www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Topologie und Geometrie" - wedge product
wedge product < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

wedge product: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:35 Sa 07.08.2010
Autor: dazivo

Hallo zusammen !

Ich wollte nur mal kurz eine Unstimmigkeit aus der Welt schaffen. Nämlich geht es um das wedge Product. Sei M irgendeine orientierbare $2n$-dimensionale kompakte Mannigfaltigkeit und sei [mm] $\omega$ [/mm] eine $n$-form. Es ist doch richtig, dass [mm] $\omega \wedge \omega [/mm] = 0$ ?


Gruss dazivo

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
wedge product: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:03 Sa 07.08.2010
Autor: pelzig

Es gilt ganz allgemein für Formen [mm] $\omega\wedge\eta=-\eta\wedge\omega$. [/mm] Insbesondere folgt [mm] $\omega\wedge\omega=-\omega\wedge\omega$, [/mm] also [mm] $\omega\wedge\omega=0$. [/mm]

Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
wedge product: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:17 Sa 07.08.2010
Autor: felixf

Moin,

> Es gilt ganz allgemein für Formen
> [mm]\omega\wedge\eta=-\eta\wedge\omega[/mm]. Insbesondere folgt
> [mm]\omega\wedge\omega=-\omega\wedge\omega[/mm], also
> [mm]\omega\wedge\omega=0[/mm].

moment -- das gilt doch so erstmal nur fuer 1-Formen?

Fuer Formen [mm] $\omega, \eta$ [/mm] gilt doch allgemein [mm] $\omega \wedge \eta [/mm] = [mm] (-1)^{\deg \omega \cdot \deg \eta} \eta \wedge \omega$. [/mm]

Bei davizo ist [mm] $\deg \omega [/mm] = n$, also [mm] $\omega \wedge \omega [/mm] = [mm] (-1)^{n^2} \omega \wedge \omega$. [/mm]

Ist also $n$ ungerade, so auch [mm] $n^2$, [/mm] und es folgt [mm] $\omega \wedge \omega [/mm] = 0$.

Ist jedoch $n$ gerade, so folgt erstmal nur [mm] $\omega \wedge \omega [/mm] = [mm] \omega \wedge \omega$. [/mm] Das hilft noch nicht weiter.

Machen wir mal ein Beispiel: $n = 2$ mit [mm] $\omega [/mm] = [mm] dx_1 \wedge dx_2 [/mm] + [mm] dx_3 \wedge dx_4$. [/mm] Dann ist [mm] $\omega \wedge \omega [/mm] = [mm] dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_1 \wedge dx_2 [/mm] + [mm] dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \wedge dx_4 [/mm] + [mm] dx_3 \wedge dx_4 \wedge dx_1 \wedge dx_2 [/mm] + [mm] dx_3 \wedge dx_4 \wedge dx_3 \wedge dx_4 [/mm] = [mm] dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \wedge dx_4 [/mm] + [mm] (-1)^{2 \cdot 2} dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \wedge dx_4 [/mm] = 2 [mm] \cdot dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \wedge dx_4$. [/mm] Und das ist alles andere als 0.

Falls [mm] $\omega$ [/mm] von der Form $f [mm] dx_{i_1} \wedge \dots \wedge dx_{i_n}$ [/mm] ist, gilt jedoch immer [mm] $\omega \wedge \omega [/mm] = 0$. Aber sobald man mehre Summanden dieser Form braucht, wie in meinem Beispiel gerade, kann es schiefgehen.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
wedge product: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 Sa 07.08.2010
Autor: pelzig

Ja danke Felix. Da habe ich ordentlich Bockmist geschrieben. Tut mir Leid.

Gruß, Robert

Bezug
                                
Bezug
wedge product: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 Sa 07.08.2010
Autor: felixf

Moin Robert,

> Ja danke Felix. Da habe ich ordentlich Bockmist
> geschrieben. Tut mir Leid.

kommt vor :) Mir ist das auch mal passiert, glaub ich (aber nicht hier im Forum), weswegen bei mir gleich eine Alarmglocke im Hinterkopf losging als ich deine Antwort sah ;)

LG Felix


Bezug
                                        
Bezug
wedge product: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 Sa 07.08.2010
Autor: dazivo

Hallo zusammen

danke für eure Antworten! Ein banales Problem, wie sich herausgestellt hat!! Übrigens ist diese Frage bei der Definition des Index einer kompakten 4n dimensionalen orientierten, zusammenhängenden Mannigfaltigkeit aufgetaucht. Denn dort schaut man sich eine spezielle Paarung der Kohomologieklassen an und grad ein Lemma zuvor wird erläutert, dass eine nicht-ausgeartete Bilinearform [mm] $\phi$ [/mm] auf zwei endlich-dim. Vektorräume eine spezielle Basis [mm] $\{ x_1 , x_2, \dots , x_r, y_1, \dots , y_s \}$ [/mm] besitzt für die [mm] $\phi (x_i [/mm] , [mm] x_i)=1$ [/mm] gilt. Dann musste ich grad an die Poincaré-Dualitätspaarung denken und dachte, dass dort ja diese Bedingung ja nicht gilt (, weil ich fälschlicherweise [mm] $\omega \wedge \omega [/mm] = 0$ gadacht habe). Somit wäre ja die ganze Index Geschichte überflüssig und das kann ja wohl nicht sein!

Danke nochmals

Grüsse dazivo

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]