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was hab ich falsch gemacht?: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:34 Sa 17.12.2011
Autor: Lovella

Aufgabe
aaaalso: ich will zeigen, wo [mm] \IR \backslash\{0\}\to\IR, f(x)=x\cdot\left\lfloor \bruch{1}{x}\right\rfloor [/mm]
unstetig ist.

also die funktion hat im schaubild für alle [mm] x_k=\pm\bruch{1}{k} [/mm] mit [mm] k\in \IN [/mm] ein sprung. An diesen stellen ist der funktionswert jeweils 1.

Meine idee war jetzt, dass ich eine folge finde, die gegen [mm] x_0=\bruch{1}{k} [/mm] bzw. [mm] x_0=-\bruch{1}{k} [/mm] konvergiert. Die funktionswerte sollen allerdings nicht gegen [mm] f(x_0) [/mm] konvergieren.

Ich habe diese gewählt: [mm] (a_n)=\left(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{n}\right)\to \bruch{1}{k} [/mm] für [mm] n\to \infty. [/mm]

Dann gilt: [mm] f(a_n)=\left(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{n}\right)\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\left(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{n}\right)}\right\rfloor \to \bruch{1}{k}\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\bruch{1}{k}}\right\rfloor [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}\cdot\left\lfloor k\right\rfloor [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} \cdot{k}=1 [/mm]

aber jetzt stimmen funktionswert und folgen-funktionwert überein!

was hab ich falsch gemacht?

        
Bezug
was hab ich falsch gemacht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:55 Sa 17.12.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Lovella,
> aaaalso: ich will zeigen, wo [mm]\IR \backslash\{0\}\to\IR, f(x)=x\cdot\left\lfloor \bruch{1}{x}\right\rfloor[/mm]
> unstetig ist.
>  also die funktion hat im schaubild für alle
> [mm]x_k=\pm\bruch{1}{k}[/mm] mit [mm]k\in \IN[/mm] ein sprung. An diesen
> stellen ist der funktionswert jeweils 1.
>  
> Meine idee war jetzt, dass ich eine folge finde, die gegen
> [mm]x_0=\bruch{1}{k}[/mm] bzw. [mm]x_0=-\bruch{1}{k}[/mm] konvergiert. Die
> funktionswerte sollen allerdings nicht gegen [mm]f(x_0)[/mm]  konvergieren.
>  
> Ich habe diese gewählt:
> [mm](a_n)=\left(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{n}\right)\to \bruch{1}{k}[/mm]
> für [mm]n\to \infty.[/mm]

Wähle besser [mm] (a_n)=\left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right). [/mm]

Dann gilt für alle [mm] n\in\IN [/mm]

    [mm] f(a_n)=\left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right) \left\lfloor\frac{1}{1/k+1/n} \right\rfloor=\left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right) \left\lfloor\underbrace{\frac{kn}{n+k}}_{
LG

Bezug
                
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was hab ich falsch gemacht?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:03 Sa 17.12.2011
Autor: Lovella

danke kamaleonti!

ich hab dazu leider 2 fragen (tut mir leid): [mm] \left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right) \left\lfloor\underbrace{\frac{kn}{n+k}}_{
1. woher siehst du, dass dieser term in der gaußklammer <k ist?

2. warum darfst du daraus eine ungleichung machen? ist es dann nicht klar, dass es am ende passt, wenn man es verändert?

Bezug
                        
Bezug
was hab ich falsch gemacht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:09 Sa 17.12.2011
Autor: kamaleonti


> danke kamaleonti!
>  
> ich hab dazu leider 2 fragen (tut mir leid):
> [mm]\left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right) \left\lfloor\underbrace{\frac{kn}{n+k}}_{
>  
> 1. woher siehst du, dass dieser term in der gaußklammer <k  ist?

Es ist [mm] \frac{kn}{n+k}<\frac{kn}{n}=k, [/mm] denn [mm] 0
>  
> 2. warum darfst du daraus eine ungleichung machen? ist es
> dann nicht klar, dass es am ende passt, wenn man es verändert?

Wegen [mm] \frac{kn}{n+k}
       [mm] \left\lfloor \frac{kn}{n+k}\right\rfloor\leq [/mm] k-1.

Diese Abschätzung gilt für alle [mm] n\in\IN [/mm] und bleibt daher im Grenzübergang erhalten.

LG


Bezug
                                
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was hab ich falsch gemacht?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Sa 17.12.2011
Autor: Lovella

ich hab das leider immer noch nicht so ganz verinnerlicht, im abschätzen bin ich sowieso eine niete...

kann ich vllt auch so argumentieren: Sei [mm] \varepsilon<0 [/mm] mit [mm] \varepsilon<<<1 [/mm] gegeben.

Dann ist [mm] f\left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right) [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right)\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right)} \right\rfloor \to \bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\bruch{1}{k-\varepsilon}} \right\rfloor (n\to\infty) [/mm] = [mm] \bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot\left\lfloor k-\varepsilon \right\rfloor [/mm] = [mm] \bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot(k-1) [/mm] = [mm] \bruch{k-1}{k-\varepsilon} \to \bruch{k-1}{k} (\varepsilon\to0)\not=1 [/mm]


???

Bezug
                                        
Bezug
was hab ich falsch gemacht?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Sa 17.12.2011
Autor: kamaleonti


> ich hab das leider immer noch nicht so ganz verinnerlicht,
> im abschätzen bin ich sowieso eine niete...
>  
> kann ich vllt auch so argumentieren: Sei [mm]\varepsilon<0[/mm] mit
> [mm]\varepsilon<<<1[/mm] gegeben.
>  
> Dann ist
> [mm]f\left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right)[/mm] =  [mm]\left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right)\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\left(\bruch{1}{k-\varepsilon}+\bruch{1}{n}\right)} \right\rfloor \to \bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot\left\lfloor \bruch{1}{\bruch{1}{k-\varepsilon}} \right\rfloor (n\to\infty)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot\left\lfloor k-\varepsilon \right\rfloor[/mm]  = [mm]\bruch{1}{k-\varepsilon}\cdot(k-1)[/mm] =  [mm]\bruch{k-1}{k-\varepsilon} \to \bruch{k-1}{k} (\varepsilon\to0)\not=1[/mm]

Dieses [mm] \varepsilon [/mm] bringt hier nichts. Der Fehler, den du sicherlich noch machst, ist anzunehmen, dass

    [mm] \left\lfloor \bruch{1}{\left(\bruch{1}{k}+\bruch{1}{n}\right)} \right\rfloor\to\left\lfloor \bruch{1}{\bruch{1}{k}} \right\rfloor [/mm]

für [mm] n\to\infty [/mm] ist. Das stimmt aber nicht, denn das was links unter der Gaußklammer steht, ist immer kleiner als k (wie oben gezeigt). Damit kann im Grenzwert nicht plötzlich [mm] \left\lfloor 1/(1/k)\right\rfloor=k [/mm] rauskommen.

LG

>  
>
> ???


Bezug
        
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was hab ich falsch gemacht?: Link
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Sa 17.12.2011
Autor: Marcel

Hallo,

> aaaalso: ich will zeigen, wo [mm]\IR \backslash\{0\}\to\IR, f(x)=x\cdot\left\lfloor \bruch{1}{x}\right\rfloor[/mm]
> unstetig ist.

bzgl. der Aufgabe kannst Du Dich auch

hier [mm] ($\leftarrow$ klick it!) informieren. Gruß, Marcel [/mm]

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