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| Aufgabe | [mm] y=\bruch{1+x}{1-x}
[/mm]
[mm] x_{0}=0
[/mm]
Aus der Funktion ist die Potenzreihe zu entwickeln, und das Restglied zu bestimmen. |
Hallo,
ich habe leider keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe ran gehe.
Ich habe diese Frage in noch keinem weiteren Forum gestellt.
Gruss
Joker1223
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Fr 13.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y=\bruch{1+x}{1-x}[/mm]
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> [mm]x_{0}=0[/mm]
>
> Aus der Funktion ist die Potenzreihe zu entwickeln, und das
> Restglied zu bestimmen.
> Hallo,
> ich habe leider keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe ran
> gehe.
Für |x|<1 ist [mm] $\bruch{1}{1-x}= \summe_{n=0}^{\infty}x^n$
[/mm]
Nun Berechne damit [mm] \bruch{1+x}{1-x}
[/mm]
FRED
>
> Ich habe diese Frage in noch keinem weiteren Forum
> gestellt.
>
> Gruss
>
> Joker1223
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Wie?
Seh garnicht durch.... :(
gruss
joker1223
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Fr 13.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Wie?
> Seh garnicht durch.... :(
>
> gruss
>
> joker1223
Hallo,
[mm] \bruch{1+x}{1-x} [/mm] kann zerlegt werden in [mm] \bruch{1}{1-x} +\bruch{x}{1-x} [/mm] .
Für den ersten Bruch hat man dir die Reihenentwicklung freundlicherweise genannt.
Der zweite Bruch ist nun [mm] \bruch{x}{1-x}=\red{x}*\bruch{1}{1-x}.
[/mm]
Gruß Abakus
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mh...
blickt da ganz ehrlich net durch.
ich habs jetzt mal mit der mac-laurin-formel probiert.
also $f(x) = f(0) + f'(0)x + [mm] \bruch{f''(0)}{2!}x^{2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{f^{n}(x_{0}}{n!}(x-x_{0})^{n} [/mm] + [mm] R_{n+1}(x)$
[/mm]
demnach komm ich auf die Potenzreihe 1 + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}2x^{k}
[/mm]
ist das richtig?
gruss
joker1223
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Fr 13.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> mh...
>
> blickt da ganz ehrlich net durch.
>
> ich habs jetzt mal mit der mac-laurin-formel probiert.
>
> also [mm]f(x) = f(0) + f'(0)x + \bruch{f''(0)}{2!}x^{2} + ... + \bruch{f^{n}(x_{0}}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n+1}(x)[/mm]
>
> demnach komm ich auf die Potenzreihe 1 +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}2x^{k}[/mm]
>
> ist das richtig?
Ja
FRED
>
> gruss
>
> joker1223
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Fr 13.08.2010 | | Autor: | joker1223 |
Alles klar.
Danke!
Gruss
joker1223
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Hallo,
> mh...
>
> blickt da ganz ehrlich net durch.
>
Damit du das mal siehst und dann für das nächste Mal durchblickst, rechne ich das mal vor, es erspart nämlich eine Menge Arbeit:
Nun, siehe oben bei Fred: für $|x|<1$ ist [mm] $\blue{\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n}$ [/mm] (geometrische Reihe)
Damit [mm] $f(x)=\frac{1+x}{1-x}=(1+x)\cdot{}\blue{\frac{1}{1-x}}=(1+x)\cdot{}\blue{\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(1+x)\cdot{}x^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n+x^{n+1}=1+(x+x+x^2+x^2+x^3+x^3+x^4+\ldots)=1+(2x+2x^2+2x^3+\ldots)=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}2x^n$
[/mm]
So kommst du doch recht bequem ohne irgendwelches Ableitungsgewusel zu deinem Ergebnis ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Fr 13.08.2010 | | Autor: | joker1223 |
danke schachuzipus!
jetzt hab ich endlich verstanden wie ihr die geometrische reihe schlussfolgert. ihr splittet das auf und nehmt denn die formel $s = [mm] a_{0}\bruch{1}{1-q}$
[/mm]
Danke!
gruss
joker1223
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Hallo,
ist eigentlich jede Potenzreihe eine geometrische Reihe? also kann ich bei jeder potenzreihe die formel $s = [mm] \bruch{a_{0}}{1-q}$ [/mm] nutzen?
gruss
joker1223
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 13.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ist eigentlich jede Potenzreihe eine geometrische Reihe?
Nein ! Das ist doch Unfug. [mm] $\sum n^nx^n$
[/mm]
Ist eine Potenzreihe , aber keine geometrische Reihe
> also kann ich bei jeder potenzreihe die formel [mm]s = \bruch{a_{0}}{1-q}[/mm]
> nutzen?
Nein .
FRED
>
> gruss
>
> joker1223
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Ach ist ja quatsch was ich geschrieben habe.
ich meinte kann ich bei jeder funktion, die ich in eine potenzfunktion umwandle diese formel der geometrischen reihe nehmen?
gruss
joker1223
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Fr 13.08.2010 | | Autor: | joker1223 |
funktion in potenzreihe meinte ich.
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Hallo joker,
> Ach ist ja quatsch was ich geschrieben habe.
> ich meinte kann ich bei jeder funktion, die ich in eine
> potenzfunktion -reihe umwandle diese formel der geometrischen
> reihe nehmen?
Nein, i.A. nimmst du die Taylorentwicklung her, wie du es auch zu Fuß gemacht hast (siehe etwa das Bsp. zu [mm] $f(x)=\sin(x)$ [/mm] (Wikipedia, Vorlesung ...)
Hier lag es an der "günstigen" Funktion, dass man sich mit dem "Trick" über die geometr. Reihe eine Menge Arbeit ersparen konnte ...
>
> gruss
>
> joker1223
Gruß
schachuzipus
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