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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mo 26.02.2007 | | Autor: | afri87 |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem ist für jedes [mm] k\in\IR [/mm] eine Ebene [mm] E_k [/mm] mit der Gleichung
[mm] E_k:x+(k-2)*y+(2*k+1)*z=5-2*k [/mm] gegeben.
Ermitteln sie eine Gleichung für die Menge aller Punkte, deren Abstand zur Ebene E(0) genauso groß ist,wie zur Ebene E(-1) und die im spitzen Winkelfeld der Ebenen E(0) und E(-1) liegen. Beschreiben sie die Lage derjenigen Punkte, die darüber hinaus Mittelpunkte von Kugeln sein können, die einen Radius von 2 LE haben und und für die E(0) und E(-1) Tangentialebenen sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mir bei dieser Aufgabe total unsicher. Für den ersten Teil hatte ich zwar schon einen Ansatz, jedoch kommt auch der mir falsch vor. Wär echt schön wenn mir jemand helfen könnte und erklären würde, wie man es richtig macht.Danke!
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Hallo afri87 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> In einem kartesischen Koordinatensystem ist für jedes
> [mm]k\varepsilon \IR[/mm] eine Ebene Ek mit der Gleichung
> E(k): x+(k-2)*y+(2*k+1)*z=5-2*k gegeben.
>
> Ermitteln sie eine Gleichung für die Menge aller Punkte,
> deren Abstand zur Ebene E(0) genauso groß ist,wie zur Ebene
> E(-1) und die im spitzen Winkelfeld der Ebenen E(0) und
> E(-1) liegen. Beschreiben sie die Lage derjenigen Punkte,
> die darüber hinaus Mittelpunkte von Kugeln sein können, die
> einen Radius von 2 LE haben und und für die E(0) und E(-1)
> Tangentialebenen sind.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin mir bei dieser Aufgabe total unsicher. Für den
> ersten Teil hatte ich zwar schon einen Ansatz, jedoch kommt
> auch der mir falsch vor. Wär echt schön wenn mir jemand
> helfen könnte und erklären würde, wie man es richtig
> macht.Danke!
Dann schreib mal deine Versuche (den aussichtsreichsten  ) hier auf, damit wir sehen, wie du vorgehen willst. Schließlich können wir nicht raten, was du so gedacht hast.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 26.02.2007 | | Autor: | afri87 |
Also ich habe mir zuerst gedacht, dass die Ebene die wir suchen, den gleichen Normalenvektor haben müsste, wie die Ebenenschar. (Ich weiß aber nicht ob man das einfach sagen kann.) Den Punkt den ich dann noch brauche um die Ebene aufzustellen, habe ich aus der Schnittgerade der beiden Ebenen E(-1), E(0) (die da lautet: y=-2 ) genommen und kam dann auf:
E: x- (k-2)*y- (2*k+1)*z=2*k-4.
Das wäre jetzt meine Ebene und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Außerdem glaube ich wie gesagt nicht, dass man das so machen kann wie ich es getan habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Di 27.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also ich habe mir zuerst gedacht, dass die Ebene die wir
> suchen, den gleichen Normalenvektor haben müsste, wie die
> Ebenenschar. (Ich weiß aber nicht ob man das einfach sagen
> kann.)
Doch, genau so funktioniert es.
Zwei Ebenen [mm] E_{1}:\vec{n_{1}}*\vec{x}=d_{1} [/mm] und [mm] E_{2}:\vec{n_{2}}*\vec{x}=d_{2} [/mm] sind Parallel, wenn gilt:
[mm] \vec{n_{1}}\parallel\vec{n_{2}} [/mm] und [mm] d_{1}\ne d_{2}
[/mm]
Jetzt brauchst du für deine gesuchte Ebene nur noch das "d". Dazu setzt du einen Punkt A, der auf der Ebene liegt, in die Ebene ein, und erhältst: [mm] d=\vec{n}*\vec{a}
[/mm]
> Den Punkt den ich dann noch brauche um die Ebene
> aufzustellen, habe ich aus der Schnittgerade der beiden
> Ebenen E(-1), E(0) (die da lautet: y=-2 ) genommen und kam
> dann auf:
> E: x- (k-2)*y- (2*k+1)*z=2*k-4.
Was genau meinst du mit E(-1)? Meinst du damit [mm] E_{\red{k=-1}}? [/mm]
> Das wäre jetzt meine Ebene und jetzt weiß ich nicht mehr
> weiter. Außerdem glaube ich wie gesagt nicht, dass man das
> so machen kann wie ich es getan habe.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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Hallo afri!
> Also ich habe mir zuerst gedacht, dass die Ebene die wir
> suchen, den gleichen Normalenvektor haben müsste, wie die
> Ebenenschar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Den Punkt den ich dann noch brauche um die Ebene
> aufzustellen, habe ich aus der Schnittgerade der beiden
> Ebenen E(-1), E(0) (die da lautet: y=-2 )
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie hast Du denn diese Schnittgerade ermittelt? Da habe ich etwas gänzlich anderes erhalten.
> E: x- (k-2)*y- (2*k+1)*z=2*k-4.
Für Deine gesuchte Ebene musst Du dann natürlich noch ein konkretes $k_$ ermitteln.
Da fällt mir leider kein schnellerer (und eleganterer) Weg ein, als zunächst den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] zwischen den beiden Ebenen [mm] $E_0$ [/mm] und [mm] $E_{-1}$ [/mm] zu ermitteln und diesen dann zu halbieren.
Zusaätzlich muss der gesuchte Normalenvektor auch senkrecht auf den Richtungsvektor der Schnittgeraden stehen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hi, afri,
der einfachste Weg, die beiden winkelhalbierenden Ebenen zu zwei sich schneidenden Ebenen zu ermitteln, ist:
die beiden Hesseschen Normalenformen zu addieren bzw. subtrahieren.
Welche der beiden den kleineren Winkel halbiert, kannst Du z.B. durch Ermittlung eines Schnittwinkels herausbekommen!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Mo 05.03.2007 | | Autor: | afri87 |
Danke! so mit den normalenvektoren hab ich das jetzt auch gemacht kommen zwar schreckliche Werte heraus aber immerhin klappt es so.
Danke noch mal!
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