wie heißt trigonometr. Fkt. < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Zeichne u. gebe die Fkt.-Gleichg. an
a- Graph geht durch (0/0)
b- y-Werte zwischen 0 und 4
c- erst pos. Nullstelle bei 2*π
Es kommen nur trigonometr. Fkt. in Frage |
Guten Abend Allerseits,
ich habe schon wieder so eine Aufg. zu lösen u. eine menge Fragen:
1. Frage
Was ist eine pos. was eine neg. Nullstelle, ?
Ist es so simpel wie
neg. NS -3
pos. NS +3
Was ich rausziehe aus
a- Graph geht durch (0/0)
b- y-Werte zwischen 0 und 4
c- erst pos. Nullstelle bei 2*π
b-
- Kurve ist nur im 1. u. 2. Quadranten
- Tiefpunkte berühren immer die x-Achse (dopp.Nullst.)
- Hochpunkte sind immer bei y=4
- Wenn Ausschläge bis 0 u. bis 4, dann muss doch die Mittelachse der
Kurve bei 2 sein. Dann a=2?
a-
(0/0) muss Tiefpunkt (dopp. Nullst.) sein
c-
erst pos. Nullstelle bei 2*π
3. Frage
D.h. Nullstellen-Abstände sind immer 2*π? Ja?
4. Frage
Der Koeffizient b der allg. Form gibt die Anzahl der Extrema an. Aber bezogen auf was? Immer bezogen auf 360°?
Wenn ja, dann muss b=1 sein? Ja?
Und weiter weiß ich nicht.
Wenn ich mit meinem Überlegungen allerdings richtig liege, dann hätte ich schon mal
a=2
b=1
5. Frage
Ich glaube ich habe noch ein c, was nicht 0 ist u.
auch noch d, was auch enen Wert hat u. nicht 0 ist.
Begründen kann ich das nicht, ahne nur, dass es was zu tun hat mit
y-Werte zwischen 0 und 4.
Darf ich es mir einfach machen u. sagen
d=4?
Wäre wirklich nett, wenn jmd. zu allen Fragen was sagen kann.
Im voraus schon mal DANKE
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> Zeichne u. gebe die Fkt.-Gleichg. an
>
> a- Graph geht durch (0/0)
> b- y-Werte zwischen 0 und 4
> c- erst pos. Nullstelle bei 2*π
>
> Es kommen nur trigonometr. Fkt. in Frage
> Guten Abend Allerseits,
Hallo,
> ich habe schon wieder so eine Aufg. zu lösen u. eine
> menge Fragen:
>
> 1. Frage
> Was ist eine pos. was eine neg. Nullstelle, ?
> Ist es so simpel wie
> neg. NS -3
> pos. NS +3
Ja genau. [mm] x_0 [/mm] ist positive Nullstelle, falls [mm] $f(x_0)=0$ [/mm] und [mm] $x_0>0$.
[/mm]
>
> Was ich rausziehe aus
> a- Graph geht durch (0/0)
> b- y-Werte zwischen 0 und 4
> c- erst pos. Nullstelle bei 2*π
> b-
> - Kurve ist nur im 1. u. 2. Quadranten
> - Tiefpunkte berühren immer die x-Achse (dopp.Nullst.)
> - Hochpunkte sind immer bei y=4
> - Wenn Ausschläge bis 0 u. bis 4, dann muss doch die
> Mittelachse der
> Kurve bei 2 sein. Dann a=2?
>
> a-
> (0/0) muss Tiefpunkt (dopp. Nullst.) sein
>
> c-
> erst pos. Nullstelle bei 2*π
Das hört sich bis hierher alles sehr gut an!
>
> 3. Frage
> D.h. Nullstellen-Abstände sind immer 2*π? Ja?
Es lässt sich bestimmt eine Funktion konstruieren, die alle Bedingungen erfüllt und nicht so schön regelmäßig ist, wie eine reine Sinus- oder Kosinusschwingung.
Aber in deinem Fall sollten wohl alle Nullstellen einen Abstand von [mm] 2\pi [/mm] haben.
>
> 4. Frage
> Der Koeffizient b der allg. Form gibt die Anzahl der
> Extrema an. Aber bezogen auf was? Immer bezogen auf 360°?
> Wenn ja, dann muss b=1 sein? Ja?
