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| Aufgabe | | Sei P:={(x,y,z) [mm] \in \IR^3 :a*x^2+2*b*x*y+c*y^2 \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1} wobei [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] eine positiv-definite Matrix ist.Man berechne das Volumen von P. |
Hallo,
Vielleicht kann sich ja mal jemand die Aufgabe anschauen und mir einen Denkanstoß geben.Ich komme von alleine irgendwie nicht darauf.Ich weiß einfach nicht was ich mit der Matrix anfangen soll.Habe noch nichts vergleichbares gerechnet.
LG
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Hallo Eva-Marie,
nennen wir die Matrix A. Sie ist positiv definit.
1) Was weißt Du dann über [mm] \vec{v}^TA\vec{v}?
[/mm]
2) Im übrigen ist [mm] ax^2+2bxy+cy^2=x(ax+by)+y(bx+cy).
[/mm]
Mit diesen beiden Tipps müsstest Du eigentlich weiterkommen...
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
Danke für deine Tipps.Ich habe ne ganze weile drüber nachgedacht aber ehrlich gesagt habe ich keinen blassen schimmer wie das jetzt geht.Zu deiner 1.Frage kann ich nur sagen ,dass A eine symmetrische bilineare Abbildungsmatrix ist,oder?Aber in wie fern bringt mich das weiter?
LG
eva marie
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Die positive Definitheit der Matrix bedeutet nach dem Hauptminorenkriterium
[mm]a > 0 \, , \ \ ac - b^2 > 0[/mm]
Ich setze zur Abkürzung [mm]\delta = \sqrt{ac - b^2}[/mm].
Man kann jetzt folgendermaßen rechnen (quadratische Ergänzung):
[mm]ax^2 + 2bxy + cy^2 = a \left( \left( x + \frac{b}{a} \, y \right)^2 + \left( \frac{\delta}{a} \, y \right)^2 \right)[/mm]
Dann führt die lineare Substitution
[mm]u = x + \frac{b}{a} \, y \, , \ \ v= \frac{\delta}{a} \, y \, , \ \ w = \frac{1}{a} \, z[/mm]
den durch
[mm]P: \ \ ax^2 + 2bxy + cy^2 \leq z \leq 1[/mm]
beschriebenen Bereich in den Variablen [mm]x,y,z[/mm] in den durch
[mm]Q: \ \ u^2 + v^2 \leq w \leq \frac{1}{a}[/mm]
beschriebenen Bereich in [mm]u,v,w[/mm] über. Löst man in der Variablentransformation nach [mm]x,y,z[/mm] auf, so findet man:
[mm]x = u - \frac{b}{\delta} \, v \, , \ \ y = \frac{a}{\delta} \, v \, , \ \ z = aw[/mm]
mit der Funktionaldeterminanten [mm]\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} = \frac{a^2}{\delta} > 0[/mm] .
Jetzt hat man alles zusammen, um das Volumen [mm]V(P)[/mm] berechnen zu können:
[mm]V(P) = \int_P \mathrm{d}(x,y,z) = \frac{a^2}{\delta} \int_{Q} \mathrm{d}(u,v,w) = \frac{a^2}{\delta} \int_0^{\frac{1}{a}} \left( \ \int \limits_{u^2 + v^2 \leq w} \mathrm{d}(u,v) \right)~\mathrm{d}w[/mm]
Der Wert des inneren Integrals kann sofort angegeben werden, und die äußere Integration sollte auch keine Probleme mehr bereiten.
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Hallo Leopold,
Vielen Dank für die umfangreiche,verständliche Erklärung!:)
LG
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