wellengleichung mit fourier ? < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 20.01.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | Bestimme u(x,t) [mm] (0
so dass [mm] u_{t}(x,t)-u_{xx}(x,t)=f(x,t)
[/mm]
Gegeben: [mm] f(x,t)=\summe_{k=-N}^{N}f_{k}(t)e^{ikx}
[/mm]
und u(x,0)= [mm] \summe_{i=-N}^{N}u_{0k}e^{ikx}
[/mm]
wobei [mm] f_{k} [/mm] stetige Funktionen nach [mm] \IC [/mm] sind und [mm] u_{0k} [/mm] komplexe Zahlen.
vorgegebener Ansatz: [mm] u(x,t)=\summe_{k=-N}^{N}u_{k}(t)e^{ikx}
[/mm]
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Ich hab versucht die oberste Gleichung zu integrieren, aber das hilft mir nicht, partielle DGLs lösen kann ich noch nicht und diese Aufgabe muss demnach anders zu lösen sein. Hat das etwas mit Fouriertransformation zu tun? Wie geh ich am besten vor?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 So 20.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Bin mittlerweile immer noch nicht weitergekommen, weiß irgendjemand nen Ansatz oder ne grobe Richtung? Bin am verzweifeln.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 So 20.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimme u(x,t) [mm](0
>
> Gegeben: [mm]f(x,t)=\summe_{k=-N}^{N}f_{k}(t)e^{ikx}[/mm]
> und u(x,0)= [mm]\summe_{i=-N}^{N}u_{0k}e^{ikx}[/mm]
>
> wobei [mm]f_{k}[/mm] stetige Funktionen nach [mm]\IC[/mm] sind und [mm]u_{0k}[/mm]
> komplexe Zahlen.
>
> vorgegebener Ansatz:
> [mm]u(x,t)=\summe_{k=-N}^{N}u_{k}(t)e^{ikx}[/mm]
>
> Ich hab versucht die oberste Gleichung zu integrieren, aber
> das hilft mir nicht, partielle DGLs lösen kann ich noch
> nicht und diese Aufgabe muss demnach anders zu lösen sein.
> Hat das etwas mit Fouriertransformation zu tun? Wie geh ich
> am besten vor?
Du hast doch einen Ansatz für u(x,t) vorgegeben. Hast du schon probiert, den Ansatz in die DGL einzusetzen? Dann setzt du noch f(x,t) ein und vergleichst die Koeffizienten der Exponentialfunktionen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 So 20.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Ja das habe ich probiert, aber wie kann ich die Koeffizienten vergleichen, es ist doch nicht eindeutig welche zueinander gehören? Und was mache ich mit der Anfangsbedingung? Die muss irgendwie nützlich sein.....
:-(
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Hallo!
Was in allen Summen vorkommt, ist die Exponenzialfunktion. Davor steht dann ein Faktor [mm] u_k [/mm] oder [mm] f_k [/mm] . Demnach gehören alle die Terme zusammen, die den gleichen Exponenten in der e-Funktion haben. Versuch das mal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 So 20.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Ok, ich bin jetzt bis zu folgendem gekommen:
[mm] u_{k}(t)= \bruch{u_{k}'(t)-f_{k}(t)}{-k²}
[/mm]
Und habe ausserdem noch die Anfangsbedingung [mm] u_{0k} [/mm] gegeben, weiß jemand, wie ich nun damit [mm] u_{k}'(t) [/mm] berechne(weil dann hätte ich ja die [mm] u_{k}(t) [/mm] bestimmt, oder?) ?
Oder muss man da etwas anders tun?
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Hallo!
Das sieht schonmal gut so aus, wenngleich ich es nicht nachgerechnet habe.
Du hast jetzt eine Differenzialgleichung in u, die du lösen mußt. Leider kann ich dir da grade nicht helfen.
Die Lösung für [mm] u_k(t) [/mm] enthält sicher k und f(t) als Parameter, es kommt aber sicher durch das Lösen noch ein weiterer Parameter hinzu. Diesen mußt du im Anschluß so bestimmen, daß [mm] u_k(0)=k_{0k} [/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Danke euch erstmal.
Gibt es keine andere Möglichkeit dies zu lösen als durch das Lösen der DGL?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Mo 21.01.2008 | | Autor: | leduart |
hallo
Da du die DGL
[mm] u_k'+k^2*u_k=f_k [/mm] hast
musst du sie wohl lösen
1. die homogene [mm] u_k'+k^2*u_k=0 [/mm] da sieht man die Lösung eigentlich direkt. dann durch variation der Konstanten die inhomogene.
da die f stetig und damit integrierbar sind geht das auch leicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Danke vielmals. Bin beim Lösen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:00 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zorba |
So, ich bin jetzt fertig (hoffe ich).
Habe eine Bitte: Könnt ihr meine Rechnung überprüfen?
Hier ist sie:
Lösung der homogenen DGL [mm] u_{k}'(t)=-k²u_{k}(t)
[/mm]
ist [mm] u_{k,hom}(t)=e^{-k²t}
[/mm]
partikuläre Lösung der inhomogenen DGL ist also
[mm] u_{k,part}(t)=e^{-k²t}\integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx}
[/mm]
Damit ist die allgemeine Lösung
[mm] u_{k}(t)=Ce^{-k²t} [/mm] + [mm] e^{-k²t}\integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx}
[/mm]
und mit [mm] u_{k}(0) [/mm] = C + [mm] \integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx}
[/mm]
ist C = [mm] u_{k}(0) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx}
[/mm]
Schließlich ist die allgemeine Lösung:
[mm] u_{k}(t)=(u_{k}(0) [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx})e^{-k²t} [/mm] + [mm] e^{-k²t}\integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx}
[/mm]
= [mm] u_{k}(0)e^{-k²t}
[/mm]
Stimmt das? Bin dankbar für jede Meinung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Es interessiert mich vor allem, ob die Grenzen der Integrale richtig sind!
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mo 21.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> So, ich bin jetzt fertig (hoffe ich).
> Habe eine Bitte: Könnt ihr meine Rechnung überprüfen?
> Hier ist sie:
>
> Lösung der homogenen DGL [mm]u_{k}'(t)=-k²u_{k}(t)[/mm]
> ist [mm]u_{k,hom}(t)=e^{-k²t}[/mm]
Richtig
> partikuläre Lösung der inhomogenen DGL ist also
> [mm]u_{k,part}(t)=e^{-k²t}\integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx}[/mm]
>
> Damit ist die allgemeine Lösung
> [mm]u_{k}(t)=Ce^{-k²t}[/mm] +
> [mm]e^{-k²t}\integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx}[/mm]
Richtig
> und mit [mm]u_{k}(0)[/mm] = C + [mm]\integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx}[/mm]
>
> ist C = [mm]u_{k}(0)[/mm] - [mm]\integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx}[/mm]
hier ist ein Fehler, t=0 muss auch in die Grenzen des Integrals, womit es 0 wird!
dann wird dein Endergebnis einfacher.
Gruss leduart
> Schließlich ist die allgemeine Lösung:
> [mm]u_{k}(t)=(u_{k}(0)[/mm] - [mm]\integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx})e^{-k²t}[/mm]
> + [mm]e^{-k²t}\integral_{0}^{t}{f_{k}(x)e^{k²x} dx}[/mm]
> =
> [mm]u_{k}(0)e^{-k²t}[/mm]
>
>
> Stimmt das? Bin dankbar für jede Meinung
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Tausend Dank!!!!
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