von Neumann < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Do 10.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Definition:
Eine Menge $M$ heißt transitiv, wenn für alle $x,y$ gilt:
[mm] $x\in y\in [/mm] M$ impliziert [mm] $x\in [/mm] M$.
Zeigen Sie:
Die natürlichen Zahlen nach von Neumann
[mm] $0=\emptyset, 1=\left\{0\right\}, 2=\left\{0,1\right\}=1\cup \left\{1\right\},...,n+1:=n^{+}:=n\cup\left\{n\right\},...$
[/mm]
sind transitive Mengen. |
Hallo!
Die Grundaussage ist mir eigentlich klar.
Ich frage mich nur, wie man das beweisen kann.
Meine Idee ist es per vollständiger Induktion zu zeigen, daß:
[mm] $[n\in n^{+}\in \left(n^{+}\right)^{+}]\Rightarrow [n\in \left(n^{+}\right)^{+}]$
[/mm]
gilt.
Ist das die richtige Beweisidee??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Do 10.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe noch vergessen, den Hinweis zu erwähnen, der auf dem Übungsblatt unter der Aufgabe steht:
"Man setze die Gültigkeit der so genannten Peano-Axiome voraus."
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Dennis,
> Meine Idee ist es per vollständiger Induktion zu zeigen,
> daß:
>
> [mm][n\in n^{+}\in \left(n^{+}\right)^{+}]\Rightarrow [n\in \left(n^{+}\right)^{+}][/mm]
>
> gilt.
>
> Ist das die richtige Beweisidee??
Ich sehe nicht, wie man damit die Behauptung erhalten kann.
Die Beweisidee ist naheliegender als von dir vermutet: Zeige per Induktion nach n, dass n transitiv ist.
Beim Schritt von n nach $n^+$ ist also zu zeigen, dass $n^+$ transitiv ist.
Seien also x,y Mengen mit [mm] $x\in y\in n^+=n\cup\{n\}$. $y\in n\cup\{n\}$ [/mm] bedeutet ... oder ... .
Unterscheide die beiden Fälle und zeige, dass in beiden Fällen [mm] $x\in [/mm] n^+$ gilt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Die Beweisidee ist naheliegender als von dir vermutet:
> Zeige per Induktion nach n, dass n transitiv ist.
Okay!
Den Induktionsanfang würde ich dann mit [mm] $n=0=\emptyset$ [/mm] machen.
Nun ist ja zu zeigen, daß für alle x,y
[mm] $x\in y\in\emptyset\Rightarrow x\in\emptyset$
[/mm]
gilt.
Hm, sind hier notwendigerweise [mm] $x=y=\emptyset$ [/mm] und die Transitivität somit trivialerweise erfüllt?
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Hallo,
gibt es einen bestimmten Grund dafür, daß Du nicht angibst, daß Du die Frage an anderer Stelle auch gepostet hast?
Lies Dir bitte die Forenregeln durch, insbesondere das, was dort über Crossposting steht, und mach so etwas ohne Hinweis hinfort nicht mehr.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Entschuldigung, habe vergessen, das zu erwähnen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Also, um das nochmal klarzustellen. Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1502132#post1502132
BEWEIS:
1.) Induktionsanfang mit n=0.
Seien x,y Mengen mit [mm] $x\in y\in 0=\emptyset$. [/mm] x und y können dann ihrerseits nur die leere Menge sein und damit gilt die Transitivität trivialerweise, da natürlich gilt:
[mm] $\emptyset\in \emptyset\in \emptyset\Rightarrow \emptyset\in\emptyset$
[/mm]
2.) Induktionsvoraussetzung
n sei transitiv
3.) Induktionsschritt: [mm] $n\mapsto n^{+}$
[/mm]
Seien x,y Mengen mit [mm] $x\in y\in n^{+}=n\cup\left\{n\right\}$
[/mm]
1. Fall: [mm] $x\in y\in [/mm] n$
Da folgt sofort aus der Induktionsvoraussetzung, daß [mm] $x\in [/mm] n$ und somit [mm] $x\in n^{+}$
[/mm]
2. Fall: [mm] $x\in y\in \left\{n\right\}$
[/mm]
Da nach der Induktionsvoraussetzun [mm] $x\in [/mm] n$ ist natürlich auch [mm] $x\in\left\{n\right\}$ [/mm] und somit auch in diesem Fall [mm] $x\in n^{+}$
[/mm]
ENDE
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> BEWEIS:
>
> 1.) Induktionsanfang mit n=0.
