welche Abzähl-Form? < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Di 05.01.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | | Allen ein fröhliches 2010 |
Habe ich eine Menge mit Zahlen von 1-6, die ich zu kombinieren habe mit der selben Menge, dann ist die "Formel", um die Anzahl aller zu ermittelnden Paare dafür eine Potenz:
Basis ist die Anz. der Elemente der Menge, also 6.
Exponent ist 2, weil 2 Mengen, bzw. 2 Ziehungen oder meinetwegen auch Drehungen.
Sind [mm] 6^2 [/mm] Möglichkeiten insges.
Soweit so easy so klar.
Das Paar 4-4 taucht 1x auf, weil die 4 nicht von der 4 unterschieden wird, die beiden gleichen Zahlen werden nicht getauscht, weil 4-4 dasselbe ist wie 4-4.
(Anders: 4-4 u. 4-4, aber die 4 wird ja nicht unterschieden)
Meine Frage:
Wenn ich 2 Mengen miteinander zu kombinieren habe, die nicht identisch sind wie oben, sagen wir z.B.: Die Zahlen von 1-6 u. die Buchstaben A bis F,
dann ist die Kombination 1-A eine Möglichkeit u. die Umkehrung A-1 eine andere Möglichkeit.
Wie ist die Formel dafür?
Natürlich brauche ich die allg./grundsätzl. "Formel"
In diesem Fall wäre es [mm] 6^2+6.
[/mm]
Ist es immer Anz. der Elemente hoch die Ziehungen plus Anz. der Elemente?
Hoffe ich konnte mich verständlich ausdrücken.
Für Antw. vielen DANK
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Hallo Giraffe,
Schau mal, es gibt [mm] 6^{2} [/mm] Möglichkeiten, 1-6 mit A-F zu kombinieren:
1A
1B
...
1F
2A
2B
...
2F
...
6A
6B
...
6F
(= insgesamt 36 Möglichkeiten), weil wir ja die Reihenfolge nicht beachten!)
Wenn du die Reihenfolge beachtest, kannst du dir überlegen, dass es dann [mm] 2*6^{2} [/mm] Möglichkeiten gibt, weil du ja jedes Paar oben vertauschen kannst.
Bei 1-6 und 1-6 kombiniert gibt es bei Nichtbeachtung der Reihenfolge erstmal grundsätzlich genauso viele Möglichkeiten wie oben!:
11
12
...
16
21
22
...
26
usw.
Hier macht es aber keinen Sinn, sich für die Anzahl der Paare zu interessieren, wenn man die Reihenfolge beachtet, weil IMMER durch vertauschen der beiden Zahlen eine rauskommt, die auch schon vorher dabei war.
Wenn man hier also die Reihenfolge beachtet, bleiben es [mm] 6^{2} [/mm] Möglichkeiten.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Stefan,
es geht um alle möglichen Kombinationen der Elemente zweier Mengen miteinander.
Ich hatte einen Denkfehler, auf den du mich gebracht hast.
Nix da plus Anz. der Elemente f. Vertauschungen, wenn überhaupt muss man nicht nur gleiche tauschen, sondern alle Paare einmal vertauschen. Also [mm] 6^2 [/mm] *2.
Ich komme mit dieser Korrektur allerdings dann zu folgendem Schluss:
Bleiben wir konkret, ist wohl einfacher:
Es gibt [mm] 6^2 [/mm] Möglichkeiten, 1-6 mit 1-6 zu kombinieren.
Aber:
Es gibt [mm] 6^2 [/mm] *2 Möglichkeiten, 1-6 mit A-F zu kombinieren.
Begründung:
Die allererste Möglichkeit 1-1 ist dieselbe wie 1-1, also eine Mögl.keit.
Bei 1-F ist die Vertauschung F-1, also 2 verschied. Mögl.keiten (deswegen auch [mm] 6^2[b]*2[/b].
[/mm]
Vermutlich wird es noch deutlicher bei Zahlenkombinationen aus mehreren Mengen, z.B. 6321 u. alle ihre Platzvertauschungen, wie z.B. 3621 usw usw. usw. Das sind doch wohl mehrere Möglichkeiten!
Wenn du mir bis hierhin zustimmen würdest wäre ich schon mal froh.
Allerdings ändert sich diese eben beschriebene Berechnung (mein zweiter Denkfehler). Bislang hatte ich Drehungen (Glücksrad), Ziehungen (Urnen) usw. in einen Topf geschmissen. Doch leider muss man auch hier SCHON WIEDER unterscheiden.
Enthält das Glücksrad Zahlen 1-6 u. Buchstaben A-F (also zu kombinierende Elemente in gleicher Anzahl), dann [mm] 6^2*2. [/mm] Das Glücksrad kann zuerst bei Buchstaben stehen bleiben oder bei Zahlen ("oder = Vereinigungsmenge *2").
