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hallo,
ich habe die funktion [mm] f(x)=\wurzel{3x+2}-x
[/mm]
ich soll definitionsbereich und wertebereich bestimmen!
der definitionsbereich [mm] ]-3/2;+\infty[
[/mm]
Für den Werteberich brauch ich den hoch und tiefpunkt der funktion.
Kann man den Wertebereich auch ohne ableitung und Extrempunkte oder durch einsetzen in die funktion rechnerisch bestimmen??
bitte um rückschrift!
danke!
lg
martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Mo 12.01.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> hallo,
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> ich habe die funktion [mm]f(x)=\wurzel{3x+2}-x[/mm]
> ich soll definitionsbereich und wertebereich bestimmen!
>
>
> der definitionsbereich [mm]]-3/2;+\infty[[/mm]
Du hast bei der Untergrenze Zähler und Nenner vertauscht.
Gefodert ist, dass
[mm] 3x+2\ge0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow3x\ge-2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\ge-\frac{2}{3}
[/mm]
>
> Für den Werteberich brauch ich den hoch und tiefpunkt der
> funktion.
Das ist eine Möglichkeit.
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> Kann man den Wertebereich auch ohne ableitung und
> Extrempunkte oder durch einsetzen in die funktion
> rechnerisch bestimmen??
Mit ein bisschen "Umbauen" bei der Funktionsgleichung ja.
Hier also:
[mm] f(x)=\sqrt{3x+2}-x
[/mm]
[mm] =\sqrt{x^{2}\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right)}-x
[/mm]
[mm] =x\cdot\sqrt{\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}}-x
[/mm]
[mm] =x\cdot\left(\sqrt{\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}}-1\right)
[/mm]
Nun solltest du erkennen, dass
[mm] \lim\limits_{x\to\infty}x\cdot\left(\sqrt{\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}}}-1\right)=-\infty
[/mm]
Damit ist der Wertebereich nach unten nicht beschränkt.
Für die genaue Bestimmung des Hochpunkts musst du in der Tat aber die Ableitung bestimmen, diese Funktion als "Mischform" von einem Wurzelteil und einer linearen Funktion ist anders nicht handhabbar.
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> bitte um rückschrift!
>
> danke!
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> lg
> martin
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Marius
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