x^3-y^3=10 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] x^3-y^3=10 [/mm] keine Lösungen in [mm] \IZ [/mm] besitzt. |
Hi,
wie kann ich diese Aufgabe angehen???
ich habe mir erstmal [mm] x^3=10-y^3 [/mm] angeguckt. Aber irgendwie bringt mich das nicht weiter.
Habt ihr vielleicht einen Tipp??
Grüße
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Moin!
> Zeigen Sie, dass [mm]x^3-y^3=10[/mm] keine Lösungen in [mm]\IZ[/mm]
> besitzt.
Verwende die Faktorisierung [mm] x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2).
[/mm]
Sind x,y ganzzahlig, dann auch die Faktoren dieser Zerlegung. Nun kannst du z.B. ganzzahlige Teiler von 10 durchprobieren.
LG
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Hi,
also ganzzahlige Teiler von 10 wären ja dann
-10, -5, -2, -1, 0, 1, 2, 5, 10
so und diese Zahlen jetzt alle dort einsetzten oder wie?? Und wenn ich diese Zahlen dort einsetzen soll, wieso kann ich die nicht schon gleich in
[mm] x^3-y^3 [/mm] einsetzen?? komme irgendwie noch nicht weiter....
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Als aller erstes:
0 ist kein Teiler von 10, denn es gibt kein [mm]z \in \IZ[/mm] mit [mm]0*z = 10[/mm]
Davon abgesehen ja, du musst diese Zahlen da einsetzen...
Wenn du ein paar Überlegungen anstellst kannst du vielleicht einige davon streichen/musst nicht alle einsetzen, aber wenn du alle einsetzt bist du auf jeden Fall fertig.
Der Grund, dass du sie nicht in [mm]x^3 - y^3[/mm] einsetzen konntest ist ganz einfach, dass du hier keine "Beschränkung" hast.
In der faktorisierten Form weißt du, dass du da einen Teiler von 10 haben musst, in der Gleichung [mm]x^3 - y^3 = 10[/mm] könnte zB auch [mm] x^3 [/mm] = 100.000, [mm] y^3 [/mm] = 99.990 (ich weiß, dann wären x und y keine ganzen Zahlen, aber ist ja nur ein Beispiel).
Das heißt in der Ursprungsgleichung hättest du unendlich viele Zahlen einsetzen müssen, hier sind es jetzt nur noch recht wenige.
bzw. ich rechne das mal kurz an der Zahl 2 vor:
Ich setze die erste Klammer auf 2.
Dann weiß ich:
[mm]x-y = 2[/mm]
[mm](x-y)*(x^2 + xy + y^2) = 10 \Rightarrow x^2 + xy + y^2 = 5[/mm]
Somit hat man also zwei Gleichungen und kann diese ganz normal lösen:
[mm]x = 2-y \Rightarrow (2-y)^2 + (2-y)*y + y^2 = 5 \Rightarrow 4 - 4y +y^2 + 2y -y^2 + y^2 = 5 \Rightarrow y^2 - 2y +1 = 2 \Rightarrow (y-1)^2 = 2[/mm]
Dass du da kein [mm]y \in \IZ[/mm] findest dürfte an dieser Stelle klar sein. ;)
Und so einfach einmal für die Teiler durchrechnen (sind ja nicht soo viele *g*)
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Hi an alle nochmal.
Also mir schien jetzt dieser Rechnungsweg von Schadowmaster etwas einfacher, auch wenn er vielleicht zeitaufwendiger ist.
Kann es aber sein, dass du in deiner Rechnung einen Fehler hast? Muss es hier
> $ x-y = 2 $
> $ [mm] (x-y)\cdot{}(x^2 [/mm] + xy + [mm] y^2) [/mm] = 10 [mm] \Rightarrow x^2 [/mm] + xy + [mm] y^2 [/mm] = 5 $
> x = 2-y [mm] \Rightarrow (2-y)^2 [/mm] + [mm] (2-y)\cdot{}y [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 5
nicht eher so lauten:
x=y+2?? Das dann eingesetzt, dann komme ich auf [mm] y(y+2)=\bruch{1}{3}
[/mm]
So, und dieses Spiel habe ich dann auch nochmal für die Zahlen 1, 5 und 10 gemacht und kam dabei auf:
x-y=1: y(y+1)=3
x-y=5: [mm] y(y+5)=\bruch{-23}{3}
[/mm]
x-y=10: y(y+10)=-33
so, reichen diese Zahlen jetzt schon aus,oder muss ich das auch noch mit den negativen Zahlen machen? Also x-y=-1, x-y=-2, x-y=-5, x-y=-10???
grüße
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Hast natürlich recht, ich hab mich da verrechnet, deine Rechnung stimmt. ;)
Und ja, du musst es noch für die negativen machen; so lange du dir die Sache nicht wie von felixf vorgeschlagen in einem Restklassenring betrachten willst, da kannst du dir die negativen mit geschickter Wahl des n sparen...
(an die großen Zahlentheoretiker hier einmal kurz die Frage: Ist die Gleichung über [mm] $\IZ$ [/mm] lösbar so ist sie auch über allen [mm] $\IZ_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] lösbar, also ins besondere auch wenn n keine Primzahl ist, oder?)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 22.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> (an die großen Zahlentheoretiker hier einmal kurz die
> Frage: Ist die Gleichung über [mm]\IZ[/mm] lösbar so ist sie auch
> über allen [mm]\IZ_n, n \in \IN[/mm] lösbar, also ins besondere
> auch wenn n keine Primzahl ist, oder?)