>
Dazu solltest du uns nun erstmal verraten, mit welcher allgemeinen Form du arbeitest....
> Und weiter weiß ich nicht.
> Wenn ich mit meinem Überlegungen allerdings richtig
> liege, dann hätte ich schon mal
> a=2
> b=1
>
> 5. Frage
> Ich glaube ich habe noch ein c, was nicht 0 ist u.
> auch noch d, was auch enen Wert hat u. nicht 0 ist.
> Begründen kann ich das nicht, ahne nur, dass es was zu
> tun hat mit
> y-Werte zwischen 0 und 4.
> Darf ich es mir einfach machen u. sagen
> d=4?
>
> Wäre wirklich nett, wenn jmd. zu allen Fragen was sagen
> kann.
> Im voraus schon mal DANKE
>
>
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hi Patrick,
die 1.Frage, die du beantw. hast
pos NS, dann x [mm] \ge\ [/mm] 0
neg NS, dann x kleiner als 0
Yepp.
Aber
$ [mm] x_0 [/mm] $ ist positive Nullstelle, falls $ [mm] f(x_0)=0 [/mm] $ und $ [mm] x_0>0 [/mm] $
verstehe ich nicht.
Wolltest du mir sagen, dass die Null eine gerade Zahl ist?
Und (0/0) deshalb eine pos. Nullst. ist?
Wenn Ausschläge bis 0 u. bis 4, dann muss die Mittelachse der
Kurve bei 2 sein. Dann ist a=2 sagst du.
Aber:
Wenn ich sonst nur austarierte Kurven hatte (Ausschläge bis -1 u. 1 oder -3 und 3, dann Mittelachse bei y=0
Wo finde ich diese Null in der Fkt.gleichg. wieder?
d=0?
Ach so pardon
mit allg. Form war gemeint
a(x)=a*cos(bx +c)+d oder
a(x)=a*sin(bx +c)+d
Und meine Aufg. ist es diese Buchstaben alle zu bestimmen.
>Es lässt sich bestimmt eine Funktion konstruieren,
>die alle Bedingungen erfüllt und nicht so schön
>regelmäßig ist,
Oh, nein, bitte nicht. Ich habe mit den schön gleichmäßigen schon genug zu tun.
Nullstellen-Abstände sind also immer 2*π
Wie kann ich diese Info nun verwenden, dass sie mich weiterführt? Und zwar nicht mit Skizzen u. Wellen auf Pauschpapier, die so verschoben werden müssen, wie ich es brauche, um dann von der x-Achse abzulesen, wieviel Pi dazuaddiert werden muss (diese Bastelei ist so aufwendig). Geht das nicht auch theoretisch? Und wenn ja, wie?
Ich muss jetzt aber Feierabend machen u. freue mich, wenn ich morgen nachmittg. hier mit tollen Antworten wieder weiterarbeiten kann.
Allen vielen DANK u. Gute Nacht!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Mo 04.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi Patrick,
>
> die 1.Frage, die du beantw. hast
> pos NS, dann x [mm]\ge\[/mm] 0
> neg NS, dann x kleiner als 0
> Yepp.
> Aber
> [mm]x_0[/mm] ist positive Nullstelle, falls [mm]f(x_0)=0[/mm] und [mm]x_0>0[/mm]
> verstehe ich nicht.
> Wolltest du mir sagen, dass die Null eine gerade Zahl
> ist?
> Und (0/0) deshalb eine pos. Nullst. ist?
>
> Wenn Ausschläge bis 0 u. bis 4, dann muss die Mittelachse
> der
> Kurve bei 2 sein. Dann ist a=2 sagst du.
> Aber:
> Wenn ich sonst nur austarierte Kurven hatte (Ausschläge
> bis -1 u. 1 oder -3 und 3, dann Mittelachse bei y=0
> Wo finde ich diese Null in der Fkt.gleichg. wieder?
> d=0?
>
> Ach so pardon
> mit allg. Form war gemeint
> a(x)=a*cos(bx +c)+d oder
> a(x)=a*sin(bx +c)+d
> Und meine Aufg. ist es diese Buchstaben alle zu bestimmen.
>
> >Es lässt sich bestimmt eine Funktion konstruieren,
> >die alle Bedingungen erfüllt und nicht so schön
> >regelmäßig ist,
> Oh, nein, bitte nicht. Ich habe mit den schön
> gleichmäßigen schon genug zu tun.