Anders bei 2 Urnen: In der einen nur die Buchstaben, in der anderen nur die Zahlen. Bei dem Glückrad kann man nicht vorgeben, was hier geht: 1.te Ziehung aus Buchstab.-Urne, 2.Ziehg. aus Zahlen. Damit nur die einfache Version [mm] 6^2 [/mm] fertig.
Und ich dachte bislang, dass sich Drehungen, Ziehungen, Würfe in einen Topf werfen lassen u. dass sie bei der Potenz dem Exponenten [mm] entsprechen(6^2).
[/mm]
Gibt es bei dem Thema Kombinatorik ein Überblick, ein Ende? Kann man alles verstehen, begreifen u. auch noch behalten? Oder muss ich das alles gar nicht wissen u. mache ich mir zuviel Gedanken?
Stelle nur fest, dass ich keine einzige Aufg. aus den Büchern rechnen kann, weil es immer wieder an der Anzahl der Möglkeiten hapert.
Kann jemand hier Ordnung reinbringen?
Oder muss ich jetzt schon anfangen, mich nur um geordnet, ungeordnet, mit u. ohne Zur.legen Gedanken machen – deckt das alles ab?
Ich vermute nicht.
Fragen über Fragen, aber wenn es euch nicht gäbe.....
Auf Antw. freut sich Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Do 07.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Sabine,
> Es gibt [mm]6^2[/mm] Möglichkeiten, 1-6 mit 1-6 zu
> kombinieren.
> Aber:
> Es gibt [mm]6^2[/mm] *2 Möglichkeiten, 1-6 mit A-F zu
> kombinieren.
> Begründung:
> Die allererste Möglichkeit 1-1 ist dieselbe wie 1-1, also
> eine Mögl.keit.
> Bei 1-F ist die Vertauschung F-1, also 2 verschied.
> Mögl.keiten (deswegen auch [mm]6^2[b]*2[/b].[/mm]
Soweit korrekt! Beachte nur genau, wofür diese Anzahlen gelten:
Im ersten Beispiel ist wichtig, dass zugelassen wird, dass zweimal die gleiche Zahl von 1 bis 6 auftritt (Wiederholungen zugelassen) und die Reihenfolge beachtet wird (z.B. wird zwischen 1 2 und 2 1 unterschieden). Beide Bedingungen sind bei vielen praktischen Beispielen mal erfüllt und mal verletzt. Dieses Beispiel ist typisch für viele Abzählprobleme!
Im zweiten Beispiel sind z.B. 1 A und A 1 zugelassen und werden als verschieden angesehen, dagegen ist z.B. 1 1 nicht zugelassen. Mir fällt kein einziges praktisches Beispiel ein, bei dem die hier beschriebene Anzahl gesucht wäre!
> Enthält das Glücksrad Zahlen 1-6 u. Buchstaben A-F (also
> zu kombinierende Elemente in gleicher Anzahl), dann [mm]6^2*2.[/mm]
> Das Glücksrad kann zuerst bei Buchstaben stehen bleiben
> oder bei Zahlen ("oder = Vereinigungsmenge *2").
Das Glücksrad kann auch beide Male bei Zahlen oder beide Male bei Buchstaben stehen bleiben! Also ist z.B. 1 1 zugelassen. Die gesuchte Anzahl ist also nicht einfach [mm]6^2*2[/mm]!
Zur richtigen Lösung dieses Zählproblems: Das Glücksrad hat 12 verschieden beschriftete Felder (dass manche mit Zahlen und manche mit Buchstaben beschriftet sind, spielt im Grunde genommen keine Rolle). Von diesen 12 zugelassenen Einzelwerten werden 2 genommen. Wiederholungen sind zugelassen. Nicht ganz klar geht für mich aus deiner Beschreibung hervor, ob die Reihenfolge beachtet werden soll, also, ob etwa zwischen einer 1 bei der ersten Drehung und einer 2 bei der zweiten Drehung auf der einen Seite und einer 2 bei der ersten Drehung und einer 1 bei der zweiten Drehung auf der anderen Seite unterschieden werden soll. Ich nehme das jetzt mal an. Damit liegt die Situation von obigem ersten Beispiel vor (nur mit 12 statt 6 möglichen Einzelwerten) und die gesuchte Anzahl berechnet sich zu...?
Genauso könnte man vorgehen, wenn anstatt der zweimaligen Drehung eines Glücksrades mit 12 Feldern (beschriftet mit 1 bis 6 und A bis F) aus zwei Urnen mit je 12 Kugeln (beschriftet mit 1 bis 6 und A bis F) jeweils eine zieht. Oder wenn man aus einer solchen Urne zweimal eine Kugel zieht, wobei man die erste Kugel vor der zweiten Ziehung wieder zurücklegt. (Überlege dir mal, warum das nicht mehr genauso geht, wenn man die erste Kugel nicht zurücklegt! Welche obige Bedingung wäre dann verletzt?)
