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Forum "Uni-Numerik" - x-te Wurzel von x
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x-te Wurzel von x: Numerisches Lösungsverfahren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Sa 27.08.2005
Autor: elysis

Hallo, zusammen.
Ich möchte ein Programm schreiben, daß mir die x-te Wurzel von x ( [mm] \wurzel[x]{x}) [/mm] zieht,   Leider habe ich keine Idee für einen numerischen Ansatz (hatte als Informatiker leider nur ein Semester Numerik mit Grundlagen).

Unter http://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm habe ich lediglich ein Verfahren gefunden, wie ich quadratische und kubische Wurzeln ziehen kann, weiß aber nicht, wie ich das verallgemeinern soll.

Hat jemand 'ne Idee ?

( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )



        
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x-te Wurzel von x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Sa 27.08.2005
Autor: holy_diver_80

Hallo elysis,

Der Ausdruck ist definiert für x > 0. Es gilt:

[mm] $\wurzel[x]{x} [/mm] = [mm] x^{1/x} [/mm] = [mm] e^{(\ln{x})*(1/x)}$ [/mm]

Der Grenzwert für x von oben gegen 0 ist 0.

Liebe Grüße,
Holy Diver

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x-te Wurzel von x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 So 28.08.2005
Autor: elysis

Es hat geklappt - ich bedanke mich bei Allen für die schnelle Hilfe :-) !!


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x-te Wurzel von x: Zu aufwendig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Sa 27.08.2005
Autor: MathePower

Hallo elysis,

[willkommenmr]

> Hallo, zusammen.
>  Ich möchte ein Programm schreiben, daß mir die x-te Wurzel
> von x ( [mm]\wurzel[x]{x})[/mm] zieht,   Leider habe ich keine Idee
> für einen numerischen Ansatz (hatte als Informatiker leider
> nur ein Semester Numerik mit Grundlagen).
>  
> Unter http://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm
> habe ich lediglich ein Verfahren gefunden, wie ich
> quadratische und kubische Wurzeln ziehen kann, weiß aber
> nicht, wie ich das verallgemeinern soll.

ich denk das Verfahren, das auf diesen Seiten beschrieben wird, ist zu aufwendig zu implementieren.

Benutze statt dessen zur Herleitung eines Numerisches Lösungsverfahrens   das Newtonverfahren mit folgender Funktion:

[mm]y\; = \;x^{n} \; - \;a[/mm]

Zur Herleitung des Lösungsverfahrens nimmst Du die Punkt-Steigungsform einer Geraden:

[mm]\frac{{y\; - \;y_0 }} {{x\; - x_{0} }}\; = \;y'\left( {x_{0} } \right)[/mm]

Hier muss y = 0 gesetzt werden, (Nullstelle der Funktion). Umformen und Vereinfachen und das Lösungsverfahren ist gemacht.

Gruß
MathePower



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x-te Wurzel von x: Muss man dazu nicht a kennen?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Sa 27.08.2005
Autor: Toellner

Hallo Mathepower,

muss man bei Deinem Newtonverfahren nicht a kennen???
Bei der Ableitung fällt es zwar weg, aber Du musst doch auf neue Funktionswerte berechenen: Das a ist ja gerade das gesuchte Ergebnis!
Du kannst es zwar formal mit durchziehen, dann bekommst Du wahrscheinlich eine Reihenentwicklung, aber das ist auch nicht eben gerade schnell...
Oder habe ich hier einen Denkfehler?

Gruß, Richard

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x-te Wurzel von x: a = Radikand
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 So 28.08.2005
Autor: MathePower

Hallo Toellner,

> muss man bei Deinem Newtonverfahren nicht a kennen???

Ja.


>  Bei der Ableitung fällt es zwar weg, aber Du musst doch
> auf neue Funktionswerte berechenen: Das a ist ja gerade das
> gesuchte Ergebnis!

a ist nicht das Ergebnis, sondern x.

>  Du kannst es zwar formal mit durchziehen, dann bekommst Du
> wahrscheinlich eine Reihenentwicklung, aber das ist auch
> nicht eben gerade schnell...


Ich bekomme immer bessere Näherungswerte für die [mm]\sqrt[n]{a}[/mm].


>  Oder habe ich hier einen Denkfehler?
>  
> Gruß, Richard

Gruß
MathePower

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x-te Wurzel von x: P.S.: oder a = n ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Sa 27.08.2005
Autor: Toellner

Schreibfehler?

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x-te Wurzel von x: Mißverständnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:42 So 28.08.2005
Autor: MathePower

Hallo Toellner,

nach dem ich den Artikel gelesen habe, der der URL zugeordnet ist, die Du angegeben hast,  ging ich davon aus, daß ein Lösungsverfahren zur Bestimmung der [mm]\sqrt[n]{a}[/mm] gesucht wird.

Auch zur Berechnung  der [mm]\sqrt[x]{x}[/mm] ist das Newtonverfahren ein gangbares Verfahren.

Gruß
MathePower





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x-te Wurzel von x: Intervallhalbierung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Sa 27.08.2005
Autor: Toellner

Hallo,

nicht das schnellste, aber immer möglich:
Startwerte [mm] a_{0} [/mm] = 1 und  [mm] b_{0} [/mm] = X
Dazwischen liegt auf jeden Fall  [mm] x^{1/x}. [/mm]
s := [mm] (a_{n-1} [/mm] + [mm] b_{n-1})/2 [/mm]
Wenn [mm] s^{x} [/mm] < n, dann [mm] a_{n} [/mm] := s  und  [mm] b_{n} [/mm] = [mm] b_{n-1}, [/mm]
sonst  [mm] a_{n} [/mm] := [mm] a_{n-1} [/mm]  und  [mm] b_{n} [/mm] := s .
Dabei sei x eine ganze Zahl.

Grüße, Richard

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