vom eigenwert zum eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | bestimmen sie die eigenwerte und eigenvektoren für [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm] |
Mein Lösungsansatz:
Zunächst Eigenwerte mit det [mm] \pmat{ 4-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda } [/mm] = [mm] (4-\lambda)*(2-\lambda) [/mm] - (0*1) [mm] =(4-\lambda)*(2-\lambda)
[/mm]
Daraus lese ich meine eigenwerte ab : [mm] \lambda_{1} [/mm] =4 und [mm] \lambda_{2}=2
[/mm]
Nun zu meinem Problem: Die Eigenvektoren lassen sich ja lt. Sript aus [mm] (A-\lambda [/mm] E)*x = 0 berechnen also setze ich zuerst 4 für [mm] \lambda [/mm] ein und für E die einheitsmatrix.
dann folgt daraus die Matrix : [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & -2 }*\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] =0
soweit ok.. und dann?? meine lösung sagt ich bekäme daraus meinen eigenvektor [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm] raus...
ich hab echt ne denkblokade und brauche hilfe beim rechenweg.. die formeln sind mir klar... bitte um schnelle hilfe, und danke im vorraus.
Ps.: Frage in keinem anderen Forum gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Fr 02.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> bestimmen sie die eigenwerte und eigenvektoren für [mm]\pmat{ 4 & 1 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> Zunächst Eigenwerte mit det [mm]\pmat{ 4-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda }[/mm]
> = [mm](4-\lambda)*(2-\lambda)[/mm] - (0*1) [mm]=(4-\lambda)*(2-\lambda)[/mm]
>
> Daraus lese ich meine eigenwerte ab : [mm]\lambda_{1}[/mm] =4 und
> [mm]\lambda_{2}=2[/mm]
>
> Nun zu meinem Problem: Die Eigenvektoren lassen sich ja lt.
> Sript aus [mm](A-\lambda[/mm] E)*x = 0 berechnen also setze ich
> zuerst 4 für [mm]\lambda[/mm] ein und für E die einheitsmatrix.
>
> dann folgt daraus die Matrix : [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & -2 }*\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
> =0
>
> soweit ok.. und dann?? meine lösung sagt ich bekäme
> daraus meinen eigenvektor [mm]\vektor{-1 \\ 2}[/mm] raus...
das ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 und nicht zum Eigenwert 4 !!
FRED
>
> ich hab echt ne denkblokade und brauche hilfe beim
> rechenweg.. die formeln sind mir klar... bitte um schnelle
> hilfe, und danke im vorraus.
>
> Ps.: Frage in keinem anderen Forum gestellt
|
|
|
| |
|
ok, dann hab ich anderes problem.. stimmt ich hab mich verlesen zu 2 ist der ev [mm] \vektor{-1 \\ 2}aber [/mm] zu 4 soll mein ev [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] sein..
trozdem krieg ich den rechenweg einfach nicht auf die kette. könntest du es mir bitte einmal schritt für schritt für einen der beiden ev's erklären?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Fr 02.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Zum Eigenwert 4 hattest Du ja schon das:
: $ [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & -2 }\cdot{}\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] $
Es folgt: [mm] x_2 [/mm] = 0
FRED
|
|
|
| |
|
der schritt dahin ist ja genau das problem.. soweit ich mich erinnere muss ich hieraus doch zwei gleichungen machen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Fr 02.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> der schritt dahin ist ja genau das problem.. soweit ich
> mich erinnere muss ich hieraus doch zwei gleichungen machen
> oder?
Dann mach doch mal... Du wirst schon sehen, was passiert
FRED
>
|
|
|
| |
|
ok:
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 1x_{2} [/mm] =0 --> [mm] x_{2} [/mm] =0
und
[mm] 0x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] =0 --> [mm] x_{2}=0
[/mm]
soweit macht es mir sinn.. wie komme ich denn dann auf den [mm] x_{1} [/mm] wert?
also wo genau muss ich das einsetzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Fr 02.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok:
>
> [mm]0x_{1}[/mm] + [mm]1x_{2}[/mm] =0 --> [mm]x_{2}[/mm] =0
> und
> [mm]0x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] =0 --> [mm]x_{2}=0[/mm]
>
> soweit macht es mir sinn.. wie komme ich denn dann auf den
> [mm]x_{1}[/mm] wert?
Jeder Eigenvektor zum Eigenwert 4 hat die Form
[mm] \vektor{t \\ 0} [/mm] mit $t [mm] \not=0$
[/mm]
FRED
> also wo genau muss ich das einsetzen?
|
|
|
| |
|
d.h.:
für meinen EW=2 wäre das dann:
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
also als gleichungen:
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0 --> [mm] 2x_{1} [/mm] = [mm] -x_{2}
[/mm]
und 0 +0 =0
müsste dann mein ev nicht eigentlich [mm] \vektor{2\\ -1} [/mm] sein?
|
|
|
| |
|
Hallo, du hast den Eigenvektor [mm] \vektor{t \\ -2t}, [/mm] setze doch mal 2 und -1 ein, du bekommst eine falsche Aussage, Steffi
|
|
|
| |
|
aber meine gleichung sagt doch was anderes, nämlich [mm] \vektor{2t \\ -t}
[/mm]
wo ist denn da bei mir der denk/rechenfehler???
|
|
|
| |
|
Hallo
> aber meine gleichung sagt doch was anderes, nämlich
> [mm]\vektor{2t \\ -t}[/mm]
>
> wo ist denn da bei mir der denk/rechenfehler???
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
Wähle [mm] x_{2} [/mm] = t [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}t
[/mm]
Jetzt sähe dein Vektor ja so aus: [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2}t \\ t}, [/mm] und da das nicht so schön ist, hast du [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
(Oder halt mit (-1) multiplizieren, wenn du einen positiven [mm] x_{1}-Wert [/mm] möchtest..).
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Fr 02.10.2009 | | Autor: | silmaneero |
Jetzt hab ichs gecheckt! Vielen Lieben Dank an euch alle!!!
*luftsprung* Grüße!!!
|
|
|
|
