wahrscheinlichkeit bei skat < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beim Skat-Spiel werde 32 Karten auf drei Spieler verteilt. Zwei Karten kommen in den Skat.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler alle 8 Herz-Karten bekommt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo,)
hier ist mein Lösungsansatz.. allerdings bin ich mir wegen dem Nenner nicht ganz sicher, ob es nun 8(wegen den 8 Herzkarten) oder 10 (wegen den 10 Karten, die jeder Spieler bekommt) sind?
[mm] \bruch{{ 8\choose 8} x { 24\choose 2}}{{ 32\choose 8/10 }}
[/mm]
Macht es einen Unterschied, wenn in der Aufgabenstellung die Rede von einem bestimmten Spieler die Rede ist?
danke schon mal!
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> Macht es einen Unterschied, wenn in der Aufgabenstellung
> die Rede von einem bestimmten Spieler die Rede ist?
Ja. Das macht einen Unterschied.
Stell dir vor: Hans, Kurt und Peter spielen Skat.
Dann ist es 3 Mal so wahrscheinlich, dass irgendeiner von ihnen die 8 Herz-Karten hat, als dass ausgerechnet Hans die 8 Herz-Karten hat.
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danke
und wie sieht es mit der Lösung aus? sind es im Nenner [mm] \vektor{32 \\ 8} [/mm] oder [mm] \vektor{32 \\ 10} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 So 17.05.2009 | | Autor: | glie |
> danke
>
> und wie sieht es mit der Lösung aus? sind es im Nenner
> [mm]\vektor{32 \\ 8}[/mm] oder [mm]\vektor{32 \\ 10}[/mm] ?
Hallo,
weder noch!
Das Zufallsexperiment ist das zufällige Verteilen der 32 Spielkarten aud 3 Spieler (jeder 10 Karten) und den Skat (2 Karten).
Es gibt also folgende Anzahl von möglichen Kartenverteilungen:
[mm] \vektor{32 \\ 10}*\vektor{22 \\ 10}*\vektor{12 \\ 10}*\vektor{2 \\ 2}
[/mm]
Die Anzahl möglicher Kartenaufteilungen, bei denen ein beliebiger Spieler alle 8 Herzkarten hält ist:
[mm] \vektor{3 \\ 1}*\vektor{8 \\ 8}*\vektor{24 \\ 2}*\vektor{22 \\ 10}*\vektor{12 \\ 10}*\vektor{2 \\ 2}
[/mm]
Gruß Glie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:45 Mo 18.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Die Anzahl möglicher Kartenaufteilungen, bei denen ein
> beliebiger Spieler alle 8 Herzkarten hält ist:
>
> [mm]\vektor{3 \\ 1}*\vektor{8 \\ 8}*\vektor{24 \\ 2}*\vektor{22 \\ 10}*\vektor{12 \\ 10}*\vektor{2 \\ 2}[/mm]
Mag sein, dass die Antwort richtig ist. Allerdings kann ich mir darunter nicht viel vorstellen.
Ich würde eher so an die Lösung gehen:
Ein Spieler zieht aus den 32 Karten eine Karte raus. Die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Herz-Karte zieht, ist [mm] \bruch{8}{32}.
[/mm]
Dann zieht er eine weitere Karte. Die Wahrscheinlichkeit, dass er wieder eine Herz-Karte zieht, ist [mm] \bruch{7}{31}.
[/mm]
Und so weiter.
Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 8 Mal eine Herz-Karte zieht, also
[mm] \bruch{8}{32}*\bruch{7}{31}*\bruch{6}{30}*\bruch{5}{29}*\bruch{4}{28}*\bruch{3}{27}*\bruch{2}{26}*\bruch{1}{25}
[/mm]
Dann zieht er noch 2 Nicht-Herz-Karten und hat somit 10 Karten gezogen.
Die 2 Nicht-Herz-Karten können allerdings an jeder beliebigen Stelle gezogen worden sein (z.B. als 5. und 8. Karte).
Deshalb muss man das obige Ergebnis noch mit [mm] \bruch{10*9}{2} [/mm] multiplizieren.
Und die Wahrscheinlichkeit dass irgendeiner der drei Spieler alle Herz-Karten zieht ist dreimal so hoch. Also noch mal alles mit 3 multiplizieren.
