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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] ((1+\bruch{1}{n-1})*(\bruch{n}{n+1}))^n [/mm] = [mm] (\bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n+1})^n [/mm] |
Wenn ich den linke Ausdruck ausmultpliziere, steht da doch zusätzich zum Soll-Ergebnis rechts der Summand [mm] \bruch{n}{n+1}, [/mm] also
( [mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{n-1}*\bruch{n}{n+1})^n
[/mm]
. Wohin verscwindet der denn?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo geigenzaehler,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeige, dass [mm]((1+\bruch{1}{n-1})*(\bruch{n}{n+1}))^n[/mm] =
> [mm](\bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n+1})^n[/mm]
> Wenn ich den linke Ausdruck ausmultpliziere, steht da doch
> zusätzich zum Soll-Ergebnis rechts der Summand
> [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] . Wohin verscwindet der denn?
Durch Ausmultiplizieren kommst du nicht af das "Soll-"Ergebnis, sondern auf [mm]\left(\frac{n}{n+1}+\frac{\red{1}}{n-1}\cdot\frac{n}{n+1}\right)^n[/mm] (beachte die rote "1").
Kümmer dich lieber mal um den Term [mm] $1+\bruch{1}{n-1}$ [/mm] und mach daraus einen einzigen Bruch.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 21.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige, dass [mm]((1+\bruch{1}{n-1})*(\bruch{n}{n+1}))^n[/mm] =
> [mm](\bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n+1})^n[/mm]
>
> Wenn ich den linke Ausdruck ausmultpliziere, steht da doch
> zusätzich zum Soll-Ergebnis rechts der Summand
> [mm]\bruch{n}{n+1},[/mm] also
>
> ( [mm]\bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{n-1}*\bruch{n}{n+1})^n[/mm]
>
> . Wohin verscwindet der denn?
nur zur Ergänzung: Vermutlich sollst Du das für alle natürlichen [mm] $n\,$ [/mm] zeigen;
wenn man gar nicht weiterkommt oder sich permanent verrechnet, kann
man auch mal Induktion versuchen.
Ansonsten kann man solche Aufgaben auch (manchmal eleganter) lösen,
indem man äquivalent umformt - hier bspw.:
Bspw. kann man ja rechnen
[mm]\left(\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)*\left(\bruch{n}{n+1}\right)\right)^n=\left(\bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n+1}\right)^n[/mm]
[mm] $\iff$ $\left(\frac{\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)*\left(\bruch{n}{n+1}\right)}{\bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n+1}}\right)^n=1.$
[/mm]
(Wenn man jetzt sagen wollte, dass das äquivalent dazu sei, dass nur
der Ausdruck in der Klammer [mm] $1\,$ [/mm] ist, so ist das zwar richtig, aber bedarf
eigentlich einer kleinen Begründung:
Denn es ist ja auch bspw. [mm] $(-1)^2=1\,,$ [/mm] obwohl $-1 [mm] \not=1$ [/mm] ist!)
Ansonsten wurde Dir ja schon im Wesentlichen gesagt, dass Du beachten
sollst:
[mm] $\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$
[/mm]
und wenn Du sowas wie
[mm] $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$
[/mm]
mit
[mm] $\frac{e}{f}$
[/mm]
vergleichen willst, ist es zumindest sinnvoll, erstmal
[mm] $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{db}$
[/mm]
zu schreiben (also die Summe zweier Brüche als einen Bruch zu schreiben).
Wenn dann
[mm] $\underbrace{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}_{=\frac{ad+bc}{bd}}=\frac{e}{f}$
[/mm]
behauptet wird, heißt das aber noch nicht, dass dies gleichwertig mit
[mm] $ad+bc=e\,$ [/mm] und [mm] $bd=f\,$
[/mm]
wäre; warum nicht? (Denke daran, dass man Brüche "erweitern" bzw. "kürzen"
kann).
Gruß,
Marcel
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