>
> Nullstellen-Abstände sind also immer 2*π
> Wie kann ich diese Info nun verwenden, dass sie mich
> weiterführt? Und zwar nicht mit Skizzen u. Wellen auf
> Pauschpapier, die so verschoben werden müssen, wie ich es
> brauche, um dann von der x-Achse abzulesen, wieviel Pi
> dazuaddiert werden muss (diese Bastelei ist so aufwendig).
> Geht das nicht auch theoretisch? Und wenn ja, wie?
>
> Ich muss jetzt aber Feierabend machen u. freue mich, wenn
> ich morgen nachmittg. hier mit tollen Antworten wieder
> weiterarbeiten kann.
> Allen vielen DANK u. Gute Nacht!
>
Hallo Giraffe,
Die "normale" Sinusfunktion hat die kleinste Periode [mm] 2\pi.
[/mm]
Das erkennt man an folgendem:
Benachbarte Hochpunkte haben den Abstand [mm] 2*\pi.
[/mm]
Benachbarte Tiefpunkte haben den Abstand [mm] 2*\pi.
[/mm]
Um diese Periode zu verändern, müsste der Funktionsterm die Form
...sin(b*x)... haben.
Da die kleinste Periode aber so ist wie bei sin(x)=sin(1*x), muss b=1 gelten.
Die "normale" Funktion y=sin(x) nimmt Werte zwischjen -1 und 1 an. Anders ausgedrückt: Bezogen auf die "Mittellage y=0" geht es je eine Einheit nach oben bzw. unten.
Wenn nun deine Funktion die Werte 0 bis 4 annimmt, kann man daraus zweierlei schließen:
1) Die "Mittellage" ist in der Mitte zwischen 0 und 4, also bei y=2.
Deshalb ist die Sinusfunktion mit ...+2 um 2 Einheiten nach oben verschoben.
2) Von der Mittellage aus aus geht es je 2 Einheiten nach oben bzw. unten.
Damit muss eine Funktion der Form y=2*sin(...)+2 vorliegen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 05.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Guten Abend,
ich bin durcheinander.
Kann ich es mal strukturieren?
Oder strukturiert bekommen?
Graph geht durch (0/0)
y-Werte zwischen 0 und 4
erst pos. Nullstelle bei 2*π
f(x)=a*sin (bx+c)+d
Das a
a wie Ausschlag/Amplitude
Wenn y-Werte zwisch. 0 und 4, komme ich an das a immer mit dem arythmet. Mittel ran?
In diesem Fall (4+0)/2 = 2
Dann a=2
Kriege ich das a immer mit dem arythmet. Mittel raus?
Das b
b staucht oder streckt
Wie ermittel ich b, wenn ich weiß, dass alle Nullstellen einen Abstand von 2π haben?
Ich kapiere leider nicht, was Abakus mit "Die "normale" Sinusfunktion hat die kleinste Periode 2π" meint.
Wieso kleinste? k(x)=sin(0,1x) hat doch noch eine kleinere Periode.
Wie ermittel ich b?
(bislang habe ich immer die Hochpunkte gezählt, die es gab bis 360°)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Passt doch! Schwierig wird es, wenn b= 6,374. Dann komme ich mit auszählen nicht mehr weit. Wie mache ich es dann?
Das c
verschiebt nach li oder re
Wenn ich was verschieben soll, dann habe ich 2, nämlich das Orig. u. das Verschobene. Die Aufg. ist es aber, eine Fkt-Gleichg. zu bestimmen. Was habe ich jetzt mit 2 Fkt. zu tun? Woher weiß ich welche Fkt. ich zum Vergleich der Verschiebg. nehmen muss?
Wie ermittel ich c?
Das d
Abakus sagt: "Die "Mittellage" ist in der Mitte zwischen 0 und 4, also bei y=2. Deshalb ist die Sinusfunktion mit ...+2 um 2 Einheiten nach oben verschoben.
Soll das heißen d=2?
Muss leider etw. Nachtschicht machen u. gegen 22 h nochmal gucken.