> Anders bei 2 Urnen: In der einen nur die Buchstaben, in
> der anderen nur die Zahlen. Bei dem Glückrad kann man
> nicht vorgeben, was hier geht: 1.te Ziehung aus
> Buchstab.-Urne, 2.Ziehg. aus Zahlen. Damit nur die einfache
> Version [mm]6^2[/mm] fertig.
Genauso wie es für obige Glücksradsituation ein Analogon im Bereich der Kugel-Ziehungen gab, gibt es hier ein Analogon aus dem Reich der Glücksräder: Erst dreht man ein Glücksrad mit 6 Feldern, die mit A bis F beschriftet sind, dann dreht man ein Glücksrad mit ebenfalls 6 Feldern, die mit 1 bis 6 beschriftet sind.
> Allerdings ändert sich diese eben beschriebene Berechnung
> (mein zweiter Denkfehler). Bislang hatte ich Drehungen
> (Glücksrad), Ziehungen (Urnen) usw. in einen Topf
> geschmissen. Doch leider muss man auch hier SCHON WIEDER
> unterscheiden.
Wie ich an obigen Beispielen versucht habe, deutlich zu machen, musst du nicht in erster Linie zwischen der "Drehungs-Welt" und der "Ziehungs-Welt" unterscheiden, sondern zwischen den genauen Situationen "innerhalb einer dieser Welten". Wenn die Zusammenstellungen von mehreren Einzelwerten gesucht sind (also z.B. zwei Zahlen von 1 bis 6): Sind Wiederholungen möglich? Wird zwischen verschiedenen Reihenfolgen unterschieden?
> Stelle nur fest, dass ich keine einzige Aufg. aus den
> Büchern rechnen kann, weil es immer wieder an der Anzahl
> der Möglkeiten hapert.
> Kann jemand hier Ordnung reinbringen?
Ich glaube eine solche Frage sprengt den Rahmen, den dieses Forum leisten kann. Wir beantworten gerne Fragen, aber zumindest meine Kapazitäten übersteigt es, ein Thema grundlegend über das Forum zu vermitteln. Hier würde ich dir ggf. vorschlagen, persönliche Nachhilfe in Anspruch zu nehmen.
> Oder muss ich jetzt schon anfangen, mich nur um geordnet,
> ungeordnet, mit u. ohne Zur.legen Gedanken machen – deckt
> das alles ab?
Bei vielen, aber längst nicht bei allen Abzählaufgaben tauchen Zusammenstellungen mehrerer Einzelwerte auf, deren Anzahl dann gesucht ist. Hierbei kommt es entscheidend darauf an, ob zwischen verschiedenen Reihenfolgen der Einzelwerte unterschieden wird (ja heißt geordnet, nein bedeutet ungeordnet) und ob Wiederholungen von Einzelwerten zugelassen sind (im Falle des mehrfachen Ziehens aus einer Urne: mit Zurücklegen bedeutet Wiederholungen zugelassen, ohne Zurücklegen heißt keine Wiederholungen zugelassen).
War das halbwegs verständlich und hat etwas weitergeholfen? Über Nachfragen würde ich mich freuen!
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mi 13.01.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Tobias,
ganz vielen DANK für deine Mühe und deine Antw.
u. die darin professionell u. kompetenten Antworten.
Ob das weitergeholfen hat? Aber jaaaaa doch u. wie!!!
Über dein Angebot zum Schluss, weitere Nachfragen zu stellen, freue ich mich u. das nehme ich doch glatt auch an.
Aber zuvor möchte ich deine Fragen beantworten.
Frage 1:
Glücksrad hat 12 versch. beschriftete Felder,
(konkretere Bezeichnung, wie z.B. 6 verschiedene Zahlen (1-6) u. 6 vesrchiedene Buchstab. (A-F) ist dabei unwichtig; es können ja auch 12 versch. Farben oder Symbole oder sonstwas sein; hast recht!)
Es soll 2x gedreht werden.
>Wieviele Kombinationen sind insges. möglich?
Meine Antw.: [mm] 12^2= [/mm] 144
Richtig?
Analog sagst du, geht auch:
2 Urnen. In der einen 12 Irgendwas, in der anderen Urne die gleichen 12 Etwas. Man zieht aus jeder Urne jeweils eines.
Und auch analog ist:
Es geht auch 1 Urne mit 12 Verschiedenen Irgendwas u. es gilt 1x Ziehen, notieren u. Zürücklegen u. ein weiteres mal ziehen.
Frage: 2
>Überlege dir mal, warum das nicht mehr genauso geht,
>wenn man die erste Kugel nicht zurücklegt!
Diese Frage kann ich dir nur so beantw., wie es auf jeden Fall richtig ist, aber bestimmt nicht die mathemat. korrekte Antw. ist.