>
> Seien x,y Mengen mit [mm]x\in y\in 0=\emptyset[/mm]. x und y können
> dann ihrerseits nur die leere Menge sein und damit gilt die
> Transitivität trivialerweise, da natürlich gilt:
>
> [mm]\emptyset\in \emptyset\in \emptyset\Rightarrow \emptyset\in\emptyset[/mm]
Nein, die leere Menge enthält keine Elemente, auch nicht die leere Menge als Element.
Somit existiert kein [mm] $y\in\emptyset$. [/mm] Also ist [mm] $\emptyset$ [/mm] trivialerweise transitiv.
> 2.) Induktionsvoraussetzung
>
> n sei transitiv
>
> 3.) Induktionsschritt: [mm]n\mapsto n^{+}[/mm]
>
> Seien x,y Mengen mit [mm]x\in y\in n^{+}=n\cup\left\{n\right\}[/mm]
>
> 1. Fall: [mm]x\in y\in n[/mm]
>
> Da folgt sofort aus der Induktionsvoraussetzung, daß [mm]x\in n[/mm]
> und somit [mm]x\in n^{+}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Gut!
> 2. Fall: [mm]x\in y\in \left\{n\right\}[/mm]
>
> Da nach der Induktionsvoraussetzun [mm]x\in n[/mm]
Nein, nicht nach Induktionsvoraussetzung, sondern wegen [mm] $x\in [/mm] y=n$.
Also [mm] $x\in n\subseteq n\cup\{n\}=n^+$.
[/mm]
> ist natürlich
> auch [mm]x\in\left\{n\right\}[/mm]
Nein, es gilt nicht [mm] $x\in\{n\}$. [/mm] (Dann wäre $x=n$. Es gilt aber [mm] $x\in [/mm] n$.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
> > 2. Fall: [mm]x\in y\in \left\{n\right\}[/mm]
> Nein, nicht
> nach Induktionsvoraussetzung, sondern wegen [mm]x\in y=n[/mm].
Wieso gilt [mm] $x\in [/mm] y=n$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> > > 2. Fall: [mm]x\in y\in \left\{n\right\}[/mm]
> > Nein, nicht
> > nach Induktionsvoraussetzung, sondern wegen [mm]x\in y=n[/mm].
>
> Wieso gilt [mm]x\in y=n[/mm]?
[mm] $x\in [/mm] y$ war ja unsere Annahme über x und y, mit der wir den Transitivitätsbeweis für $n^+$ gestartet haben.
$y=n$ folgt direkt aus [mm] $y\in\{n\}$, [/mm] der Annahme im 2. Fall.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Achso! Klar: $y$ ist ein Element aus [mm] $\left\{n\right\}$; [/mm] da darin nur ein Element ist (nämlich $n$), muss ja natürlich $y=n$ sein.
Damit ist mir der Induktionsschritt nun klar, danke!
Ich muss allerdings nochmal etwas zum Induktionsanfang nachfragen. Die leere Menge enthält also gar keine Elemente, okay. Aber wieso ist sie dann transitiv?!
Mir ist noch nicht ganz klar, wieso.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ich muss allerdings nochmal etwas zum Induktionsanfang
> nachfragen. Die leere Menge enthält also gar keine
> Elemente, okay. Aber wieso ist sie dann transitiv?!
>
> Mir ist noch nicht ganz klar, wieso.
Gut, dass du nachfragst.
Zeigen müssen wir, dass für alle Mengen x,y mit [mm] $x\in y\in \emptyset$ [/mm] etwas gilt. Daran müssen wir uns gar nicht lange aufhalten: Es kommen nämlich gar nicht viele solche Mengen x,y in Betracht, von denen wir etwas nachweisen müssen. Genauer gesagt: Wir müssen von überhaupt keinen Mengen x,y etwas nachweisen, da es nicht ein einziges Mengenpaar x,y gibt mit [mm] $x\in y\in\emptyset$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Da es so ein Mengenpaar also überhaupt gar nicht gibt: Wieso kann man dann sagen, dass die leere Menge transitiv ist?
