x²/(4-x²) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Di 08.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Weiß jemand, wie man das hier ohne Partialbruchzerlegung kleinkriegt?
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x²}{4-x²} dx}
[/mm]
Ersetzt habe ich vergeblich, x²=t bringt nicht viel, bei x²=sint bleibe ich irgendwann an [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{cost} dt} [/mm] hängen.
Partielle Integration, wenn ich das Integral in [mm] \integral_{}^{}{x\bruch{x}{4-x²} dx} [/mm] umschreibe, bringt mich auch nicht weiter.
Danke!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Di 08.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
Formen wir den Bruch wie folgt um:
[mm] $$\bruch{x^2}{4-x^2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{-x^2}{4-x^2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{4-x^2-4}{4-x^2} [/mm] \ = \ [mm] -\left(\bruch{4-x^2}{4-x^2}-\bruch{-4}{4-x^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] -1+\bruch{4}{4-x^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 08.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi, danke erstmal!
Jo, das habe ich auch schon probiert, aber [mm] \bruch{4}{4-x²} [/mm] zu integrieren wollte mir auch nicht so recht gelingen.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Di 08.04.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Teufel!
Musst du den unbedingt den Term [mm] \bruch{4}{4-x²} [/mm] ohne Partialbruchzerlegung integrieren?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Di 08.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hm, ausdrücklich ausgeschlossen ist es nicht, und ich weiß auch, dass ich dann [mm] \bruch{1}{x+2}-\bruch{1}{x-2} [/mm] draus machen könnte, aber in der Schule lernt man das ja im Normalfall nicht kennen, und so schummeln will ich ja auch nicht ;) Zumindest, wenn es auch mit anderen Methoden geht.
Teufel
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Hallo Teufel,
ich habe noch eine Idee, wie es mit partieller Integration klappen könnte.
Schreibe dazu das Integral ein wenig um:
[mm] $\int{\frac{x^2}{4-x^2} \ dx}=\int{x\cdot{}\frac{x}{4-x^2} \ dx}=\blue{-\frac{1}{2}}\cdot{}\int{x\cdot{}\frac{\blue{-2}\cdot{}x}{4-x^2} \ dx}$
[/mm]
Nun versuche mal eine partielle Integration, nimm dazu $u=x$ und [mm] $v'=\frac{-2x}{4-x^2}$
[/mm]
Beachte, dass du, wenn du eine Stammfkt zu $v'$ berechnest, ein logarithmisches Integral erhältst
Oder, um es "zu Fuß" auszurechnen, substituiere [mm] $z:=4-x^2$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Di 08.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi, danke!
Ja, da war ich auch schon, aber ich merke gerade, dass ich da nicht ganz zu Ende gedacht habe. Musste dann ln(4-x²) integrieren und hab dann wohl wegen den Fehlschlägen davor an der Stelle aufgehört anstatt den Logarithmus einfach mal aufzuspalten.
Danke dir!
Teufel
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