Trotzdem: Beim Glücksrad fällt ja auch keine Torte/Sektor mit Kreisbog. heraus, bevor ich erneut drehe. Es bleiben immer 12 Felder, auch bei Urne müssen es 12 bleiben u. das geht nur MIT Zur.legen (sonst hat sich Glücksrad nach 12 Drehungen ja aufgelöst - hahahaha)
Frage: 3
>Welche obige Bedingung wäre dann verletzt?
Die Frage kann ich nicht beantw.
Wenn ichs bisher richtig verstanden habe gibt es 2 Bedingungen, nämlich
Wiederholung u. Reihenfolge.
Ah oder doch? Wiederholung geht dann nicht mehr, wenn gezogenes Etwas draußen bleibt (oh. Zur.leg.) - ja?
verzögerter Nachtrag hierzu: Jepp, dass schreibst du selbst ganz zum Schluss im letzten Absatz.
Aber gut, DAS habe ich kapiert.
Eine Veständnisfrage zu deiner 3.Zeile, die da lautet:
.... die gleiche Zahl v. 1-6 auftritt (Wiederholungen zugelassen)
Meinst du:
11
22
33
44
55 und
66
Wenn das so richtig ist, dann ist klar, was mit Wiederholungen gemeint ist.
Was mir doch noch nicht klar ist, ist der Begriff "Reihenfolge". Deutsch ist zwar meine Muttersprache, aber .....vllt. kapiere ich es ja, wenn ich deine Antw. zum n-ten mal lese. Das ist im Ernst gar nicht so unwahrscheinlich. Ich schätze P = 7/10 oder sogar 8/10
Ich habe deine Antw. vor ca. 5 Tagen ausgedruckt (ich brauchs auf Papier zum Arbeiten). Nachträgliche Änderungen an deiner Antw. sind jetzt aber nicht dabei.
Du schreibst: "Wird zwischen verschiedenen Reihenfolgen unterschieden?"
Kannst du mir bitte 1 Beispiel für 2 versch. Reihenfolgen geben?
So, u. wenn ich bald selbst veschiedene Reihenfolgen aufstellen kann,
dann werde ich mit den Begriffen "geordnet" u. "ungeordnet" auch mehr anfangen können.
Heute ist Do u. ich kann erst wieder am Wochenende hier gucken.
Auf jeden Fall werde ich mit den neuen Erkenntnissen u. verbesserter Struktur dieser Problematik schon mal weiter machen u. auch weiterkommen, wenn auch nur im Schneckentempo.
DANKE
DANKE
DANKE
u. Gute Nacht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Do 14.01.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> Du schreibst: "Wird zwischen verschiedenen Reihenfolgen unterschieden?"
> Kannst du mir bitte 1 Beispiel für 2 versch. Reihenfolgen geben?
Wie viele Zahlen gibt es von 000 bis 999 ?
Die Antwort ist kinderleicht. Natürlich sind es tausend Zahlen.
Denn die Reihenfolge der Ziffern spielt eine Rolle: 472 ist nicht dasselbe wie 724
Würde die Reihenfolge der Ziffern dagegen keine Rolle spielen, dann wäre die obige Frage schon schwieriger zu beantworten, denn 247, 274, 427, 472, 724 und 742 wären alles ein und dasselbe und dürften nur ein einziges Mal gezählt werden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 So 17.01.2010 | | Autor: | Giraffe |
na, die Frage hat sich ja gelohnt zu stellen.
DANKE, das ist jetzt klar, glasklar.
War ja auch nicht schwer, deine Antw. zu verstehen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Sabine,
> Frage 1:
> Glücksrad hat 12 versch. beschriftete Felder,
> (konkretere Bezeichnung, wie z.B. 6 verschiedene Zahlen
> (1-6) u. 6 vesrchiedene Buchstab. (A-F) ist dabei
> unwichtig; es können ja auch 12 versch. Farben oder
> Symbole oder sonstwas sein; hast recht!)
> Es soll 2x gedreht werden.
> >Wieviele Kombinationen sind insges. möglich?
> Meine Antw.: [mm]12^2=[/mm] 144
> Richtig?
Ja, genau!
> Analog sagst du, geht auch:
> 2 Urnen. In der einen 12 Irgendwas, in der anderen Urne
> die gleichen 12 Etwas. Man zieht aus jeder Urne jeweils
> eines.
> Und auch analog ist:
> Es geht auch 1 Urne mit 12 Verschiedenen Irgendwas u. es
> gilt 1x Ziehen, notieren u. Zürücklegen u. ein weiteres
> mal ziehen.
Genau so war das gemeint!
> Frage: 2
> >Überlege dir mal, warum das nicht mehr genauso geht,
> >wenn man die erste Kugel nicht zurücklegt!
> Diese Frage kann ich dir nur so beantw., wie es auf jeden
> Fall richtig ist, aber bestimmt nicht die mathemat.
> korrekte Antw. ist.
> Trotzdem: Beim Glücksrad fällt ja auch keine
> Torte/Sektor mit Kreisbog. heraus, bevor ich erneut drehe.
