wie ist die lösung? < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 So 10.02.2008 | | Autor: | DaMazen |
| Aufgabe | | Man bestimme die Anzahl der 8-stelligen Wörter aus 5 Zeichen A und 3 Zeichen B, in denen die Zeichen A nicht sämtlich nebeneinander stehen. |
Kommt bei der Aufgabe 52 oder 39 raus oder doch was anderes?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 So 10.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man bestimme die Anzahl der 8-stelligen Wörter aus 5
> Zeichen A und 3 Zeichen B, in denen die Zeichen A nicht
> sämtlich nebeneinander stehen.
> Kommt bei der Aufgabe 52 oder 39 raus oder doch was
> anderes?
da Du Dir ja anscheinend schon Gedanken zu der Aufgabe gemacht hast, denke ich, es wäre vorteilhaft für Dich, wenn Du Deine Überlegungen+Rechnungen zu Deinen Zahlenergebnissen präsentierst. Denn dann können wir Dir auch sagen, wo Du evtl. einen Denkfehler hast. Ich werde Dir jetzt mit Absicht keine Komplettlösung verraten, denn dadurch würde ich Dir den "Aha-Effekt" wegnehmen, den Du haben solltest, wenn Du weißt, wo der Fehler in Deinen Überlegungen ist. Jedenfalls vll. mal so als Ansatz:
- Wieviele Möglichkeiten gibt es, 5 A's auf 8 Plätze zu verteilen?
- Wieviele Möglichkeiten gibt es dabei, dass die 5A's direkt nebeneinander stehen?
(Sie können dann belegen:
Entweder
- Platz 1 bis 5
oder
.
.
.....)
Was ist die Differenz?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 So 10.02.2008 | | Autor: | DaMazen |
Also wäre das dann ja:
[mm] \vektor{8 \\ 5} [/mm] - 4 = 52
nach deiner Beschreibung wäre das ja dann diese Lösung...
aber warum geht es nicht, wenn man die A's als fest ansieht und die B's auf die Plätze verteil...
also erst alle B's alleine: [mm] \vektor{6 \\ 3}
[/mm]
dann 2B#s zusammen und eins alleine [mm] \vektor{6 \\ 2} [/mm] - 2 (um 5 A's nebeneinander auszuschließen)
und dann 3 B's zusammen wobei sie nicht am Ende oder am Anfang stehen dürfen [mm] \vektor{4 \\ 1}
[/mm]
und davon die Summe also 37 ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 So 10.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo DaMaze,
ehrlich gesagt müsste ich mir Deine Überlegungen nochmal durch den Kopf gehen lassen. Du kannst hier aber selbst auf Fehlersuche gehen. Zunächst notiere Dir alle Möglichkeiten, von den 8 Plätzen die 3 mit den B's zu belegen (äquivalent: 5 mit den A's):
Die 3 B's nebeneinander:
BBBAAAAA
ABBBAAAA
AABBBAAA
AAABBBAA
AAAABBBA
AAAAABBB
(Das sind 6 an der Zahl!)