Im voraus schon mal vielen DANK f. alle Hlife.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo, dann basteln wir mal
f(x)=sin(x)
[Dateianhang nicht öffentlich]
f(x)=sin(x)+2
[Dateianhang nicht öffentlich]
f(x)=2*sin(x)+2
[Dateianhang nicht öffentlich]
nun stimmt aber unsere Nullstelle noch nicht, die erste positive Nullstelle liegt bei [mm] 270^{0} [/mm] entspricht [mm] \bruch{3}{2}\pi, [/mm] die Funktion f(x)=2*sin(x)+2 ist also noch zu verschieben
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Di 05.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Steffi,
dann ist d ja doch immer der Schnittpkt. mit der y-Achse.
Irgendjemand hier aus dem Forum hat mal geantwortet: "Nein".
Kann damit gemeint gewesen sein, dass d MEHR ist als nur der y-Achsenabschnitt? Nämlich, dass die Kurve um 2 Einheiten angehoben wird?
Vermutlich.
Und nun zur entscheidenen Frage "was ist c" für die gesuchte Fkt.:
also -0,5π
(damit geht der Tiefpkt. nicht noch weiter in minuns Richtung, sond. entgegengesetzt, direkt in (0/0) rein; ich hoffe ich verwechsel das jetzt nicht schon WIEDER!!!!)
Damit hieße die gesuchte Fkt.
g(x)=2*sin(x-0,5π)+2
Aber wieso sacht eigentl. niemand was zu meinem arythmetischen Mittel, um a zu bestimmen? Du hast es jetzt "nur" mit einem Bild gezeigt, (praktisch). Aber wie geht es theoretisch?
Und jetzt studiere ich mal was Al-Chwarizmi geschrieben hat.
DANKE dir erstmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Mi 06.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Giraffe!
Dein "a" bildest Du mittels folgender formel:
[mm]a \ = \ \bruch{y_{\max}-y_{\min}}{2}[/mm]
Mit dem arithmetischen Mittel von [mm]y_\max[/mm] und [mm]y_\min[/mm] findest Du "d":
[mm]d \ = \ \bruch{y_{\max}+y_{\min}}{2}[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Giraffe,
vielleicht eine kurze Antwort zu dem Problem mit dem [mm]d[/mm]...
Bei Polynomen, z.B. bei [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm] ist [mm]d[/mm] dasselbe wie der Achsenabschnitt. Der Achsenabschnitt ist ja [mm]f(0)[/mm], d.h. der Funktionswert an der Stelle [mm]x=0[/mm]. Bei einem Polynom verschwinden dann alle Terme mit [mm]x[/mm] und nur die Konstante $d$ bleibt übrig.
Bei einer "trigonometrischen" Funktion klappt diese Argumentation nicht mehr. Bei [mm]f(x)=sin(x)+5[/mm] ist zwar auch [mm]f(0)=5[/mm], die Methode scheint also zu stimmen. Das liegt aber daran, dass [mm]sin(0)=0[/mm]. Bei [mm]f(x)=cos(x)+1[/mm] ist jetzt der Achsenabschnitt [mm]f(0)=2[/mm]. Hier muss man also ziemlich aufpassen.
Liebe Grüße
Hugo
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Hallo giraffe,
ich würde dir bei dieser Aufgabe ein geometrisches Vorgehen
mittels einer guten Skizze empfehlen.
Es sind nur "trigonometrische Funktionen" zugelassen - gemeint
ist eine viel strengere Bedingung: nur Funktionen der Form
$\ y\ =\ a*sin(b*x+c)+d$. Die Graphen solcher Funktionen sind
Wellellinien analog zum Graph von y=sin(x), nur allenfalls in
x-und y-Richtung gestreckt und verschoben.
Da die y-Werte zwischen 0 und 4 liegen sollen, aber zwei
Nullstellen vorgegeben sind, müssen diese beiden je einem
Tiefpunkt der Kurve entsprechen. Da bei [mm] 2\,\pi [/mm] die erste
positive Nullstelle liegen soll, darf man wegen der Eigenschaften
der Sinuskurve schließen, dass bei [mm] x=\pi [/mm] , y=4 der erste Hoch-
punkt der Kurve mit positivem x liegen muss.