> Es bleiben immer 12 Felder, auch bei Urne müssen es 12
> bleiben u. das geht nur MIT Zur.legen (sonst hat sich
> Glücksrad nach 12 Drehungen ja aufgelöst - hahahaha)
Deine Analogien sind treffend und vermitteln den Eindruck, dass du das Prinzip verstanden hast!
> Frage: 3
> >Welche obige Bedingung wäre dann verletzt?
> Die Frage kann ich nicht beantw.
Doch, kannst du anscheinend:
> Wenn ichs bisher richtig verstanden habe gibt es 2
> Bedingungen, nämlich
> Wiederholung u. Reihenfolge.
> Ah oder doch? Wiederholung geht dann nicht mehr, wenn
> gezogenes Etwas draußen bleibt (oh. Zur.leg.) - ja?
> verzögerter Nachtrag hierzu: Jepp, dass schreibst du
> selbst ganz zum Schluss im letzten Absatz.
> Aber gut, DAS habe ich kapiert.
Super! Genau diese zwei Bedingungen solltest du checken, wenn überhaupt folgende Standard-Grundsituation vorliegt (wenn du so willst, ist das Vorliegen dieser Grundsituation eine weitere Bedingung), die, wie ich im ersten Post schrieb, in vielen, aber nicht allen Kombinatorik-Aufgaben erfüllt ist:
Wir haben $n$ gewisse mögliche Einzelwerte (z.B. die Zahlen von 1 bis 6 ($n=6$) oder die Buchstaben von A bis E ($n=5$) oder 7 gewisse Symbole ($n=7$)) und fragen nun nach der Anzahl der Zusammenstellungen von einer gewissen Anzahl $k$ dieser Einzelwerte (z.B. 2 Zahlen von 1 bis 6 ($k=2$), 10 Buchstaben von A bis E ($k=10$)).
Ist diese Grundsituation gegeben, gibt es auch für den Fall, dass nicht die Bedingungen "mit Wiederholungen" und "mit Beachtung der Reihenfolge" erfüllt sind, Formeln (Vielleicht kennst du sie? Ansonsten brauchst du sie vielleicht gar nicht und kannst du sie einfach ignorieren.):
[mm] $\begin{matrix}
&\mbox{mit Wiederholungen}&\mbox{ohne Wiederholungen }(k\le n)\\
\mbox{mit Beachtung der Reihenfolge}&n^k&n\cdot (n-1)\cdot\ldots\cdot (n-k+1)\\
\mbox{ohne Beachtung der Reihenfolge}&\vektor{n+k-1\\k}=\bruch{(n+k-1)\cdot\(n+k-2)\cdot\ldots\cdot n}{k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot 1}&\vektor{n\\k}=\bruch{n\cdot (n-1)\cdot\ldots\cdot (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdot\ldots\cdot 1}
\end{matrix}$
[/mm]
> Eine Veständnisfrage zu deiner 3.Zeile, die da lautet:
> .... die gleiche Zahl v. 1-6 auftritt (Wiederholungen
> zugelassen)
> Meinst du:
> 11
> 22
> 33
> 44
> 55 und
> 66
Gemeint war in der Tat, dass auch diese sechs Möglichkeiten auftreten können.
> Was mir doch noch nicht klar ist, ist der Begriff
> "Reihenfolge".
> Du schreibst: "Wird zwischen verschiedenen Reihenfolgen
> unterschieden?"
> Kannst du mir bitte 1 Beispiel für 2 versch. Reihenfolgen
> geben?
In Ergänzung zu Ralphs Post ein "praktisches" Beispiel, in dem nicht zwischen verschiedenen Reihenfolgen unterschieden wird:
Bei einem Gewinnspiel gibt es drei mal den gleichen Preis zu gewinnen. Aus den 583 Teilnehmern werden die drei Gewinner ausgelost. Kein Teilnehmer kann dabei mehrfach gewinnen. Wie viele Gewinner-Konstellationen sind denkbar?
Hier gibt es $n=583$ mögliche Einzelwerte (nämlich die 583 Teilnehmer) und gefragt ist nach der Anzahl der Zusammenstellungen von $k=3$ dieser möglichen Einzelwerte. (Die Standard-Grundsituation ist also gegeben.) Wiederholungen sind nicht zugelassen (z.B. Anton Müller, Berta Meier, Anton Müller kann nicht auftreten), da kein Teilnehmer mehrfach gewinnen kann. Es wird keine Reihenfolge beachtet (z.B. Anton Müller, Berta Meier, Constantin Schmidt würden wir als gleich zu Constantin Schmidt, Berta Meier, Anton Müller ansehen, da ja die gleichen drei Teilnehmer gewonnen hätten). Obige Tabelle liefert, dass die gesuchte Anzahl [mm] $\vektor{583\\3}=\bruch{583\cdot 582\cdot 581}{3\cdot 2\cdot 1}=32856131$ [/mm] ist.
