] \frac{1+2^{2n+1}}{1+2} [/mm] - [mm] 2^{2(n+1)}
[/mm]
[mm] \frac{1+2^{2n+1}}{1+2} [/mm] - [mm] 2^{2n+2}
[/mm]
[mm] \frac{1+2^{2n+1} - 2^{2n+2} - 2^{2n+3}}{1+2}
[/mm]
Wie mache ich weiter?
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Hallo theresetom,
> Hallo ;) Ich versteh das nicht ganz..Dehalb frage ich
> nochmals.
> AUfgabe:
> [mm]1-2+2^2-2^3[/mm] .... [mm]2^{2n}= \frac{1+2^{2n+1}}{1+2}[/mm]
>
> Induktionsanfang
> A(1) [mm]=\sum_{k=0}^{2*1} (-2)^k[/mm] = 3
> A(1) [mm]=\frac{1+2^{2+1}}{1+2}[/mm]
> > Frage: Wie kann ich das ohne summenformel machen? Also
> wie weiß ich dass ich bei n=1 die ersten Drei Glieder
> ufsummieren muss?
>
> I.Annahme
> 1 - 2+ [mm]2^2[/mm] - [mm]2^3[/mm] + .... [mm]+2^{2n}= \frac{1+2^{2n+1}}{1+2}[/mm]
>
> ZuZeigen:
> 1 - 2+ [mm]2^2[/mm] - [mm]2^3[/mm] + .... [mm]+2^{2n}-2^{2(n+1)}= \frac{1+2^{2n+3}}{1+2}[/mm]
Zu Zeigen ist doch:
[mm]1-2+2^2-2^3 \pm .... +2^{2n}\blue{-2^{2n+1}+2^{2n+2}}= \frac{1+2^{2n+3}}{1+2}[/mm]
>
> I.SChritt:
> 1 - 2 + [mm]2^2[/mm] - [mm]2^3[/mm] + .... [mm]+2^{2n}-2^{2(n+1)}[/mm]
> wegen i.Annahme
> [mm]\frac{1+2^{2n+1}}{1+2}[/mm] - [mm]2^{2(n+1)}[/mm]
Hier muss dann stehen:
[mm]\frac{1+2^{2n+1}}{1+2} \blue{-2^{2n+1}+2^{2n+2}}[/mm]
> [mm]\frac{1+2^{2n+1}}{1+2}[/mm] - [mm]2^{2n+2}[/mm]
> [mm]\frac{1+2^{2n+1} - 2^{2n+2} - 2^{2n+3}}{1+2}[/mm]
> Wie mache
> ich weiter?
>
Gruss
MathePower
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Hallo, danke für die Nachricht!
> $ [mm] 1-2+2^2-2^3 [/mm] $ .... $ [mm] 2^{2n}= \frac{1+2^{2n+1}}{1+2} [/mm] $
> Zu Zeigen ist doch:
> $ [mm] 1-2+2^2-2^3 \pm [/mm] .... [mm] +2^{2n}\blue{-2^{2n+1}+2^{2n+2}}= [/mm] > [mm] \frac{1+2^{2n+3}}{1+2} [/mm] $
Blöde Frage, aber warum. SOnst setze ich doch auch immer statt der n eine n+1 ein, wieso hier also zwei neue Glieder? Oder muss am SChluß ein + stehen?
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Hallo theresetom,
> Hallo, danke für die Nachricht!
> > [mm]1-2+2^2-2^3[/mm] .... [mm]2^{2n}= \frac{1+2^{2n+1}}{1+2}[/mm]
>
> > Zu Zeigen ist doch:
>
> > [mm]1-2+2^2-2^3 \pm .... +2^{2n}\blue{-2^{2n+1}+2^{2n+2}}= > \frac{1+2^{2n+3}}{1+2}[/mm]
>
> Blöde Frage, aber warum. SOnst setze ich doch auch immer
> statt der n eine n+1 ein, wieso hier also zwei neue
> Glieder? Oder muss am SChluß ein + stehen?
Nun, weil Du jetzt bis [mm]2\left(n+1\right)=2n+2[/mm] summirerst.
Die Differenz von 2n+2 zu 2n ist nun mal 2.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Sa 03.12.2011 | | Autor: | theresetom |
Achso, verstanden!! DANKE!!
Schönes Wochenende
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