x=cos(x) < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
also ich habe da ein beispiel, nämlich x=cos(x) und nun soll ich den fixpunkt berechnen mit x aus [0,1]
Nach dem Banachschen Fixpunktsatz muss cos(x) doch eine selbst abbilung sein damit es einen fixpunkt gibt. nun ist aber cos(x) mit x aus [0,1] und cos(x) aus [1,cos(1)=0,54] keine selbstabbildung.
dann wäre noch zu zeigen dass es eine kontraktion ist, aber das brauch ich ja nicht mehr da es keine selbstabb ist,oder?
vielleicht habe ich beim satz nur was nicht verstanden.
vielen dank für die hilfe.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> also ich habe da ein beispiel, nämlich x=cos(x) und nun
> soll ich den fixpunkt berechnen mit x aus [0,1]
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> Nach dem Banachschen Fixpunktsatz muss cos(x) doch eine
> selbst abbilung sein damit es einen fixpunkt gibt. nun ist
> aber cos(x) mit x aus [0,1] und cos(x) aus [1,cos(1)=0,54]
> keine selbstabbildung.
Setze $f(x) = cos(x)$. Für x [mm] \in [/mm] [0,1] ist f(x) [mm] \in [/mm] [0,1], also ist f eine Selbstabbildung des Intervalls [0,1]
> dann wäre noch zu zeigen dass es eine kontraktion ist,
Ja, das mußt Du noch zeigen.
Tipps:
1. Für x [mm] \in [/mm] [0,1] ist $|f'(x)| = sin(x) [mm] \le [/mm] sin(1) =:q$. Dann ist 0 [mm] \le [/mm] q <1
2. Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass
$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] q|x-y|$ für x,y [mm] \in [/mm] [0,1]
ist.
FRED
> aber das brauch ich ja nicht mehr da es keine selbstabb
> ist,oder?
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> vielleicht habe ich beim satz nur was nicht verstanden.
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> vielen dank für die hilfe.
> lg
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> > Hallo,
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> > also ich habe da ein beispiel, nämlich x=cos(x) und nun
> > soll ich den fixpunkt berechnen mit x aus [0,1]
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> > Nach dem Banachschen Fixpunktsatz muss cos(x) doch eine
> > selbst abbilung sein damit es einen fixpunkt gibt. nun ist
> > aber cos(x) mit x aus [0,1] und cos(x) aus [1,cos(1)=0,54]
> > keine selbstabbildung.
>
Vielen Danke für die schnelle Antwort.
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> Setze [mm]f(x) = cos(x)[/mm]. Für x [mm]\in[/mm] [0,1] ist f(x) [mm]\in[/mm] [0,1],
> also ist f eine Selbstabbildung des Intervalls [0,1]
achsoooo ... ok, hab ich das jez richtig verstanden ... selbstabbildung heisst das intervall vom bild von f(x) muss nicht "ausgefüllt" sein da cos ja eine monotone funktion ist und cos(1)=0,54 heisst das f(x) im zwischen 0 und 0,54 für x aus (0,1) ist????
ich meine es bildet auf keine werte über 0,54 ab, aber es ist trotzdem im intervall (0,1)
stimmt meine denkweise?!
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> > dann wäre noch zu zeigen dass es eine kontraktion ist,
>
>
> Ja, das mußt Du noch zeigen.
>
> Tipps:
>
> 1. Für x [mm]\in[/mm] [0,1] ist [mm]|f'(x)| = sin(x) \le sin(1) =:q[/mm].
> Dann ist 0 [mm]\le[/mm] q <1
>
> 2. Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass
>
> [mm]|f(x)-f(y)| \le q|x-y|[/mm] für x,y [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> ist.
danke =)
>
> FRED
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> > aber das brauch ich ja nicht mehr da es keine selbstabb
> > ist,oder?
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> > vielleicht habe ich beim satz nur was nicht verstanden.
> >
> > vielen dank für die hilfe.
> > lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Do 25.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, wenn die Abb immer in dasselbe Intervall wäre könnte sie ja nicht kontrahierend sein!
Gruss leduart
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> Hallo
> richtig, wenn die Abb immer in dasselbe Intervall wäre
> könnte sie ja nicht kontrahierend sein!
> Gruss leduart
solche bemerkungen versüßen mir den tag ... jez versteh ich auch ein bisschen mehr die kontraktion!
das würde dann heissen bei mehrfacher anwendung kann ich das intervall auf dass eine kontraktion abbildet beliebig klein machen, oder?
ich geh jez mal davon aus dass diese überlegung stimmt ... wie kann ich mir das dann vorstellen bei der methode der sukzessiven approx zum beispiel, also rechnerisch ist schon klar was zu tun ist, aber die vorstellung fehlt einfach =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir hierdrin
http://www.tinohempel.de/info/mathe/iter/haus.pdf
mal die Bilder auf Seite 21 an
FRED
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danke FRED!
zurück zum beispiel hätt ich noch ne frage ...
nun habe ich gezeigt dass es selbstabbildung und kontraktion ist ...
jetzt gehts ans berechnen ...
ich könnte ja einfach [mm] x_{k+1}=cos(x_k) [/mm] mit [mm] x_0=0 [/mm] und irgendwann zu meiner lösung gelangen ...
wieso aber muss ich nun f(x) = x-cos(x) taylorentwickeln damit ich zur form [mm] x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k) [/mm] (in diesem fall f'(Xi) = [mm] f'(x_k) [/mm] also newton verfahren) komme??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> danke FRED!
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> zurück zum beispiel hätt ich noch ne frage ...
>
> nun habe ich gezeigt dass es selbstabbildung und
> kontraktion ist ...
>
> jetzt gehts ans berechnen ...