Vielleicht kommst du ja jetzt etwas besser mit den Aufgaben klar, die du lernen möchtest! (Oder aber, ich lag komplett daneben und die vier Formeln tauchen in deiner Stoffsammlung gar nicht auf. In diesem Fall brauchst du dich an meinem Beispiel gar nicht lange aufzuhalten.)
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Tobias,
nur eine Frage jetzt zu deiner erneuten Antw.
Du schreibst:
"Wir haben n gewisse mögliche Einzelwerte
z.B. die Zahlen von 1 bis 6 (n=6) oder
die Buchstaben von A bis E (n=5) oder
7 gewisse Symbole (n=7)
u. fragen nun nach der Anzahl der Zusammenstellungen von einer gewissen Anzahl dieser Einzelwerte (z.B. 2 Zahlen von 1 bis 6 (), 10 Buchstaben von A bis E ())."
Ich verstehe den Anfang so:
Analog zur Mengenlehre meinst du mit "Einzelwert" "Element".
z.B. n=6 oder n=5 oder n=7
n gibt die Anz. der Elemente an.
Das habe ich glaube richtig verstanden.
Was ich nicth verstanden habe:
"....... u. fragen nun nach der Anzahl der Zusammenstellungen von einer gewissen Anzahl dieser Einzelwerte"
Vielleicht noch den Anfang
....... u. fragen nun nach den Kombinationen von....???
Sorry, aber dann Bhf.
Wonach ist gefragt?
Kannst du diesen zweiten Teil bitte bitte nochmal nur einfach anders formulieren?
Vielen DANK u. bis die Tage/den Tag
LG
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Mi 20.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Drei Ideen habe ich, wie ich das erläutern könnte:
1. indem ich meine Formulierungen in die Sprache deines Schulbuches übersetze
2. indem ich formale Definitionen im Sinne der Mengenlehre gebe
3. an Beispielen
Für 1. müsste ich genauer wissen, welche Begriffe in deinem Schulbuch verwendet werden und wie sie dort erklärt sind (leider werden Begriffe wie "Kombination" sehr uneinheitlich verwendet...).
Für 2. kenne ich deinen Background in Sachen Mengenlehre nicht. Außerdem wäre das aus meiner Sicht sehr weit weg von der Schulmathematik (obwohl anscheinend merkwürdigerweise in deinem Schulbuch Begriffe wie "karthesisches Produkt" verwendet werden).
Nur soviel: Wir könnten die von mir beschriebene Standard-Situation auch folgendermaßen formulieren: Wir haben eine n-elementige Menge gegeben und fragen nach der Anzahl der "Zusammenstellungen" von k Elementen der n-elementigen Menge (n und k sind feste natürliche Zahlen). Der Begriff "Zusammenstellung" ist dabei durchaus schwammig und seine Interpretation hängt davon ab, ob wir Zusammenstellungen mit oder ohne Wiederholungen und unter Beachtung oder Nichtbeachtung einer Reihenfolge betrachten.
Ich glaube, am besten verstehen kann man die Standard-Situation an Beispielen:
a) Es wird ein Würfel zweimal nacheinander geworfen. Wie viele Augenzahlenpaare können auftreten?
Hier sollten wir die n=6-elementige Menge der Zahlen von 1 bis 6 betrachten. Gefragt ist nach der Anzahl der "Zusammenstellungen" von k=2 Elementen dieser Menge. Beispiele für solche "Zusammenstellungen" wären 4 6 oder 3 3.
b) Das von mir schon gegebene Beispiel mit den 3 Gewinnern bei 583 Gewinnspielteilnehmern.
Hier ist es sinnvoll, die n=583-elementige Menge der Gewinnspielteilnehmer zu betrachten. Gefragt ist nach der Anzahl der "Zusammenstellungen" von k=3 Elementen dieser Menge. Ein Beispiel für eine solche "Zusammenstellung" wäre "Anton Müller, Berta Meier, Carlo Schmidt".
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 So 24.01.2010 | | Autor: | Giraffe |
Guten Abend Tobias,
ich bin im Schulbuch ETWAS weiter gekommen u. die 4 Formeln muss ich nun doch ZUNÄCHST ersteinmal zurückstellen (wegen Zeitdruck). Trotzdem habe ich mir die Ausdrucke nochmal mehrfach wieder angeschaut.
Und so wie ich den Begriff "Einzelwert" verstanden hatte, nämlich als Element, da bin ich mir jetzt gar nicht mehr so sicher. Jetzt denke ich, dass es ein Ereignis/Ergebnis eines Zufallsexperimentes ganz rechts am Ende eines Pfades (Baumdiagramm) ist. Vielleicht ist es trotzdem dasselbe - keine Ahnung- habe einen dicken Kopf, der mächtig dampft.
Die Begriffe Reihenfolge u. Wiederholg. sind scheinbar auch klar u. dass sie eine Tabelle mit 4 Formel ergeben nur logisch.