Nur 2B's nebeneinander:
Sie belegen die ersten beiden Stellen
BBABAAAA
BBAABAAA
BBAAABAA
BBAAAABA
BBAAAAAB
(Das sind 5 an der Zahl, also momentan insgesamt 6+5=11)
Sie belegen die Plätze 2,3:
ABBABAAA
ABBAABAA
ABBAAABA
ABBAAAAB
(insg.: 11+4=15)
Plätze 3,4:
BABBAAAA
AABBABAA
AABBAABA
AABBAAAB
(insg.: 15+4=19)
Plätze 4,5:
BAABBAAA
ABABBAAA
AAABBABA
AAABBAAB
(insg.: 19+4=23)
Plätze 5,6:
BAAABBAA
ABAABBAA
AABABBAA
AAAABBAB
(insg.: 23+4=27)
Plätze 6,7:
BAAAABBA
ABAAABBA
AABAABBA
AAABABBA
(insg.: 27+4=31)
Plätze 7,8:
BAAAAABB
ABAAAABB
AABAAABB
AAABAABB
AAAABABB
(insg.: 31+5=36)
Jedes B darf nicht von einem B umgeben sein:
Wir halten B auf Platz 1,3 fest:
BABABAAA
BABAABAA
BABAAABA
BABAAAAB
(insg.: 36+4=40)
B auf Platz 1,4:
BAABABAA
BAABAABA
BAABAAAB
(insg.: 40+3=43)
B auf Platz 1,5:
BAAABABA
BAAABAAB
(insg: 43+2=45)
B auf Platz 1,6:
BAAAABAB
(insg.: 45+1=46)
B auf Platz 2,4:
ABABABAA
ABABAABA
ABABAAAB
(insg.: 46+3=49)
B auf Platz 2,5:
ABAABABA
ABAABAAB
(insg.: 49+2=51)
B auf Platz 2,6:
ABAAABAB
(insg.: 51+1=52)
B auf Platz 3,5:
AABABABA
AABABAAB
(insg.: 52+2=54)
B auf Platz 3,6:
AABAABAB
(insg.: 54+1=55)
B auf Platz 4,6
AAABABAB
(insg.: 55+1=56=${8 [mm] \choose [/mm] 3}$)
Hier stehen jetzt also alle Möglichkeiten (ich hoffe, du erkennst, dass nichts doppelt auftaucht, denn wenn ich z.B. B auf den Plätzen 3,5 festhalte, dann verteile ich das letzte B nur noch auf den Plätzen nach dem Platz 5, so dass nicht zweimal das B an den Stellen 1,3,5 steht).
Ist vll. nicht die eleganteste Methode, aber hier kannst Du nun abzählen, ob Du bei Deiner Überlegung nicht irgendwelche Fälle übergangen hast, so dass Deine Zahl "zu klein" bleibt.
Also:
Kontrolliere Deine "zweite" Überlegung, wo Du 37 errechnet hast, einfach mal, indem Du nun "abzählst", ob Deine Anzahlen stimmen und ggf. erkennst Du ja, wenn eine Zahl nicht mit der Deiner Überlegung übereinstimmt, wo Du was übersehen hast.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mo 11.02.2008 | | Autor: | DaMazen |
Vielen Dank schonmal für die Mühe...
Leider sind auch bei deinen Möglichkeiten noch welche drin, bei denen 5 A's nebeneinander stehen. Also doch [mm] \vektor{8 \\ 5} [/mm] - 4 ? Ich denke jetzt es müsste so sein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo DaMazen,
> Vielen Dank schonmal für die Mühe...
>
> Leider sind auch bei deinen Möglichkeiten noch welche drin,
> bei denen 5 A's nebeneinander stehen. Also doch [mm]\vektor{8 \\ 5}[/mm]
> - 4 ? Ich denke jetzt es müsste so sein...
ich glaube, Du hast nicht verstanden, was ich dort getan habe. Ich habe einfach ALLE Möglichkeiten aufgeschrieben, wie man die 5 A's auf die 8 Plätze verteilen kann (dabei sind natürlich auch die 4 Möglichkeiten, dass die 5 A's direkt nebeneneinander stehen, enthalten).
Der Sinn davon war nicht, dass Du damit nachzählst, dass auch tatsächlich die Lösung der Aufgabe die Zahl 52 ist, sondern der Sinn davon bestand darin, dass Du damit hier:
https://matheraum.de/read?i=366029
wo Du fragst:
> aber warum geht es nicht, wenn man die A's als fest ansieht und die B's
> auf die Plätze verteil...
> also erst alle B's alleine: $ [mm] \vektor{6 \\ 3} [/mm] $
> ...
durch nachzählen kontrollieren kannst, ob Deine Zwischenüberlegungen (z.B. "alle B's alleine: ${6 [mm] \choose [/mm] 3}$") stimmen bzw. wo Dein Fehler ist, als Du das Ergebnis $37$ ausrechnest.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Di 12.02.2008 | | Autor: | DaMazen |
Ah ok...jetzt ist es angekommen :D
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