Dann könnte man ja alles Mögliche für Elemente in der leeren Menge behaupten und das wäre dann korrekt...
Sorry, aber ich kriege das noch nicht klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Da es so ein Mengenpaar also überhaupt gar nicht gibt:
> Wieso kann man dann sagen, dass die leere Menge transitiv
> ist?
>
>
> Dann könnte man ja alles Mögliche für Elemente in der
> leeren Menge behaupten und das wäre dann korrekt...
Das stimmt in der Tat: Jede Aussage der Form
"Für alle [mm] $y\in\emptyset$ [/mm] gilt A(y)."
ist wahr!
Denn angenommen, es gilt nicht für alle [mm] $y\in\emptyset$ [/mm] die Aussage A(y). Dann gibt es ein [mm] $y\in\emptyset$, [/mm] für das nicht A(y) gilt. Die Existenz eines [mm] $y\in\emptyset$ [/mm] ist aber ein Widerspruch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Dann habe ich es ja intuitiv sogar richtig gesehen.
Ich schreibe also beim Induktionsanfang hin:
"Es gibt keine derartigen x,y und daraus folgt, daß die leere Menge trivialerweise transitiv ist."
Das wäre dann so okay?
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Vielen lieben Dank für Deine geduldige Hilfe!
Das war toll!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Nochmal ich. 
Jetzt möchte ich gerne mal zeigen, daß
[mm] $\left\{0,1,2,3,...\right\}$
[/mm]
(Menge aller natürlichen Zahlen nach von Neumann)
transitiv ist.
Induktion.
IA. $n=0$:
[mm] $\left\{0\right\}=\left\{\emptyset\right\}=1$ [/mm] ist transitiv denn wenn ich mir Mengen $x,y$ mit [mm] $x\in y\in \left\{\emptyset\right\}$ [/mm] betrachte, so ist doch [mm] $y=\emptyset$ [/mm] und somit gibt es ein solches $x$ gar nicht.
Folgt daraus wieder, daß 1 transitiv ist?
IV. [mm] $\left\{0,1,2,3,...,n\right\}$ [/mm] sei transitiv.
IS. [mm] $\left\{0,1,2,3,...,n,n^{+}\right\}=\left\{0,1,2,3,...,n\right\}\cup\left\{n^{+}\right\}$
[/mm]
Seien $x,y$ Mengen mit [mm] $x\in y\in \left\{0,1,2,3,...,n,n^{+}\right\}$, [/mm] dann gibt es zwei Fälle:
1. Fall: [mm] $x\in y\in \left\{0,1,2,3,...,n\right\}$. [/mm] Daraus folgt wegen der IV. sofort, daß [mm] $x\in\left\{0,1,2,3,...,n\right\}$.
[/mm]
2. Fall: [mm] $x\in y\in \left\{n^{+}\right\}$
[/mm]
Hier gilt [mm] $y=n^{+}$, [/mm] also [mm] $x\in n^{+}$ [/mm] und da [mm] $n^{+}\in\left\{n^{+}\right\}$ [/mm] auch [mm] $x\in\left\{n^{+}\right\}$
[/mm]
BEWEIS ENDE
Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Induktion.
>
> IA. [mm]n=0[/mm]:
>
> [mm]\left\{0\right\}=\left\{\emptyset\right\}=1[/mm] ist transitiv
> denn wenn ich mir Mengen [mm]x,y[/mm] mit [mm]x\in y\in \left\{\emptyset\right\}[/mm]
> betrachte, so ist doch [mm]y=\emptyset[/mm] und somit gibt es ein
> solches [mm]x[/mm] gar nicht.
>
> Folgt daraus wieder, daß 1 transitiv ist?
>
>
> IV. [mm]\left\{0,1,2,3,...,n\right\}[/mm] sei transitiv.
>
> IS.
