x² und x in einer Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 23.11.2011 | | Autor: | BB86303 |
Wie kann ich eine Gleichung lösen, in der eine Variable in verschiedenen Potenzen vorkommt? Ich hatte hier spontan an binomische Formeln gedacht, aber wenn ich die Gleichung umforme, hilft mir das nicht weiter. Dann habe ich über Wurzelgleichungen nachgelesen, aber auch da fehlt mir der zündende Gedanke.
Oder bin ich völlig auf dem falschen Weg? (Mein Mathe-Schulunterricht ist fast 30 Jahre her, daher habe ich sicher das eine oder andere Brett vor dem Kopf.)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke!
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> x² + 11x = 2420
> Wie kann ich eine Gleichung lösen, in der eine Variable
> in verschiedenen Potenzen vorkommt? Ich hatte hier spontan
> an binomische Formeln gedacht, aber wenn ich die Gleichung
> umforme, hilft mir das nicht weiter. Dann habe ich über
> Wurzelgleichungen nachgelesen, aber auch da fehlt mir der
> zündende Gedanke.
>
> Oder bin ich völlig auf dem falschen Weg? (Mein
> Mathe-Schulunterricht ist fast 30 Jahre her, daher habe ich
> sicher das eine oder andere Brett vor dem Kopf.)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Danke!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
binomische Formeln: gute Idee !
Es gilt: $\ [mm] (x+u)^2\ [/mm] =\ [mm] x^2+2*u*x+u^2$
[/mm]
Wähle nun den Wert von u so, dass du das lineare Glied $\ 11*x$
in der Gleichung mit dem linearen Glied $\ 2*u*x$ in der Formel
identifizieren kannst ! Dabei wirst du dich wohl erinnern, wie
es weiter gehen könnte ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Mi 23.11.2011 | | Autor: | BB86303 |
Danke für die Antwort! Da bin ich ja schon mal froh, dass ich mit den binomischen Formeln auf dem richtigen Weg bin. Es irritiert mich aber nach wie vor, dass nach dem Umformen meiner Gleichung da steht:
x² + 11x - 2420 = 0
$ \ [mm] (x+u)^2\ [/mm] =\ [mm] x^2+2\cdot{}u\cdot{}x+u^2 [/mm] $
ist mir soweit klar. Aber habe ich da nicht
$ \ 0\ =\ [mm] x^2+2\cdot{}u\cdot{}x-u^2 [/mm] $
stehen? Das "minus" irritiert mich, da es doch in den ersten beiden Formeln immer + u² heißt. In der dritten gibt es zwar - u², aber dafür heben sich die beiden ux gegenseitig auf. Daher sehe ich nicht, welche Formel hier passen sollte. Wo ist mein Denkfehler?
Um $ \ [mm] 11\cdot{}x [/mm] $ zu $ \ [mm] 2\cdot{}u\cdot{}x [/mm] $ zu machen: $ \ [mm] 2\cdot{}5,5\cdot{}x [/mm] $
Leider weiß ich trotzdem noch nicht, wie mir das weiterhelfen könnte.
Danke!
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Hallo BB86303,
> Danke für die Antwort! Da bin ich ja schon mal froh, dass
> ich mit den binomischen Formeln auf dem richtigen Weg bin.
> Es irritiert mich aber nach wie vor, dass nach dem Umformen
> meiner Gleichung da steht:
>
> x² + 11x - 2420 = 0
>
> [mm]\ (x+u)^2\ =\ x^2+2\cdot{}u\cdot{}x+u^2[/mm]
>
> ist mir soweit klar. Aber habe ich da nicht
>
> [mm]\ 0\ =\ x^2+2\cdot{}u\cdot{}x-u^2[/mm]
>
Zunächst steht doch da:
[mm]x^{2}+11*x=\left(x+u\right)^{2}-u^{2}[/mm]
Dann kannst Du die obige Gleichung umschreiben:
[mm]x^{2} + 11x - 2420 = \left(x+u\right)^{2}-u^{2}-2420 = 0[/mm]
Zu lösen ist dann:
[mm]\left(x+u\right)^{2}-u^{2}-2420 = 0[/mm]
> stehen? Das "minus" irritiert mich, da es doch in den
> ersten beiden Formeln immer + u² heißt. In der dritten
> gibt es zwar - u², aber dafür heben sich die beiden ux
> gegenseitig auf. Daher sehe ich nicht, welche Formel hier
> passen sollte. Wo ist mein Denkfehler?
