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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:37 Sa 03.11.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | Hi ihr! Ich will folgendes zeigen: [mm] $P\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)$ [/mm] |
Induktionsanfang war leicht zu zeigen, aber im Induktionsschritt komme ich hier nicht weiter:
[mm] $P\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) [/mm] =\ ...\ = [mm] P(A_{n+1})\quad +\quad \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\quad -\quad \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\cap A_{n+1}\right) [/mm] $
Ich weiß nicht mal ob das so die einfachste Methode ist. Könnt ihr mir weiterhelfen? Wenn ihr wollt kann ich auch die Zwischenschritte hinschreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Sa 03.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo saendra,
ich verstehe die Aufgabenstellung nicht.
> Hi ihr! Ich will folgendes zeigen:
> [mm]P\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)[/mm]
Dein LaTeX-Satz ist tadellos.
Nur... was soll das eigentlich heißen?
Die Potenzmenge der Vereinigung aller Mengen [mm] A_i [/mm] ist gleich ...
Wieso Summen? Außerdem sieht es so aus, als würden da nicht zwei Summen miteinander multipliziert, sondern ineinander geschachtelt. Dann fehlen aber noch zwei Klammern.
Trotzdem passen die Mengenschreibweisen ja nicht mit der Summenschreibweise zusammen. Was ist denn [mm] -P(A_1)? [/mm] Eine Exklusion?
Nehmen wir einfach mal [mm] A_1=\{1\} [/mm] und [mm] A_2=\{2\}. [/mm] Was würde Deine Gleichung dann ausgeschrieben (also ohne alle Summen und bigcups und bigcaps) eigentlich heißen?
Vielleicht habe ich ja auch gerade nur ein Brett vor dem Kopf, aber das scheint groß und aus Hartholz zu sein...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo saendra,
>
> ich verstehe die Aufgabenstellung nicht.
>
> > Hi ihr! Ich will folgendes zeigen:
> > [mm]P\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)[/mm]
>
> Dein LaTeX-Satz ist tadellos.
> Nur... was soll das eigentlich heißen?
> Die Potenzmenge der Vereinigung aller Mengen [mm]A_i[/mm] ist
> gleich ...
nein, ich nehme an, dass [mm] $P\,$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Sa 03.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
vielleicht hätte ich mal aufs Forum achten sollen: Stochastik.
Da wäre Deine Vermutung wohl naheliegend gewesen... Sorry.
Danke für den Hinweis.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielleicht hätte ich mal aufs Forum achten sollen:
> Stochastik.
> Da wäre Deine Vermutung wohl naheliegend gewesen...
> Sorry.
macht nix - hier wurden ja eh fast alle Voraussetzungen verschwiegen:
Vermutlich ist [mm] $P\,$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer Sigma-Algebra
[mm] $\sigma\,,$ [/mm] und die [mm] $A_i$ [/mm] gehören alle zu [mm] $\sigma$ [/mm] etc. pp..
Sowas ist ja nicht Dein Fehler!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Sa 03.11.2012 | | Autor: | saendra |
Tut mir leid ihr habt vollkommen Recht. Dazu ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega, \mathcal P(\Omega [/mm] ), P)$ gegeben und [mm] $A_i\in \mathcal P(\Omega [/mm] )\ [mm] \forall [/mm] i$
Ich dachte das wäre eine für euch bekannte Formel. Tut mir leid, dass ich das nicht dazu geschrieben habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Tut mir leid ihr habt vollkommen Recht. Dazu ist ein
> diskreter Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \mathcal P(\Omega ), P)[/mm]
> gegeben und [mm]A_i\in \mathcal P(\Omega )\ \forall i[/mm]
>
> Ich dachte das wäre eine für euch bekannte Formel.
ist sie auch - im Sinne, dass ich sie während meines Studiums schonmal
gesehen habe und auch in einer Übungsaufgabe bearbeitet habe. Aber
ich blättere doch nicht meine Unterlagen durch, um Deine Aufgabe zu
lösen bzw. erst mal zu verstehen. Zumal ich da erstmal rausfinden müßte,
wo ich die überhaupt liegen habe.
> Tut
> mir leid, dass ich das nicht dazu geschrieben habe.
In Zukunft einfach dran denken. Ich meine, ich schreibe ja auch nicht:
"Beweise, dass [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] bijektiv ist!"
So würde meine Aufgabe keinen Sinn machen... natürlich kann ich sagen:
"Naja, aber da wäre doch anzunehmen gewesen, dass $f: [mm] [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] gemeint ist."
Und nachher denkt sich aber jemand:
Die Aufgabe ist so zu einfach, vielleicht soll ja
$$f: [mm] ((-\infty,0) \cap \IQ) \cup ([0,\infty) \cap (\IR \setminus \IQ)) \to [0,\infty)$$
[/mm]
gemeint sein...
Jemand anderes sagt: $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] wie oben ist weder injektiv noch
surjektiv...
Nochmal jemand anderes sagt endlich: "So ist die Aufgabenstellung
UNVOLLSTÄNDIG! Da mache ich gar nichts, außer, das anzumerken!"
Deswegen: Nur "offensichtliche Voraussetzungen" kann man mal weglassen...