> ich könnte ja einfach [mm]x_{k+1}=cos(x_k)[/mm] mit [mm]x_0=0[/mm] und
> irgendwann zu meiner lösung gelangen ...
Genau
>
> wieso aber muss ich nun f(x) = x-cos(x) taylorentwickeln
> damit ich zur form [mm]x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)[/mm] (in diesem
> fall f'(Xi) = [mm]f'(x_k)[/mm] also newton verfahren) komme??
Wer sagt, dass Du das mußt ?
FRED
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> > danke FRED!
> >
> > zurück zum beispiel hätt ich noch ne frage ...
> >
> > nun habe ich gezeigt dass es selbstabbildung und
> > kontraktion ist ...
> >
> > jetzt gehts ans berechnen ...
> > ich könnte ja einfach [mm]x_{k+1}=cos(x_k)[/mm] mit [mm]x_0=0[/mm] und
> > irgendwann zu meiner lösung gelangen ...
>
>
> Genau
> >
> > wieso aber muss ich nun f(x) = x-cos(x) taylorentwickeln
> > damit ich zur form [mm]x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)[/mm] (in diesem
> > fall f'(Xi) = [mm]f'(x_k)[/mm] also newton verfahren) komme??
>
> Wer sagt, dass Du das mußt ?
hehe ... also wir habens so in der vorlesung gemacht ...
Frage: wie konstriert man Phi(x)
gesucht war [mm] x_q [/mm] aus [a,b] mit [mm] f(x_q)=0
[/mm]
dann haben wir taylorentwickelt und sind auf die form
[mm] x_q=x_k-f(x_k)/f'(Xi) [/mm] ... wobei [mm] x_k [/mm] eine näherungslösung ist ...
dann haben wir die sehnenmethode, sekantenmeth und newtonverfahren gemacht...aber das war vl nur für die herleitung des newtonverfahrens ...
hmm ... dann aber stell ich mir grad die frage wieso gibts denn diese 3 angesprochenen verfahren wenns eh so einfach geht ... mit [mm] x_{k+1}=Phi(x_k) [/mm] und einfach einsetzen ...
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> FRED
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Hi,
die anderen Verfahren nimmst du, wenn z.B. die Ableitung nicht bekannt oder zu aufwendig zu bestimmen ist.
Das Newton-Verfahren ist eine Fixpunktiteration mit [mm] \Phi(x_{k}) [/mm] = [mm] x_{k} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{k})}{f'(x_{k})}
[/mm]
Gruss Christian
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und dann versucht man je nach methode die ableitung an der zwischenstelle zu approximieren und diese approximation macht unter anderem newton ... richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 25.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn da einfach nur steht, du sollst den Fixpunkt bestimmen, kanns tu das einfach mit [mm] x_k=cos(x_{k-1} [/mm] machen.
Wenn da steht du sollst das Newtonverfahren verwenden, mach das
wenn du allerdings mit [mm] x_0=0 [/mm] anfängst kommst du aus dem intervall (0,1)fast raus.
das Newtonverfahren hat den Vorteil, dass es sehr viel schneller konvergiert.
Für das Newtonverfahren muss man die ableitung kennen, nicht approximieren. ich versteh nicht, was du meinst?
gruss leduart
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> Hallo
> Wenn da einfach nur steht, du sollst den Fixpunkt
> bestimmen, kanns tu das einfach mit [mm]x_k=cos(x_{k-1}[/mm] machen.
> Wenn da steht du sollst das Newtonverfahren verwenden, mach
> das
> wenn du allerdings mit [mm]x_0=0[/mm] anfängst kommst du aus dem
> intervall (0,1)fast raus.
> das Newtonverfahren hat den Vorteil, dass es sehr viel
> schneller konvergiert.
> Für das Newtonverfahren muss man die ableitung kennen,
> nicht approximieren. ich versteh nicht, was du meinst?
ist klar.
ich meinte man versucht den punkt f'(Xi) durch [mm] f(x_k) [/mm] zu approximieren beim newtonschen näherungsverfahren.
das heisst aber newtonverf wird verwendet weil es eben schneller konvergiert als einfach nur bei diesem beispiel [mm] x_k=cos(x_{k-1}), [/mm] richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Do 25.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein! man sucht eine Nullstelle der fkt f(x), das Verfahren das man verwendet, kann man auch ein Fixpunktverfahren für die "Newtonfkt". N(x)=x=x+(f)x)/f'(x) auffassen
wenn x=x+(f)x)/f'(x) ist ist f(x)=0 Man will und bekommt dabei keine Approx. von f'
Schau dir die Animation in wiki mal an.
![[]](/images/popup.gif)
hier
Gruss leduart
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habe ich gerade gemacht und mir das newtverf von der geometrischen seite konstruiert.
nun die approximation die ich meine ist folgende.
man hat eine funktion f(x) mit [mm] f(x_q)=0
[/mm]
es ist ausserdem klar dass für [mm] x_k=g(x_{k-1}), [/mm] g(x) eine kontraktion und selbst abbildung ist.
nun entwickle ich mittels taylor um eine näherungslösung [mm] x_k
[/mm]
und bekomme
[mm] 0=f(x_q)=f(x_k)+f'(X)*(x_q-x_k) [/mm] mit einer zwischenwertstelle X
umgeformt ergibt das aber nun
[mm] x_q=x_k-f(x_k)/f'(X)!
[/mm]
und hier kommt diese approximation von newton ins spiel indem er f'(X) mit [mm] f'(x_k) [/mm] annähert
und wir bekommen [mm] x_{x+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)
[/mm]
das meinte ich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Fr 26.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist eine möglichkeit um das Newtonverfahren plausibel zu machen. es hat nichts direkt damit zu tun, dass es dann unterbestimmten Vors. auch konvergiert.
Was war nun die Frage?
gruss leduart
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