Insgesamt käme dann raus:
[mm] \bruch{8}{32}*\bruch{7}{31}*\bruch{6}{30}*\bruch{5}{29}*\bruch{4}{28}*\bruch{3}{27}*\bruch{2}{26}*\bruch{1}{25}*\bruch{10*9}{2}*3
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:16 Mo 18.05.2009 | | Autor: | glie |
> > Die Anzahl möglicher Kartenaufteilungen, bei denen ein
> > beliebiger Spieler alle 8 Herzkarten hält ist:
> >
> > [mm]\vektor{3 \\ 1}*\vektor{8 \\ 8}*\vektor{24 \\ 2}*\vektor{22 \\ 10}*\vektor{12 \\ 10}*\vektor{2 \\ 2}[/mm]
Sorry war schon spät gestern, deswegen ist die Antwort vielleicht zu kurz ausgefallen.
Also ein beliebiger Spieler soll die 8 HerzKarten haben. Für die Auswahl des Spielers gibt es [mm] \vektor{3 \\ 1}=3 [/mm] Möglichkeiten.
Der Spieler muss alle 8 HerzKarten bekommen, dafür gibt es [mm] \vektor{8 \\ 8}=1 [/mm] Möglichkeit.
Dann bekommt er noch zwei beliebige Karten aus den übrigen 24 zugeteilt, dafür gibt es [mm] \vektor{24 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten.
Die beiden übrigen Spieler erhalten jeweils 10 Karten aus den noch verbleibenden, dafür gibt es [mm] \vektor{22 \\ 10}*\vektor{12 \\ 10} [/mm] Möglichkeiten.
Die verbleibenden 2 Karten bilden den Skat. Dafür gibt es also [mm] \vektor{2 \\ 2}=1 [/mm] Möglichkeit.
Nachdem alle Kartenverteilungen gleich wahrscheinlich sind, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Ein beliebiger Spieler erhält alle 8 Herz-Karten" die Anzahl der für das Ereignis günstigen Möglichkeiten geteilt durch die Anzahl aller möglichen Kartenverteilungen.
[mm] P=\bruch{\vektor{3 \\ 1}*\vektor{8 \\ 8}*\vektor{24 \\ 2}*\vektor{22 \\ 10}*\vektor{12 \\ 10}*\vektor{2 \\ 2}}{\vektor{32 \\ 10}*\vektor{22 \\ 10}*\vektor{12 \\ 10}*\vektor{2 \\ 2}}
[/mm]
Gruß Glie
>
> Mag sein, dass die Antwort richtig ist. Allerdings kann ich
> mir darunter nicht viel vorstellen.
>
>
> Ich würde eher so an die Lösung gehen:
>
> Ein Spieler zieht aus den 32 Karten eine Karte raus. Die
> Wahrscheinlichkeit, dass er eine Herz-Karte zieht, ist
> [mm]\bruch{8}{32}.[/mm]
> Dann zieht er eine weitere Karte. Die Wahrscheinlichkeit,
> dass er wieder eine Herz-Karte zieht, ist [mm]\bruch{7}{31}.[/mm]
> Und so weiter.
>
> Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit, dass er 8 Mal eine
> Herz-Karte zieht, also
>
> [mm]\bruch{8}{32}*\bruch{7}{31}*\bruch{6}{30}*\bruch{5}{29}*\bruch{4}{28}*\bruch{3}{27}*\bruch{2}{26}*\bruch{1}{25}[/mm]
>
> Dann zieht er noch 2 Nicht-Herz-Karten und hat somit 10
> Karten gezogen.
>
> Die 2 Nicht-Herz-Karten können allerdings an jeder
> beliebigen Stelle gezogen worden sein (z.B. als 5. und 8.
> Karte).
> Deshalb muss man das obige Ergebnis noch mit
> [mm]\bruch{10*9}{2}[/mm] multiplizieren.
>
> Und die Wahrscheinlichkeit dass irgendeiner der drei
> Spieler alle Herz-Karten zieht ist dreimal so hoch. Also
> noch mal alles mit 3 multiplizieren.
>
> Insgesamt käme dann raus:
>
> [mm]\bruch{8}{32}*\bruch{7}{31}*\bruch{6}{30}*\bruch{5}{29}*\bruch{4}{28}*\bruch{3}{27}*\bruch{2}{26}*\bruch{1}{25}*\bruch{10*9}{2}*3[/mm]
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:32 Mo 18.05.2009 | | Autor: | glie |
Bei meiner Rechnung erhalte ich [mm] \bruch{3}{233740} \approx [/mm] 0,00128%
Glücklicherweise kommt bei deiner Rechnung das gleiche Ergebnis heraus 
Puh! Bin beruhigt.
Also: Viele Wege führen nach Rom.
Gruß Glie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:14 Di 19.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Bei meiner Rechnung erhalte ich [mm]\bruch{3}{233740} \approx[/mm]
> 0,00128%
>
> Glücklicherweise kommt bei deiner Rechnung das gleiche
> Ergebnis heraus
>
> Puh! Bin beruhigt.