> [mm]\left\{0,1,2,3,...,n,n^{+}\right\}=\left\{0,1,2,3,...,n\right\}\cup\left\{n^{+}\right\}[/mm]
>
> Seien [mm]x,y[/mm] Mengen mit [mm]x\in y\in \left\{0,1,2,3,...,n,n^{+}\right\}[/mm],
> dann gibt es zwei Fälle:
>
> 1. Fall: [mm]x\in y\in \left\{0,1,2,3,...,n\right\}[/mm]. Daraus
> folgt wegen der IV. sofort, daß
> [mm]x\in\left\{0,1,2,3,...,n\right\}[/mm].
>
> 2. Fall: [mm]x\in y\in \left\{n^{+}\right\}[/mm]
> Hier gilt [mm]y=n^{+}[/mm],
> also [mm]x\in n^{+}[/mm] und da [mm]n^{+}\in\left\{n^{+}\right\}[/mm] auch
> [mm]x\in\left\{n^{+}\right\}[/mm]
Die letzte Schlussfolgerung ist falsch.
Ansonsten beweist du korrekt, dass für alle von-Neumann-Zahlen n die Menge [mm] $\{0,1,\ldots,n\}$ [/mm] transitiv ist. (Übrigens gilt [mm] $\{0,1,\ldots,n\}=n^+$.)
[/mm]
Du willst aber beweisen, dass die Menge (nennen wir sie N) aller von-Neumann-Zahlen transitiv ist.
Zeige dazu per Induktion nach y (!):
Für alle [mm] $y\in [/mm] N$ gilt: Für alle [mm] $x\in [/mm] y$ ist [mm] $x\in [/mm] N$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Wieso Induktion über y?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Wieso Induktion über y?
Weil es zum Ziel führt... 
Zu zeigen ist ja für die Transitivität von N, dass Elemente [mm] $x\in [/mm] y$ von von-Neumann-Zahlen y wieder von-Neumann-Zahlen sind.
Da bietet sich einfach Induktion nach y an. Zumal wir ja eine induktive Definition der von-Neumann-Zahlen haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Kann man das auch so verstehen:
Wenn ich mir [mm] $N=\left\{0,1,2,3,...\right\}$ [/mm] ansehe, so habe ich ja oben gezeigt, daß jede dieser Zahlen transitive Mengen sind.
Nun betrachtet man hier aber sozusagen jeweils ein paar Elemente zusammen (d.h. eine Menge von Mengen) und guckt schrittweise (induktiv) ob Transitivität vorliegt.
D.h. man macht y immer größer.
BEISPIEL:
Aus der Menge aller von Neumann Zahlen nimmt man als y [mm] [l]\left\{0,1,2,3\right\}, [/mm] daraus ein x und guckt, ob das x auch in N liegt.
Oder ist das wieder falsch gedacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn ich mir [mm]N=\left\{0,1,2,3,...\right\}[/mm] ansehe, so habe
> ich ja oben gezeigt, daß jede dieser Zahlen transitive
> Mengen sind.
>
> Nun betrachtet man hier aber sozusagen jeweils ein paar
> Elemente zusammen (d.h. eine Menge von Mengen) und guckt
> schrittweise (induktiv) ob Transitivität vorliegt.
>
> D.h. man macht y immer größer.
>
> BEISPIEL:
>
> Aus der Menge aller von Neumann Zahlen nimmt man als y
> [mm][l]\left\{0,1,2,3\right\},[/mm] daraus ein x und guckt, ob das x
> auch in N liegt.
Naja, zu zeigen ist ja erst einmal eine Aussage über alle [mm] $y\in [/mm] N$, nicht über irgendwelche Teilmengen y von N.
Wenn ihr allerdings schon wisst, dass [mm] $n=\{0,\ldots,n-1\}$ [/mm] gilt, könnte man sich die Induktion nach y eventuell sparen. Wie habt ihr die Menge aller von-Neumann-Zahlen denn genau eingeführt? Einfach [mm] $\{0,1,2,3\ldots\}$ [/mm] oder formal exakter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Hatten wir gar nicht, nur so wie hier in der Aufgabe, also einfach als [mm] $\left\{0,1,2,3,...\right\}$.
[/mm]
Es fällt mir schwer den Unterschied zu verstehen zwischen dem, was ich hier zeigen soll und zu dem, was ich gezeigt habe.