(Wenn man $x > [mm] 3\,$ [/mm] schreibt, ist klar, dass $x [mm] \in \IR$ [/mm] und nicht $x [mm] \in \IC$
[/mm]
gelten soll. Wenn man aber nur rationale $x > [mm] 3\,$ [/mm] meint, muss man mehr
hinschreiben. Generell: An gegebenen Voraussetzungen soll man nicht
sparen! Lieber auch mal zuviel hinschreiben als zu wenig: So würde ich es
sogar bevorzugen, dass jemand $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $x > [mm] 3\,$ [/mm] anstatt "nur" $x > [mm] 3\,$
[/mm]
schreibt!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Sa 03.11.2012 | | Autor: | saendra |
Ich habe mir deine Mitteilung zu Herzen genommen und versuche das ab jetzt auch so zu machen bei meinen Fragen 
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> Hi ihr! Ich will folgendes zeigen:
> [mm]P\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)[/mm]
"Siebformel nach Poincaré und Sylvester"
>
> Induktionsanfang war leicht zu zeigen, aber im
Was ist bei dir der Induktionsanfang? Für welche [mm]n[/mm]'s hast du ihn gemacht?
Es ist wichtig hier nicht nur n=1 sondern auch n=2 zu betrachten.
> Induktionsschritt komme ich hier nicht weiter:
>
> [mm]P\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) =\ ...\ = P(A_{n+1})\quad +\quad \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\quad -\quad \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\cap A_{n+1}\right)[/mm]
>
> Ich weiß nicht mal ob das so die einfachste Methode ist.
Wenn man nur die Elemente zählt geht auch anders. Dabei muss man nur zeigen, dass jedes Element in [mm]\bigcup A_i[/mm] nur einmal auf der rechten Seite mitgezählt wird.
> Könnt ihr mir weiterhelfen? Wenn ihr wollt kann ich auch
> die Zwischenschritte hinschreiben?
Wäre besser gewesen.
Man wendet üblicherweise zweimal die Induktionsvoraussetzung an.
Statt im Dunkeln zu tappen und einen Fehler in [mm]\ldots[/mm] zu suchen, verweise ich lieber auf ein
![[]](/images/popup.gif) Script.
Seite 16
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Sa 03.11.2012 | | Autor: | saendra |
Hi wieschoo!
Also ich bin mir absolut sicher, dass ich bis zu diesem Schritt, bis zu dem ich gekommen bin keinen Fehler gemacht habe. Auf einer anderen Seite habe ich einen teilweise kommentierten Beweis gefunden. Auf einer anderen Seite einen fast identischen. Leider unkommentiert. jetzt verstehe ich nur noch diesen letzten Schritt nicht:
[mm] $\dots [/mm] \ =\ [mm] \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\}\atop{ |I|=k\atop{ (n+1)\notin I}}}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\ [/mm] +\ [mm] \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\}\atop{ |I|=k\atop{ (n+1)\in I}}}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right) [/mm] $ = [mm] $\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right) [/mm] $
Ich hoffe ihr könnt das Kleine unter dem Summenzeichen lesen. Da sind ja zwei fast identische Summen, aber ich schaffe es nicht diese zu vereinigen.
Sieht jemand von euch den entscheindenen Kniff bei diesem Schritt?
PS: Danke für die bisherige Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo saendra,
ich füge mal zwei Zwischenschritte ein:
> [mm]\dots \ =\ \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\}\atop{ |I|=k\atop{ (n+1)\notin I}}}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\ +\ \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\}\atop{ |I|=k\atop{ (n+1)\in I}}}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$=\sum_{k=1}^{n+1}\left((-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\}\atop{ |I|=k\atop{ (n+1)\notin I}}}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\ +(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\}\atop{ |I|=k\atop{ (n+1)\in I}}}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\right)$
$=\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\!\!\left(\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\}\atop{ |I|=k\atop{ (n+1)\notin I}}}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\ +\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\}\atop{ |I|=k\atop{ (n+1)\in I}}}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\right)\right)$
> =[mm]\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)[/mm]
Hilft das schon, oder soll ich einen Schritt (welchen?) näher erläutern?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Sa 03.11.2012 | | Autor: | saendra |
Hi Tobias! Vielen Dank dir!
Also in den beiden Schritten hast mit dem Distributivgesetz die Summe und einen von der Summe abhängigen Faktor herausgeholt. Habe ich das so richtig gesehen?
Aber die Gleichheit zum letztendelichen Ergebnis sehe ich immer noch nicht... grr
Bin ich jetzt einfach nur blind oder muss ich einige Summanden hinschreiben damit ich den allerletzten Schritt sehe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Also in den beiden Schritten hast mit dem Distributivgesetz
> die Summe und einen von der Summe abhängigen Faktor
> herausgeholt. Habe ich das so richtig gesehen?
Im zweiten Schritt ja. Der erste Schritt ist eine Umformung der Art
$\sum_{k=1}^{n+1}a_k+\sum_{k=1}^{n+1}b_k=\sum_{k=1}^{n+1}(a_k+b_k)$.
> Aber die Gleichheit zum letztendelichen Ergebnis sehe ich
> immer noch nicht... grr
> Bin ich jetzt einfach nur blind oder muss ich einige
> Summanden hinschreiben damit ich den allerletzten Schritt
> sehe?
$\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\}\atop{ |I|=k\atop{ (n+1)\notin I}}}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\ +\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\}\atop{ |I|=k\atop{ (n+1)\in I}}}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\right)\quad=\quad\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n+1\},\atop |I|=k}\!\!\!\!P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right) $
Rechts und links stehen die gleichen Summanden. Rechts sind sie in einer Summe geschrieben, links sind sie aufgeteilt: Erst kommen die Summanden für I mit $n+1\not\in I$ (erstes Summenzeichen) und dann die Summanden mit $n+1\in I$ (zweites Summenzeichen).
(So ähnlich wie $\sum_{j=1}^4a_j+\sum_{j=5}^7a_j=\sum_{j=1}^7a_j$.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 So 04.11.2012 | | Autor: | saendra |
Vielen lieben Dank reverend, Marcel, wieschoo und tobit09!
Ich habe mir ein paar Summanden mal hingeschrieben und dann habe ich es endlich gesehen!
GLG
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