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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Sa 29.01.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | [mm] \sum\limits_{k=0}^n [/mm] (3k+1)(3k+4) = [mm] \frac{(n3+1)(3n+4)(3n+7)}{9}+\frac{8}{9} [/mm] |
Hi Leute!
Ich hab für die oben genannte Aufgabe soweit alls durchgeführt, nur komm ich beim "ausrechnen" der Induktion nicht auf das richtige Ergebnis.
IA für n=0
[mm] \text{LS} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^n [/mm] (3k+1)(3k+4) = 4
[mm] \text{RS} [/mm] = [mm] \frac{(3n+1)(3n+4)(3n+7)}{9}+\frac{8}{9} [/mm] = 4
IS)
[mm] \underbrace{\sum\limits_{k=0}^n (3k+1)(3k+4) = \frac{(n3+1)(3n+4)(3n+7)}{9}+\frac{8}{9}}_{=\text{IV}} \Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{n+1} [/mm] (3k+1)(3k+4) = [mm] \frac{(3n+4)(3n+7)(3n+10)+8}{9}
[/mm]
[mm] \sum\limits_{k=0}^{n+1} [/mm] (3k+1)(3k+4) + (3(n+1)+1)(3(n+1)+4) = ... = [mm] \frac{(n3+1)(3n+4)(3n+7)}{9} \leftarrow \text{hier fehlt eben jetzt noch das } +\frac{8}{9}
Ich weiß leider nicht was ich falsch gemacht hab. Könnt ihr mir helfen?
[/mm]
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Huhu,
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{n+1}[/mm] (3k+1)(3k+4) + (3(n+1)+1)(3(n+1)+4)
> = ... = [mm]\frac{(n3+1)(3n+4)(3n+7)}{9} \leftarrow \text{hier fehlt eben jetzt noch das } +\frac{8}{9}[/mm]
Vorweg: Deine Summe vorne dürfte nur noch bis n laufen...
Das [mm] \bruch{8}{9} [/mm] kommt doch sofort aus der IV und kann unangetastet stehen gelassen werden!
Es gilt doch:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{n+1} [/mm] (3k+1)(3k+4) = [mm] \sum\limits_{k=0}^{n} [/mm] (3k+1)(3k+4) + (3n+4)(3n+7) [mm] \overbrace{=}^{IV} \frac{(3n+1)(3n+4)(3n+7)}{9}+\frac{8}{9} [/mm] + (3n+4)(3n+7) = [mm] \frac{(3n+1)(3n+4)(3n+7)+9 (3n+4)(3n+7)}{9} [/mm] + [mm] \bruch{8}{9}$
[/mm]
Der Rest ist zusammenfassen.
Eine Bitte: Bitte immer die gesamte Formel in $ oder [mm] packen, das machts leserlicher!
MFG,
Gono.
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