Nun ist es nicht mehr schwer, die genaue Funktionsgleichung
aufzustellen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Di 05.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich fasse mal zus., was du gesagt hast:
> geometrisches vorgehen mit einer Skizze
> y-Werte zwischen 0 und 4
> Nullstellen: Tiefpunkt (0/0) u. Tiefpunkt($ [mm] 2\,\pi [/mm] $/),
dann muss bei (π/4) ein Hochpunkt sein
Ja, danach sehe in meiner Skizze nun einen tollen Berg,
der bei (0/0) anfängt u. bei ($ [mm] 2\,\pi [/mm] $/) aufhört; wenn ich mich an der x-Achse orientiere.
Wenn ich mich aber an der Mittellinie (parallel zur x-Achse) bei y=2 orientiere,
dann habe ich ein halbes Tal, 1 Berg u. ein halbes Tal
(zus.gesetzt ergibt das 1 Tal u. 1 Berg),
damit wäre b für mich 1 (eine komplette Schwingung). Aber es scheint Blödsinn zu sein, b so zu bestimmen. b zu bestimmen, indem man die Hochpunkte zählt?!
b= ist was? Wie komme ich darauf, was b sein soll?
Ich zähle immer die Hochpunkte, bzw. die Schwingungen. siehe Fotos.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber das scheint nicht die Lösung zu sein, denn bei der jetzt angefertigten Skizze nach deiner "Anweisung" ist b=1 (bei mir). Aber b ist bei euch allen immer 2. WARUM? Wie macht ihr das denn?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Giraffe,
also $b=1$ ist schon richtig, d.h. die Periode der von dir gesuchten trigonometrischen Funktion ist [mm] $2\pi$.
[/mm]
Vielleicht eine kleine Bemerkung am Rande zur Formulierung der Aufgabenstellung... Die etwas seltsame Beschreibung "erste positive Nullstelle bei [mm] $x=2\pi$" [/mm] wurde aus ganz bestimmten Gründen gewählt.
Die Angabe der Nullstellen ist an und für sich nutzlos. Wichtig ist in erster Linie die Tatsache, dass die Funktion Werte zwischen 0 und 4 hat. Also sind die Nullstellen Minima der Funktion. Logisch, oder? Wenn die Funktion nicht negativ wird, dann ist ihr Funktionswert an den Nullstellen so klein wie möglich.
Bei $x=0$ ist also ein Tiefpunkt der trigonometrischen Funktion. Bei [mm] $x=2\pi$ [/mm] ist auch einer. Die Angabe nennt diese zweite Nullstelle recht umständlich "die erste positive Nullstelle". Diese ungeheuerliche Beschreibung klingt zwar im ersten Moment seltsam, aber eigentlich bedeutet es zweierlei. Erstens ist die Funktion bei [mm] $x=2\pi$ [/mm] gleich Null und zweitens liegt zwischen $x=0$ und [mm] $x=2\pi$ [/mm] nicht noch eine Nullstelle. Sonst wäre [mm] $x=2\pi$ [/mm] ja erst die zweite, dritte oder vielleicht siebenhundertachtundzwanzigste positive Nullstelle.
Wir wissen nun, dass bei $x=0$ und [mm] $x=2\pi$ [/mm] aufeinanderfolgende Minima der trigonometrischen Funktion sind. Ihr Abstand ist gleich der Periodenlänge, deshalb komme ich zum selben Ergebnis wie du: $b=1$.
In der Bestimmung der Kennzahlen der allgemeinen Form [mm] $a\cdot\sin(bx+c)+d$ [/mm] haben wir den ersten Schritt schon getan. Nun würde ich so weiter vorgehen...
Die Amplitude $a$ so bestimmen, dass die Sinusfunktion eine gesamte Schwingungsbreite von 4 hat (ein "normaler" Sinus hat ja nur eine Breite von 2, nämlich von -1 bis +1). Hier hast du $a=2$ ausgerechnet, was goldrichtig ist.
Die Funktion nach oben oder unten verschieben, damit die Minima auf der x-Achse liegen. Dafür hast du auch schon den korrekten Wert $d=2$ bestimmt.
Die Funktion nach links oder rechts verschieben, damit eines der Minima im Koordinatenursprung liegt. Dazu musst du also ein $c$ finden, so dass $f(0)=0$. Dabei ist [mm] $f(x)=2\cdot\sin(2x+c)+2$.