So gross bin ich nicht, aber die Antwort weiss ich trotzdem 
Ja, das ist so.
Die Umkehrung gilt aber i.A. nicht. (Stichwort: Hasse-Prinzip.)
(Man sollte uebrigens keinen zu grossen Modulus waehlen: ist $n = p$ prim, so hat eine Gleichung in zwei Unbestimmten ueber [mm] $\IF_p$ [/mm] immer $p + 1 + t$ Loesungen mit $|t| [mm] \le [/mm] 2 g [mm] \sqrt{p}$, [/mm] wobei $g$ das Geschlecht der Kurve ist -- das ist der Satz von Hasse und Weil. Und da in unserer Gleichung der hoechste Monomialgrad gleich 3 ist, gilt $g [mm] \le \frac{(3 - 1) (3 - 1)}{2} [/mm] = 2$. Damit gilt also $|t| [mm] \le [/mm] 4 [mm] \sqrt{p}$: [/mm] wenn man also $p [mm] \ge [/mm] 16$ waehlt, so gibt es immer eine Loesung der Gleichung modulo $p$.)
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass [mm]x^3-y^3=10[/mm] keine Lösungen in [mm]\IZ[/mm]
> besitzt.
> Hi,
>
> wie kann ich diese Aufgabe angehen???
>
> ich habe mir erstmal [mm]x^3=10-y^3[/mm] angeguckt. Aber irgendwie
> bringt mich das nicht weiter.
>
> Habt ihr vielleicht einen Tipp??
Schau dir die Gleichung modulo 7 an. Was sind dritte Potenzen modulo 7? Kann die Differenz zweier dritter Potenzen modulo 7 gleich 3 modulo 7 sein?
LG Felix
PS: Wie ich auf 7 gekommen bin: ich wollte einen moeglichst kleinen Primzahlmodulus $p$ mit $p - 1$ ist durch 3 teilbar. Das sorgt dafuer, dass es moeglichst wenig dritte Potenzen modulo $p$ gibt, naemlich [mm] $\frac{p - 1}{3} [/mm] + 1 = 3$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 21.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
die von Felix gegebene Lösung ist elegant und eines Zahlentheoretikers würdig. So etwas findet man im Idealfall.
Die Lösung über die Faktorisierung von [mm] x^3-y^3 [/mm] ist ein gewöhnlicher Weg, hat aber auch bei verwandten Aufgaben meist Erfolg bei vertretbarem Aufwand.
Hier wäre auch noch eine Lösung mit brachialer Gewalt vertretbar. Zu betrachten sind nur die dritten Potenzen -8,-1,0,1,8 - alle weiteren sind schon für [mm] x=y\pm1 [/mm] weiter voneinander entfernt, was leicht zu zeigen ist (aber auch noch Schreibarbeit kostet).
Damit bleiben genau 10 "Abstände" zwischen diesen Potenzen zu prüfen:
7,1,1,7,8,2,8,9,9,16. Da ist die 10 nicht dabei.
Hätte die Aufgabe aber geheißen: Zeigen Sie, dass [mm] x^3-y^3=5.818.525.799.892.717.735.803.046.210 [/mm] nicht mit [mm] x,y\in\IZ [/mm] lösbar ist, dann wäre wohl nur noch der Weg von Felix in Frage gekommen.
Nebenbei:
[mm] 5.818.525.799.892.717.735.803.046.210=2*3*5*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73\equiv 3\mod{7}
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Di 21.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin reverend,
> Hätte die Aufgabe aber geheißen: Zeigen Sie, dass
> [mm]x^3-y^3=5.818.525.799.892.717.735.803.046.210[/mm] nicht mit
> [mm]x,y\in\IZ[/mm] lösbar ist, dann wäre wohl nur noch der Weg von
> Felix in Frage gekommen.
haette man dagegen [mm] $x^3 [/mm] - [mm] y^3 [/mm] = 5.818.525.799.892.717.735.803.046.203$, so koennte man wieder den anderen Weg beschreiten. Wenn auch wohl nur unter Zuhilfenahme eines Computers.
($5.818.525.799.892.717.735.803.046.203$ ist prim und kongruent zu 3 modulo 7.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Di 21.06.2011 | | Autor: | reverend |
Moin Felix,
> haette man dagegen [mm]x^3 - y^3 = 5.818.525.799.892.717.735.803.046.203[/mm],
> so koennte man wieder den anderen Weg beschreiten. Wenn
> auch wohl nur unter Zuhilfenahme eines Computers.
>
> ([mm]5.818.525.799.892.717.735.803.046.203[/mm] ist prim und
> kongruent zu 3 modulo 7.)
Naja, schon. Fragt sich nur, ab wann sich die Mühe noch lohnt.
[mm] 5.818.525.799.892.717.735.803.046.245_{} [/mm] hat nur zwei Primteiler, darunter die 5. Selbst das geht noch.
Bei [mm] 5.818.525.799.892.717.735.803.046.763=30.589.717*190.211.821.831.915.533.439_{} [/mm] wirds aber schon wieder ungemütlicher.
Computer schaden der Zahlentheorie doch nicht, solange man sich nur Beispiele für unübersichtliche Zahlen berechnen lässt, aber das Streben nach Eleganz fördern sie ja nun auch nicht gerade. Glücklicherweise sind sie in der Zahlentheorie meist nutzlos für die eigentliche Beweisführung.
Grüße
reverend
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