Ich habe es - wenn ich es richtig verstehe - für bestimmte Teilmengen der Menge N gezeigt, aber nicht für einzelne Elemente der Menge N?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Es fällt mir schwer den Unterschied zu verstehen zwischen
> dem, was ich hier zeigen soll und zu dem, was ich gezeigt
> habe.
In deinem Beweisversuch zeigst du (abgesehen von der Lücke am Ende), dass die Mengen der Form [mm] $\{0,\ldots,n\}$ [/mm] transitiv sind.
Daraus kannst du dann, wie ich gerade sehe, doch mit ein paar Zwischenschritten die Transitivität von N folgern:
Seien [mm] $x\in y\in [/mm] N$. Dann gilt [mm] $y\in\{0,\ldots,y\}$ [/mm] und somit aufgrund der gezeigten Transitivität von [mm] $\{0,\ldots,y\}$ [/mm] auch [mm] $x\in\{0,\ldots,y\}\subset [/mm] N$.
Der von mir vorgeschlagene Induktionsbeweis ist kürzer als der Umweg über die Transitivität der Mengen der Form [mm] $\{0,\ldots,n\}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Das bedeutet, meine Lösung (bis auf den Fehler am Ende) war okay, wenn ich dazu schreibe, daß dann [mm] $x\in \left\{0,...,y\right\}\subseteq [/mm] N$?
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Ist Deine Idee die folgende:
I.A: y=0: Also [mm] $x\in \emptyset$ [/mm] und weil es ein solches Element $x$ nicht geben kann (falsche Aussage), kann man daraus quasi alles folgern und auch [mm] $x\in [/mm] N$?
I.V Es gelte [mm] $x\in y\in N\Rightarrow x\in [/mm] N$
I.S. [mm] $x\in y+1=y\cup \left\{y\right\}§
[/mm]
1. [mm] $x\in y\in N\Rightarrow [/mm] I.V. [mm] x\in [/mm] N$
2. [mm] $x\in \left\{y\right\}\Rightarrow x=y\Rightarrow x\in [/mm] N$
So?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Das bedeutet, meine Lösung (bis auf den Fehler am Ende)
> war okay, wenn ich dazu schreibe, daß dann [mm]x\in \left\{0,...,y\right\}\subseteq N[/mm]?
Ich würde noch dazu schreiben, was du per Induktion zeigst, und den Teil aus meinem letzten Post ergänzen:
Seien [mm] $x\in y\in [/mm] N$. Dann gilt [mm] $y\in\{0,\ldots,y\}$ [/mm] und somit aufgrund der gezeigten Transitivität von [mm] $\{0,\ldots,y\}$ [/mm] auch [mm] $x\in\{0,\ldots,y\}\subset [/mm] N$.
> I.A: y=0: Also [mm]x\in \emptyset[/mm] und weil es ein solches
> Element [mm]x[/mm] nicht geben kann (falsche Aussage), kann man
> daraus quasi alles folgern und auch [mm]x\in N[/mm]?
>
> I.V Es gelte [mm]x\in y\in N\Rightarrow x\in N[/mm] für ein festes y
>
> I.S. [mm]$x\in y+1=y\cup \left\{y\right\}§[/mm]
>
> 1. [mm]x\in y\in N\Rightarrow I.V. x\in N[/mm]
>
> 2. [mm]x\in \left\{y\right\}\Rightarrow x=y\Rightarrow x\in N[/mm]
Genau so habe ich das gemeint!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Oky, dann schreib' ich einfach mal beide Wege auf.
Ich dank Dir!!!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Fr 11.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Mal eine Frage:
Darf ich Dir mein LaTeX Dokument mal schicken, damit Du meine Lösung als Ganze mal ansehen kannst. Ich muiss das nämlich abgeben.
Oder ist das hier nicht erwünscht??
Dennis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:16 Sa 12.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Siehe meine Persönliche Nachricht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Sa 12.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Okay, hab's geschickt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ich schreibe also beim Induktionsanfang hin:
>
> "Es gibt keine derartigen x,y und daraus folgt, daß die
> leere Menge trivialerweise transitiv ist."
Wenn du dazuschreibst, dass mit "derartigen x,y" Mengen mit [mm] $x\in y\in \emptyset$ [/mm] gemeint sind, sollte das völlig ausreichend sein.
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