wegunabhängigkeit < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweise die Wegunabhängigkeit des Linienintegrals [mm] \integral{\vektor{2xy/z\\ x²/z \\ -x²y/z²}} [/mm] |
Guten Tag,
ich bin heute das erste mal hier und ich hoffe mir kann jemand helfen. Ich weiss nicht was ich bei der Aufgabe machen soll. Kann mir jemand den ersten Ansatz sagen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Di 15.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo lotusbluete!
Erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Beweise die Wegunabhängigkeit des Linienintegrals
> [mm]\integral{\vektor{2xy/z\\ x²/z \\ -x²y/z²}}[/mm]
> Guten Tag,
> ich bin heute das erste mal hier und ich hoffe mir kann
> jemand helfen. Ich weiss nicht was ich bei der Aufgabe
> machen soll. Kann mir jemand den ersten Ansatz sagen?
Ein solches Linienintegral eines Vektorfeldes
[mm] \integral V(x,y,z) [/mm]
ist wegunabhängig, wenn das Vektorfeld von einem Potential herkommt: [mm]V=\mathop{\mathrm{grad}} \Phi(x,y,z)[/mm].
Kannst du so eine Funktion [mm]\Phi(x,y,z)[/mm] finden, für die
[mm] \bruch{\partial \Phi}{\partial x} = \bruch{2xy}{z}[/mm], [mm]\bruch{\partial \Phi}{\partial y} = \bruch{x^2}{z}[/mm], [mm]\bruch{\partial \Phi}{\partial z} = \bruch{-x^2y}{z^2}[/mm]
gilt?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
das ist nicht sonderlich schwer [mm] \bruch{x^{2}*y}{z}.
[/mm]
habe ich jetzt schon bewiesen? Wenn ja, wie kann ich es mathematisch korrekt hinschreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mi 16.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo lotusbluete!
> das ist nicht sonderlich schwer [mm]\bruch{x^{2}*y}{z}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> habe ich jetzt schon bewiesen? Wenn ja, wie kann ich es
> mathematisch korrekt hinschreiben?
Das kommt darauf an, was du als bekannt voraussetzen darfst. Reicht die Existenz der Potentialfunktion aus, oder musst du das noch nachweisen?
Wenn du von der Definition des Linienintegrals ausgehst, dann wählst du eine Parametrisierung
[mm] \vektor{x(t) \\ y(t) \\z(t)} [/mm], [mm]0\le t \le 1[/mm]
der Kurve und berechnest
[mm] \integral_0^1 \vektor{2x(t)y(t)/z(t)\\ x(t)^2/z(t) \\ -x(t)^2y(t)/z(t)^2} * \vektor{x'(t) \\ y'(t) \\z'(t)} dt}
= \integral_0^1 \bruch{d}{dt}\left( \bruch{x(t)^{2}*y(t)}{z(t)}\right) dt [/mm]
(durch Anwendung der Kettenregel auf der rechten Seite).
Das Integral rechts ist aber nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nur von den Endpunkten des Weges abhängig.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ein Freund hat mir einen anderen Weg gezeigt:
[mm] \integral Fds=\integral\vektor{\bruch{2xy}{z} \\\bruch{x²}{z} \\\bruch{-x²y}{z²}}ds [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{\delta F_{z}}{\delta y}-\bruch{\delta F_{y}}{\delta z}\\\bruch{\delta F_{x}}{\delta z}-\bruch{\delta F_{z}}{\delta x}\\\bruch{\delta F_{y}}{\delta x}-\bruch{\delta F_{x}}{\delta y}}= \vektor{-\bruch{x²}{z²}-\bruch{-x²}{z²}\\\bruch{-2xy}{z²}-\bruch{-2xy}{z²}\\\bruch{2x}{z}-\bruch{2x}{z}}= [/mm] 0
Damit soll es auch bewiesen sein. Der weg erscheint mir ziemlich einfach. Würde auch in den Stoff passen. Übner eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo lotusbluete,
Dein Weg geht auch, da Du hier bereits mit dem Potential des Vektorfeldes arbeitest. Rainers Weg war der über die Parametrisierung des Weges. Beides ist möglich.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