[/mm]
Tipp:
$x=0$ eingesetzt ergibt doch die Gleichung [mm] $0=2\cdot\sin(c)+2$. [/mm] Das ist doch eine Gleichung für das gesuchte $c$. Wenn du sie geeignet umstellst und eine Lösung $c$ findest, dann erhältst du die Gesamtlösung, die auch schon Steffi angegeben hat. Der Vorteil dieser Vorgehensweise im letzten Schritt ist, dass du dir nicht den Kopf wegen "nach links oder nach rechts verschoben" zerbrechen musst.
Liebe Grüße
Hugo
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Do 07.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Nabend Hugo, u. alle anderen hier, die mir immer so schön helfen,
Zu einem Punkt habe ich doch noch 2 Fragen.
Es geht um das b aus f(X)=a*sin(bx+c)+d
Hugo schreibt:
> Wir wissen nun, dass bei [mm]x=0[/mm] und [mm]x=2\pi[/mm] aufeinanderfolgende
> Minima der trigonometrischen Funktion sind. Ihr Abstand ist
> gleich der Periodenlänge, deshalb komme ich zum selben
> Ergebnis wie du: [mm]b=1[/mm].
1.te Frage:
Wieso ist b=1=2π?
Weil es die Aufg., bzw. die gesuchte Kurve zufällig so hergibt oder soll das allgemein gelten u.
meint dann für die 1 (vom Einh.kreis) die Entsprechung 2π =360°?
2.te Frage:
ist b=p
(das p soll kleinste Periode (Länge) sein)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Do 07.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Nabend Hugo, u. alle anderen hier, die mir immer so schön
> helfen,
>
> Zu einem Punkt habe ich doch noch 2 Fragen.
> Es geht um das b aus f(X)=a*sin(bx+c)+d
> Hugo schreibt:
> > Wir wissen nun, dass bei [mm]x=0[/mm] und [mm]x=2\pi[/mm]
> aufeinanderfolgende
> > Minima der trigonometrischen Funktion sind. Ihr Abstand ist
> > gleich der Periodenlänge, deshalb komme ich zum selben
> > Ergebnis wie du: [mm]b=1[/mm].
>
> 1.te Frage:
> Wieso ist b=1=2π?
> Weil es die Aufg., bzw. die gesuchte Kurve zufällig so
> hergibt oder soll das allgemein gelten u.
> meint dann für die 1 (vom Einh.kreis) die Entsprechung
> 2π =360°?
>
> 2.te Frage:
> ist b=p
> (das p soll kleinste Periode (Länge) sein)
Genau umgekehrt.
Zeichne mal folgende Funktionen und lies ihre (kleinste) Periodenlänge p ab:
1) y=sin x = sin 1*x (also b=1)--> Periodenlänge [mm] p=2\pi
[/mm]
2) y=sin 2x (also b=2) --> Periodenlänge [mm] p=\pi
[/mm]
3) y=sin 3x (also b=3) --> Periodenlänge [mm] p=\bruch{2\pi}{3}
[/mm]
4) y=sin 0,25x (also b=0,25) --> Periodenlänge [mm] 8\pi
[/mm]
Und jetzt bilde mal für jedes Beispiel das Produkt b*p.
Gruß Abakus
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
Oh man, das war ja nochmal SEHR wichtig.
DANKE DIR!
Ich ziehe daraus folgendes:
Die Anzahl der p´s ist also b u. zwar immer bezogen auf 360°, bzw. 2π.
Und heißt so ein waagerecht liegendes S (ein Schwung mit einem Berg u. einem Tag) mit der Länge p immer Periode?
Wenn ja, dann gibt b an, wieviele Perioden die Fkt. hat, bezogen auf 360°, bzw. 2π. Oder gilt der Bezug etwa NUR für unsere normale sin-Kurve, die sin(x)?
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Hallo Giraffe,
es ist besser, Du verstehst, wann eine Funktion periodisch ist. Du versuchst offenbar gerade, Dir ein paar Eselsbrücken zu bauen, die aber nicht in allen Fällen halten werden. Für Funktionen wie die, die Du hier gerade untersuchst (mit nur einer sin- oder cos-Funktion und dem Argument bx+c) mag das alles funktionieren, aber bei anders zusammengesetzten Funktionen sieht das anders aus.
