wronski-det & unabhängigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige:(1) [mm] e^{t},e^{2t^},e^{3t} [/mm] sind auf jedem Intervall linear unabhängig
(2) u1(t)=t, [mm] u2(t)=t^{2} [/mm] sind auf [mm] \IR [/mm] linear unabhängig und lösen dort die eulersche dgl t²u''-2tu'+2u=0!Ihre Wronski-det verschwindet im Nullpunkt.Warum ist dies kein widerspruch zu folgendem satz:
Falls die Koeffizienten ak der DGL [mm] u^{(n)}+ \summe_{k=0}^{n-1} ak(t)u^{(k)}=0 [/mm] stetig sind, verschwindet die Wronskideterminamte von n Lösungen u1...un in jedem oder in keinem Punkt!Insbesondere ist die Wronskidet. einer Integralbasis überall ungleich null! |
Hallo!
Mein Problem bei der (1): ich hab die Wronskidet berechnet und komme auf 0!Damit wären [mm] e^{t} [/mm] usw aber linear abhängig!Das kann aber ja nicht sein, wie zeig ich das also? Habs mit [mm] ae^{t}+bê^{2t}+ce^{3t}=0 [/mm] für verschiedene t´s versucht, aber wie kann ich damit zeigen, das die lineare unabhängigkeit auf jedem(!) intervall gilt?
Naja bei der (2) hab ich im wesentlichen das gleiche Problem nur eben hier mit [mm] \IR! [/mm] Bei dem Widerspruch bin ich mir nicht so ganz sicher!kann ich schreiben: die w_det verschwindet nur im nullpunkt und nicht gefordert in jdem oder in keinem Punkt-> die Koeffizienten sind nicht also nicht stetig??
Würde mich über eine antwort freuen auch wenn euch alle der Weihnachtsstress einholt!
AUf jeden fall euch allen da draußen schöne Weihnachten!
Gruß
superkermit!
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Hallo,
versuchen wir doch also mal Deinen ersten Ansatz:
Sei [mm] a\cdot e^t [/mm] + [mm] b\cdot e^{2t} [/mm] + [mm] c\cdot e^{3t}=0 [/mm] in einem Intervall, dann muessen
fuer Punkte im Inneren des Intervalls alle Ableitungen verschwinden, also
1. Abl.: [mm] ae^t+ 2b\cdot e^{2t} [/mm] + [mm] 3c\cdot e^{3t} [/mm] =0
Subtrahierne wir die erste 0-Gleichung oben hiervon, ergibt sich
[mm] b\cdot e^{2t}+ 2c\cdot e^{3t} [/mm] =0 - wiederum in einem Intervall, und Ableiten hiervon ergibt
[mm] 2b\cdot e^{2t} [/mm] + [mm] 6c\cdot e^{3t} [/mm] =0 , und dies durch zwei dividiert und die letzte Gl.
subtrahiert liefert c=0 und dann - rueckeingesetzt - b=a=0.
Zugegeben, das war ''zu Fuss'', aber wie so h"aufig funktioniert dies ganz gut.
Allen ein frohes Fest - und verliert die Mathematik nicht aus den Augen ! 
Gruss,
Mathias
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Hallo!
Ja aber zeig ich damit das sie auf jedem INtervall unabhängig sind un d warum klappt das mit der w-det nicht? und zu guter letzt stimmt das was ich zu dem widerspruch geschrieben habe??
FRagen über fragen, aber trotzdem danke für deine antwort!
gruß
superkermit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 So 25.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja aber zeig ich damit das sie auf jedem INtervall
> unabhängig
Das hat er dir gerade vorgerechnet! Er hat sich _irgendein_ Intervall genommen und gezeigt, dass die Funktionen darueber l.u. sind. Somit ist es fuer _alle_ Intervalle gezeigt.
(Natuerlich nur fuer alle Intervalle, die mehr als einen Punkt enthalten; ansonsten stimmt die Aussage nicht.)
> sind un d warum klappt das mit der w-det nicht?
Nun, was weisst du denn ueber die W-Determinante? Steht doch alles in deinem ersten Posting:
Wenn die Koeffizienten ..., verschwindet die Wronski-Determinante von $n$ Loesungen [mm] $u_1, [/mm] ..., [mm] u_n$ [/mm] in jedem Punkt oder in keinem.
Nun, damit du das W-Det-Kriterium anwenden kannst, muessen also [mm] e^x, e^{2 x} [/mm] und [mm] e^{3 x} [/mm] Loesungen einer DGL in der angegebenen Form sein. Da die drei Funktionen allerdings l.u. sind und die Wronski-Det trotzdem immer 0 ist, kann es also keine solche DGL geben!
Die lineare Unabhaengigkeit kann man uebrigens noch anders Beweisen, und war ist [mm] $e^{2 x} [/mm] = [mm] (e^x)^2$ [/mm] und [mm] $e^{3 x} [/mm] = [mm] (e^x)^3$. [/mm] Wenn du also $y := [mm] e^x$ [/mm] substituierst, musst du zeigen (da [mm] $\IR \to \IR_{>0}$, [/mm] $x [mm] \to e^x$ [/mm] ein Homeomorphismus ist), dass $x$, [mm] $x^2$ [/mm] und [mm] $x^3$ [/mm] auf jedem Intervall linear unabhaengig sind. Aber das folgt aus der kleinen Version des Fundamentalsatzes der Algebra: Ein Polynom vom Grad n kann hoechstens n verschiedenen Nullstellen haben.
> und zu guter letzt stimmt das was ich zu dem widerspruch
> geschrieben habe??
Partiell Einmal ist die DGL, die in der Aufgabe Teil (b) angegeben wird nicht in der richtigen Form. Wenn du sie in die richtige Form bringst, wirst du sehen dass die Koeffizienten im Punkt x = 0 teilweise nicht definiert sind! Insbesondere sind die Koeffizienten im Nullpunkt nicht stetig.
Wenn du die DGL aber auf einem Intervall betrachtest, welches die 0 nicht enthaelt (z.B. [mm] $\left] 0, \infty \right[$), [/mm] dann sind die Koeffizienten (in der richtigen Form der DGL) dort alle stetig, und die Wronski-Determinante verschwindet dort auch offensichtlich nicht.
Schoene Weihnachten und HTH, Felix
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