>
> Um [mm]\ 11\cdot{}x[/mm] zu [mm]\ 2\cdot{}u\cdot{}x[/mm] zu machen: [mm]\ 2\cdot{}5,5\cdot{}x[/mm]
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> Leider weiß ich trotzdem noch nicht, wie mir das
> weiterhelfen könnte.
>
> Danke!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mi 23.11.2011 | | Autor: | BB86303 |
Diese Antwort hat mich zunächst endgültig verwirrt :) Ist halt doch alles ganz schön lange her. Dann warf der Mann einer Kollegin ein, ich müsse doch "nur" die pq-Formel verwenden. Damit kann ich es jetzt zwar ausrechnen, aber ich weiß immer noch nicht, was ich da eigentlich tue.
Bei dem Versuch, die Herleitung der pq-Formel zu verstehen, bin ich nochmal die quadratische Ergänzung durchgegangen und habe jetzt immerhin verstanden, dass das Problem, das ich bisher gar nicht erkannt hatte, ist, dass meine Gleichung gar kein vollständiges Quadrat ist. Ist das soweit richtig? War es das, was MathePower mir sagen wollte?
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> Diese Antwort hat mich zunächst endgültig verwirrt :) Ist
> halt doch alles ganz schön lange her. Dann warf der Mann
> einer Kollegin ein, ich müsse doch "nur" die pq-Formel
> verwenden. Damit kann ich es jetzt zwar ausrechnen, aber
> ich weiß immer noch nicht, was ich da eigentlich tue.
Hallo,
.
Du kannst es ja trotzdem mal mit der pq-Formel rechen, dann hast Du schonmal Lösungen, die Du mit denen vergleichen kannst, die wir gleich gewinnen werden.
Lösen möchtest Du
x² + 11x = 2420 .
Irgendwie scheinst Du erkannt zu haben, daß es gut wäre, wenn Du links einen Ausdruck der Gestalt [mm] (x^2+...)^2 [/mm] stehen hättest.
Dann überlege doch mal, welche Zahl Dir links zum binomischen Glück fehlt.
Diese Zahl addiere nun links und rechts - wenn man sie nicht auf beiden Seiten addiert, stimmt die Waage (Gleichung) ja nicht.
Wenn Du jetzt links die binomische Formel in die Waagschale wirfst, hast Du dastehen
[mm] (x+...)^2=Zahl
[/mm]
Also ist [mm] x+...=\wurzel{Zahl} [/mm] oder [mm] x+...=-\wurzel{Zahl}.
[/mm]
Aus diesen beiden Gleichungen gewinnst Du nun die beiden Lösungen.
Ich hoffe, daß Du meinem angedeuteten Lösungsweg folgen und die Lösung finden kannst. Sonst frag nochmal nach.
>
> Bei dem Versuch, die Herleitung der pq-Formel zu verstehen,
> bin ich nochmal die quadratische Ergänzung durchgegangen
> und habe jetzt immerhin verstanden, dass das Problem, das
> ich bisher gar nicht erkannt hatte, ist, dass meine
> Gleichung gar kein vollständiges Quadrat ist. Ist das
> soweit richtig?
Ja, genau.
> War es das, was MathePower mir sagen
> wollte?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Mi 23.11.2011 | | Autor: | BB86303 |
[mm] x^2 + 11x + (\bruch{11}{2})^2 = 2420 + (\bruch{11}{2})^2 [/mm]
[mm] (x + \bruch{11}{2})^2 = 2450,25 [/mm]
[mm] x + \bruch{11}{2} = \wurzel{2450,25} [/mm]
[mm] x = \wurzel{2450,25} - \bruch{11}{2} [/mm]
Also ist x entweder 44 oder -55.
(Ich hoffe, ich habe mich bei den Formeln jetzt nicht vertippt, bei mir auf dem Papier stimmt es jetzt jedenfalls.)
Danke, danke, danke! Die Herleitung der pq-Formel konnte ich inzwischen auch nachvollziehen, aber reproduzieren könnte ich das wohl (noch) nicht. Aber das hier ist mir jetzt klar. Vielen Dank für die Hilfe.
Grüße von BB
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, nach deiner Rechnung hast du nur 44 raus
[mm] (x+5,5)^{2}=2450,25
[/mm]
wenn du die Wurzel ziehst
[mm] x+5,5=\pm49,5
[/mm]
Steffi
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