Nehmen wir ein einfaches Beispiel, das jemand heute in einem anderen Thread anführte. Sei [mm] f(x)=\sin{x}+sin{2x}.
[/mm]
Das ist kein "liegendes S" mehr, aber trotzdem eine periodische Funktion.
Wenn Du ein passendes Programm hast, lass sie Dir mal plotten.
Noch deutlicher sichtbar ist das vielleicht bei [mm] f(x)=\sin{\bruch{x}{3}}+\bruch{1}{2}\sin{\bruch{x}{4}}
[/mm]
Denk mal drüber nach - wie lang mag wohl die Periode dieser Funktion sein?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Giraffe |
$ [mm] f(x)=\sin{x}+sin{2x}. [/mm] $
habe ich geplottet u. sehe ein, dass sie periodisch ist, aber dass p hier nicht mehr so passt (von Minima bis nächsten Minima)
Aber die
$ [mm] f(x)=\sin{\bruch{x}{3}}+\bruch{1}{2}\sin{\bruch{x}{4}} [/mm] $
kriege ich nur so geplottet
f(x)=sin(x/3+1/2*sin(x/4))
Sind die Klammern u. das Mal denn richtig?
Ist das dann die Kurve, die du meinst?
Falls ja, kann ich dir die Frage
>Denk mal drüber nach - wie lang mag wohl die Periode dieser Funktion sein?
nicht beantworten. Es schlingelt sich zu eng um die x-Achse u. zoome ich es groß, dann verliere ich den Überblick.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Fr 08.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum ursprünglichen problem zurück.
du solltest so ne Art Zeichnung haben, wenn du den Rat in nem früheren post (ich glaub abakus) befolgt hast.
[Dateianhang nicht öffentlich]
die schwarze Kurve erfüllt a und c aber nicht b, weil sie ja auch negative Werte hat, also muss es sowas wie die rote sein.
Da trag jetzt noch die Symmetrielinie ein (bei y=2) dann solltest du die Kurve erkennen.
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo nochmal,
für Dein Plotprogramm müsste meine zweite Funktion so geschrieben sein:
f(x)=sin(x/3)+1/2*sin(x/4)
Sie ist [mm] 12\pi-periodisch.
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Fr 08.10.2010 | | Autor: | abakus |
> > Nabend Hugo, u. alle anderen hier, die mir immer so schön
> > helfen,
> >
> > Zu einem Punkt habe ich doch noch 2 Fragen.
> > Es geht um das b aus f(X)=a*sin(bx+c)+d
> > Hugo schreibt:
> > > Wir wissen nun, dass bei [mm]x=0[/mm] und [mm]x=2\pi[/mm]
> > aufeinanderfolgende
> > > Minima der trigonometrischen Funktion sind. Ihr Abstand ist
> > > gleich der Periodenlänge, deshalb komme ich zum selben
> > > Ergebnis wie du: [mm]b=1[/mm].
> >
> > 1.te Frage:
> > Wieso ist b=1=2π?
> > Weil es die Aufg., bzw. die gesuchte Kurve zufällig so
> > hergibt oder soll das allgemein gelten u.
> > meint dann für die 1 (vom Einh.kreis) die Entsprechung
> > 2π =360°?
> >
> > 2.te Frage:
> > ist b=p
> > (das p soll kleinste Periode (Länge) sein)
> Genau umgekehrt.
> Zeichne mal folgende Funktionen und lies ihre (kleinste)
> Periodenlänge p ab:
> 1) y=sin x = sin 1*x (also b=1)--> Periodenlänge [mm]p=2\pi[/mm]
> 2) y=sin 2x (also b=2) --> Periodenlänge [mm]p=\pi[/mm]
> 3) y=sin 3x (also b=3) --> Periodenlänge
> [mm]p=\bruch{2\pi}{3}[/mm]
> 4) y=sin 0,25x (also b=0,25) --> Periodenlänge [mm]8\pi[/mm]
>
> Und jetzt bilde mal für jedes Beispiel das Produkt b*p.
> Gruß Abakus
> >
> >
> >
>
Die wichtigste Folgerung für eine Funktion der Form y=sin(bx) ist, dass FÜR DIESE Funktion gilt [mm] p*b=2\pi.
[/mm]
Aus dieser Beziehung kannst du b aus p berechnen und umgekehrt.
Gruß Abakus
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