Nun weiß ich nicht, ob ich spinne, oder ob irgendjemand geschrieben hatte, dass es auch Aufg. gibt, bei denen manchmal 2 dieser 4 Formeln, das gleiche Ergebnis bringen. Das scheint mir allerdings nicht logisch. Hat das jemand gesagt oder vertütel ich da was?
Dann war da dies Bsp.:
Wieviele Zahlen von 000 bis 999 gibt es?
Antw. 1000.
Die Frage lautete nicht:
Wieviele Zahlen von 0 bis 999 gibt es? (aber die Antw. 1000 wäre dieselbe).
Aber nun habe ich mir folgendes vorgestellt:
_ _ _ sind 3 Plätze.
Wieviele verschiedene Platzbelegungen gibt es, wenn jeder
dieser 3 Plätze mit den Zahlen 0, 1, 2, ...........8,9
beliebig belegt werden kann.
Bedingungen: Wiederholungen erlaubt (z.B. 222) u. Reihenfolge
ist wichtig, d.h. Tripel sollen geordnet sein (z.B. 122 u. 212 zählen als verschied. Mögl.keiten)
Mit dieser Frage müßten es doch ebenfalls 1000 sein oder?
000, 001, 002, 003, ........010, 011, 012, .......usw.
Sind doch neunhundertneunundneunzig plus die erste Null = 1000
oder?
Oh nee - ich sah den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Denn die Situation entspricht 3 identischen Glücksrädern, die jeweils mit den Zahlen 0, 1, 2, .......8, 9 belegt sind u. ich darf 3x drehen. Dann [mm] n^k
[/mm]
[mm] 10^3 [/mm] = 1000
Das ist jedenfalls die leichtestes Formel von den 4en.
Zu mehr habe ich es leider noch nicht geschafft. Also, wahrscheinl. habe ich gar nichts geschafft, so scheint es mir zumindest. Es sind einfach zuviele Baustellen, an denen ich arbeite.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Di 26.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Sabine,
> Und so wie ich den Begriff "Einzelwert" verstanden hatte,
> nämlich als Element, da bin ich mir jetzt gar nicht mehr
> so sicher. Jetzt denke ich, dass es ein Ereignis/Ergebnis
> eines Zufallsexperimentes ganz rechts am Ende eines Pfades
> (Baumdiagramm) ist.
Zunächst einmal sind kombinatorische Fragen (also Fragen nach gewissen Anzahlen) und Zufallsexperimente völlig verschiedene Dinge! Der einzige mir bekannte Zusammenhang ist der, dass man bei Laplace-Zufallsexperimenten (das sind solche, bei denen alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind) häufig zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten Anzahlen zählen muss.
> Nun weiß ich nicht, ob ich spinne, oder ob irgendjemand
> geschrieben hatte, dass es auch Aufg. gibt, bei denen
> manchmal 2 dieser 4 Formeln, das gleiche Ergebnis bringen.
Derartige Überlegungen sind mir nicht bekannt. Außer in Spezialfällen führen jedenfalls alle vier Formeln zu verschiedenen Ergebnissen.
> Dann war da dies Bsp.:
> Wieviele Zahlen von 000 bis 999 gibt es?
> Antw. 1000.
> Die Frage lautete nicht:
> Wieviele Zahlen von 0 bis 999 gibt es? (aber die Antw.
> 1000 wäre dieselbe).
Hier scheinst du dich vertippt zu haben, das wäre ja nochmal haargenau die gleiche Frage.
> Aber nun habe ich mir folgendes vorgestellt:
> _ _ _ sind 3 Plätze.
> Wieviele verschiedene Platzbelegungen gibt es, wenn jeder
> dieser 3 Plätze mit den Zahlen 0, 1, 2, ...........8,9
> beliebig belegt werden kann.
> Bedingungen: Wiederholungen erlaubt (z.B. 222) u.
> Reihenfolge
> ist wichtig, d.h. Tripel sollen geordnet sein (z.B. 122 u.
> 212 zählen als verschied. Mögl.keiten)
Du scheinst in der Tat die Bedingungen "mit/ohne Wiederholungen" und "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" verstanden zu haben!
> Mit dieser Frage müßten es doch ebenfalls 1000 sein
> oder?
Ja, ich würde sogar sagen, im Grunde genommen handelt es sich um die gleiche Frage.
> 000, 001, 002, 003, ........010, 011, 012, .......usw.
> Sind doch neunhundertneunundneunzig plus die erste Null =
> 1000
> oder?
Ja. Oder mit der ersten der vier kombinatorischen Grundformeln: Wir betrachten die n=10-elementigen Menge der Ziffern von 0 bis 9 und fragen nach Zusammenstellungen von k=3 Elementen dieser Menge, wobei Wiederholungen zugelassen sind und die Reihenfolge beachtet wird. Also lautet die gesuchte Anzahl [mm] $n^k=10^3=1000$.
