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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig. |
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, irgendwie bekomme ich das nicht hin :(
gegeben ist ja : Sei [mm] (x_n)_n [/mm] eine Folge [mm] x_n\in [/mm] X [mm] \forall n\in\IN
[/mm]
1.
[mm] \forall\varepsilon>0\exists N_1\in\IN: d(x_n,x_k)<\varepsilon \forall k,n\ge N_1
[/mm]
2.
X kompakt
und zu zeige ist ja:
[mm] \forall\varepsilon>0\exists N_2\in\IN: d(x_n,x)<\varepsilon \forall n\ge N_2
[/mm]
wenn ich [mm] N:=max(N_1,N_2) [/mm] wähle, dann müsste ich doch irgendwie zeigen:
[mm] d(x,x_n)\le d(x_k,x_n) [/mm] nur wie kann man das machen?
wäre echt dankbar für jede hilfe :)
Gruß Ari
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Hallo Ari,
je nachdem, welche definitionen der Kompaktheit ihr hattet, lässt sich die aufgabe recht schnell erledigen. Ein kompakter metrischer raum ist ja folgenkompakt, dh. eine folge in diesem raum besitzt einen häufungspunkt (-->eine konvergente teilfolge) im raum.
Hast du nun deine cauchyfolge [mm] $x_i$, [/mm] so besitzt sie einen häufungspunkt $x$. Jetzt musst du nur noch argumentieren, dass dieser HP auch grenzwert ist, dann bist du fertig.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
irgendwie komme ich immer noch nicht weiter :(
also ich bin soweit gekommen:
Sei [mm] x_i [/mm] eine Folge, [mm] x_i\in [/mm] X für alle [mm] i\in\IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (X kompakt) [mm] \exists x\in i_k: lim_{k\to\infty} x_i_k [/mm] = [mm] x\in [/mm] X
[mm] \Rightarrow \forall \varepsilon>0 \exists N\in\IN: d(x_i_k,x)<\varepsilon \forall k\ge [/mm] N
und jetzt müsse ich doch zeigen, dass auch folgendes gilt oder?:
[mm] \Rightarrow \forall \varepsilon>0 \exists N\in\IN: d(x_i,x)<\varepsilon \forall n\ge [/mm] N
nur ich weiß wieder nicht wie :( :(
kannst mir bitte nochmal helfen
Gruß und danke.. Ari
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Vergiss nicht, dass [mm] $x_i$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist! Sonst gilt die aussage natürlich nicht....
wähl mal in deiner HP-definition [mm] $\frac \varepsilon [/mm] 2$ statt [mm] $\varepsilon$ [/mm] und das gleiche in der def. der Cauchyfolge. Dann wende die dreiecksungleichung an.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
ahhh danke.. ich glaube ich habes es jetzt:
Sei [mm] (x_i)_i [/mm] eine Cauchy-Folge, [mm] x_i\in [/mm] X für alle [mm] i\in\IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (X kompakt) [mm] \exists x_i_k [/mm] : [mm] lim_x_i_k=x\in [/mm] X
[mm] \Rightarrow \forall \varepsilon>0 \exists N_1\in\IN: d(x_i_k,x)<\bruch{\varepsilon}{2} \forall n\ge N_1
[/mm]
Laut Voraussetzung gilt:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists N_2\in\IN: d(x_i_k,x_n)<\bruch{\varepsilon}{2} \forall k,n\ge N_2
[/mm]
Wähle [mm] N:=max(N_1,N_2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow d(x,x_n)\le d(x_i_k,x)+d(x_i_k,x_n) [/mm] < [mm] \varepsilon \forall k,n\ge [/mm] N
qed.
ist das so richtig? :)
danke nochmals und gruß...
Ari
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> ahhh danke.. ich glaube ich habes es jetzt:
>
> Sei [mm](x_i)_i[/mm] eine Cauchy-Folge, [mm]x_i\in[/mm] X für alle [mm]i\in\IN[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (X kompakt) [mm]\exists x_i_k[/mm] : [mm]lim_x_i_k=x\in[/mm] X
>
> [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon>0 \exists N_1\in\IN: >d(x_i_k,x)<\bruch{\varepsilon}{2} \forall n\ge N_1[/mm]
k statt n, aber ansonsten richtig! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Laut Voraussetzung gilt:
>
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N_2\in\IN: >d(x_i_k,x_n)<\bruch{\varepsilon}{2} \forall k,n\ge N_2[/mm]
ich würde hier [mm] $x_k$ [/mm] statt [mm] $x_{ik}$ [/mm] nehmen... aber :
>
> Wähle [mm]N:=max(N_1,N_2)[/mm]
> [mm]\Rightarrow d(x,x_n)\le d(x_i_k,x)+d(x_i_k,x_n)[/mm] <
> [mm]\varepsilon \forall k,n\ge[/mm] N
>
> qed.
>
> ist das so richtig? :)
Im prinzip ja! nochmal ne kleinigkeit: ich würde ein [mm] $x_{i_k}$ [/mm] mit [mm] $i_k>N$ [/mm] als festen bezugspunkt für die dreiecksungleichung wählen. dann bist auch das $k$ in der formel los....
Gruß
Matthias
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