>
> Also: Viele Wege führen nach Rom.
>
> Gruß Glie
Ja, es stimmt dass viele Wege nach Rom führen.
Was mich allerdings immer wieder verwundert, ist nur:
Bei dieser Art von Aufgabe wird von vielen Leuten eine sehr umfangreiche und komplizierte Lösungs-Methode gewählt. Um von Berlin nach Rom zu gelangen, muss man doch nicht um den halben Erdball fahren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:09 Di 19.05.2009 | | Autor: | glie |
Hallo rabilein,
ich finde nicht unbedingt, dass meine Lösung so viel komplizierter ist als deine. Also zumindest führt sie nicht um den halben Erdball.
Und ich habe festgestellt, dass sich die Schüler oft mit der Kartenverteilung über Auswahl "gib x von y möglichen Karten" leichter tun.
Deine Lösung wird auch nicht leichter als meine, wenn die Aufgabe heisst:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 beliebige Spieler jeweils 2 Buben bekommen?
Hier würde ich eben wieder so herangehen:
Wähle die 2 der 3 Spieler, die die Buben bekommen sollen.
Gib dem ersten 2 der 4 Buben.
Gib ihm 8 aus den restlichen 28 Karten.
Gib dem zweiten die 2 verbleibenden Buben.
Gib im 8 aus den restlichen 20 Karten.
Gib dem dritten Spieler 10 der restlichen 12 Karten.
Lege die verbleibenden Karten in den Skat.
Also [mm] P=\bruch{\vektor{3 \\ 2}*\vektor{4 \\ 2}*\vektor{28 \\ 8}*\vektor{2 \\ 2}*\vektor{20 \\ 8}*\vektor{12 \\ 10}*\vektor{2 \\ 2}}{|\Omega|}
[/mm]
So hat es zumindest bei mir bis jetzt noch jeder Nachhilfeschüler (auch die ganz schlechten) verstanden und konnte jede Aufgabe dieses Typs lösen.
Aber ich bin natürlich offen für Verbesserungsvorschläge, also wenn du eine Methode weisst, wie man das einem Schüler noch einleuchtender klarmachen kann, dann her damit!
Gruß Glie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Di 19.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Hallo Glie,
wenn man eine bestimmte Lösungs-Methode einmal gelernt (und verstanden) hat, dann erscheint sie später natürlich immer leicht im Vergleich zu anderen Lösungs-Methoden.
Mich persönlich stört diese Schreibweise wie [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] irgendwie.
Genau genommen heißt das doch:
[mm] \bruch{4!}{(4-2)!*2!} [/mm] = [mm] \bruch{1*2*3*4}{1*2*1*2} [/mm] = [mm] \bruch{3*4}{1*2} [/mm] = 6
Noch schlimmer finde ich [mm] \vektor{2 \\ 2}.
[/mm]
Das ist 1. Und wenn man ein Produkt mit 1 multipliziert, dann ändert das am Resultat nichts. Also kann man das auch gleich ganz weglassen.
Das meinte ich mit der Reise um den Erdball.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Di 19.05.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo Glie,
> wenn man eine bestimmte Lösungs-Methode einmal gelernt
> (und verstanden) hat, dann erscheint sie später natürlich
> immer leicht im Vergleich zu anderen Lösungs-Methoden.
>
> Mich persönlich stört diese Schreibweise wie [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm]
> irgendwie.
> Genau genommen heißt das doch:
>
> [mm]\bruch{4!}{(4-2)!*2!}[/mm] = [mm]\bruch{1*2*3*4}{1*2*1*2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3*4}{1*2}[/mm] = 6
>
> Noch schlimmer finde ich [mm]\vektor{2 \\ 2}.[/mm]
> Das ist 1. Und
> wenn man ein Produkt mit 1 multipliziert, dann ändert das
> am Resultat nichts. Also kann man das auch gleich ganz
> weglassen.
>
> Das meinte ich mit der Reise um den Erdball.
Hallo,
da geb ich dir natürlich vollkommen recht.
Man kann das dann natürlich wesentlich vereinfachen und verkürzen.
Die Binomialkoeffizienten, die 1 ergeben, lasse ich natürlich auch immer weg. Aber der Vollständigkeit halber und fürs erste Verständnis machen sie sich gut, weil dann die komplette Verteilung sichtbar ist.
Und ich wollte es hier einfach so ausführlich wie möglich darstellen.
Gruß Glie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 17.05.2009 | | Autor: | glie |
Hallo,
Antwort siehe unten
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