[/mm]
> Denn die Situation entspricht 3 identischen
> Glücksrädern, die jeweils mit den Zahlen 0, 1, 2,
> .......8, 9 belegt sind u. ich darf 3x drehen. Dann [mm]n^k[/mm]
> [mm]10^3[/mm] = 1000
Ach, jetzt sehe ich, da bist du ja schon selbst drauf gekommen!
Viele Grüße und weiterhin viel Erfolg bei deinen Bemühungen!
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Di 26.01.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Da ist eine Urne mit 12 Zahlen:
1,2,3,4,5,6, 1,2,3,4,5,6,
Es soll 2x gezogen werden u. zwar OHNE Zurücklegen.
Bei 2-Ziehungen wieviele Zahlenpaare sind möglich?
(wobei: Wiederholungen (z.B. 11) zählen auch. Und z.B. 12[mm]\ne [/mm]21 zählen als 2 versch. Paare). |
Ich bin dabei diesen ges. Post nochmal durchzuarbeiten, weil ich vermute, dass hier ein Großteil der Grundlagen drin steckt.
Beim erneuten Durcharbeiten stockt es nun schon am Anfang. Grrrrr
Dabei bin ich doch erst bei der leichtesten Formel [mm] n^k.
[/mm]
Zur Aufg. oben:
Es sind doch 12 Zahlen, also 12 Elemente, d.h. n=12 und k=2
(Wiederholg. erlaubt u. Reihenfolge auch beachten, demnach muss es [mm] n^k [/mm] sein!!!
Ist es aber nicht!!!
???????
Warum nicht?
Es dürften nur 36 verschiedene Zahlenpaare sein u. nicht [mm] 12^2.
[/mm]
Ich vermute, dass es damit zu tun hat, dass die Zahlen doppelt auftauchen. Muss ich die Tabelle mit den 4 Formeln bei der Definition von n ergänzen mit: "Wobei jedes Element nur 1x vorkommen darf."
Kann das jmd. klären?
Wäre schön! Sehr schön.
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 26.01.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
klar, es sind 12 Elemente,
und zwar ein Doppelset der Zahlen von $1\ bis\ 6$!
Eine 2-Ziehung bringt ein Zahlenpaar mit Zahlen von 1 bis 6 heraus.
Klingelts?
Wieviel mögliche Ergebnisse gibt es beim doppelten Würfelwurf?
Schönen Gruß
Karsten
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mi 27.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Falls Karstens Antwort nicht schon ausreichend war, hier nochmal ausführlicher:
> Zur Aufg. oben:
> Es sind doch 12 Zahlen, also 12 Elemente, d.h. n=12 und
> k=2
Nein. Gesucht ist die Anzahl der Zusammenstellungen von k=2 Zahlen aus der n=6-elementigen Menge der Zahlen von 1 bis 6, nicht aus der 12-elementigen Menge aller Kugeln. Schließlich wird beim Ziehungsergebnis ja nur notiert, welche Zahlen gezogen wurden, und nicht, mit welchen beiden Kugeln dies genau geschah.
> Ich vermute, dass es damit zu tun hat, dass die Zahlen
> doppelt auftauchen. Muss ich die Tabelle mit den 4 Formeln
> bei der Definition von n ergänzen mit: "Wobei jedes
> Element nur 1x vorkommen darf."
Eine n-elementige Menge enthält stets n VERSCHIEDENE Elemente. Das muss nicht extra erwähnt werden.
Übrigens ist diese Aufgabe sehr trickreich: Obwohl die erste gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird, können beim zweiten Zug wieder alle 6 Zahlen auftreten (da die 6 Zahlen ja doppelt in der Urne vertreten sind). Würde man aus der gleichen Urne mit den 12 Kugeln dagegen 3 mal ohne Zurücklegen ziehen, wäre, wenn bei den ersten beiden Zügen die gleiche Zahl gezogen wird, diese beim dritten Zug nicht mehr möglich. Es wäre keine der vier kombinatorischen Grundformeln direkt anwendbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 So 31.01.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Sabine,
> n über k – Ist k immer die Anz. der Faktoren
> innerhalb der Formeln?
So wie ich n über k ausgeschrieben habe in der Tat!
Für Berechnungen mit dem TR gibt es übrigens häufig
eine eigene Taste zur Berechng v. n über k:
Häufig ist sie mit nCr beschriftet.
Viele Grüße
Tobias
Lieber Tobias,
vielen herzlichen DANK für ALLE Antw., Ausführungen u.
hilfreichen Infos. Jetzt wo der Zeitdruck weg ist kann ich etw. gemütlicher weitermachen. Und so abschreckend diese 4 Formeln am Anfang waren - mittlerweile sind sie mir sogar ganz sympathisch geworden. Ja, echt.
Bis demnächst irgendwann (vllt in 1-2 Wochen),
Gruß Sabine
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