x*exp(-x²) integriereb < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Do 20.01.2011 | | Autor: | Sarotti |
| Aufgabe | Berechnen sie die folgenden uneigentlichen Integrale
Integral von 1- unendlich
x*exp(-x²) dx |
Hey,
Ich verstehe den Lösungsweg einfach nicht, bzw. wie ich das exp(-x²) integrieren soll.
Eigentlich müsste man dies doch mit partieller Ableitung lösen können, oder nicht?
Quasi dass man sagt der Lim ist a-> unendlich und dann nach der
u(x)*v(x) - [mm] \integral_{a}^{b}{u(x) * v'(x) dx} [/mm] Formel partiell integriert.
Das Problem ist allerdings wie ich das exp(x²) integriere, das 1/k * exp(k) doch nicht richtig ist oder?
Unser Tutor hat als ersten Schritt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{1}^{n}{- 1/2 -2x exp(-x²) dx} [/mm] raus, allerdings hab ich keine Idee wie er da drauf gekommen sein könnte.
Per google hab ich leider auch nichts einleuchtendes gefunden und darum wollte ich hier mal fragen.
Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke schonmal im voraus
Grüße
Sarotti
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Do 20.01.2011 | | Autor: | Sarotti |
Da ich seit inigen Minuten die Edit funktion suche und nicht finde muss ich leider wider der Übersichtlichkeit, noch nen Beitrag schreiben
Unser Tutor hat als ersten Schritt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] - 1/2 [mm] \integral_{1}^{n}{-2 x * exp(-x²) dx} [/mm] , sprich das - 1/2 vor dem Integral, nich im Integral
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Hi,
> Berechnen sie die folgenden uneigentlichen Integrale
>
> Integral von 1- unendlich
>
> x*exp(-x²) dx
> Hey,
> Ich verstehe den Lösungsweg einfach nicht, bzw. wie ich
> das exp(-x²) integrieren soll.
>
> Eigentlich müsste man dies doch mit partieller Ableitung
> lösen können, oder nicht?
>
> Quasi dass man sagt der Lim ist a-> unendlich und dann nach
> der
>
> u(x)*v(x) - [mm]\integral_{a}^{b}{u(x) * v'(x) dx}[/mm] Formel
> partiell integriert.
>
> Das Problem ist allerdings wie ich das exp(x²) integriere,
> das 1/k * exp(k) doch nicht richtig ist oder?
>
> Unser Tutor hat als ersten Schritt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{1}^{n}{- 1/2 -2x exp(-x²) dx}[/mm]
> raus, allerdings hab ich keine Idee wie er da drauf
> gekommen sein könnte.
>
> Per google hab ich leider auch nichts einleuchtendes
> gefunden und darum wollte ich hier mal fragen.
>
> Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
> Danke schonmal im voraus
> Grüße
> Sarotti
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zur Lösung brauchst du mehrere Schritte, aber einer der ersten ist wohl die Suche nach einer Stammfunktion von $f(x) = [mm] x*e^{-x^{2}}$.
[/mm]
Die Idee über die Produktintegration ist ungünstig, weil das [mm] e^{-x^{2}} [/mm] so unhandlich ist, z.B. gibt es dazu keine Stammfunktion.
Aber es gibt einen anderen Weg: Wenn du die Stammfunktion ableitest, kommt ja dein f(x) heraus.
Welche Ableitungsregeln kennst du so? Naja, außer den ganz einfachen sicher noch die Produktregel (korrespondierend zur partiellen Integration) und die Kettenregel (korrespondierend zur Integration durch Substitution).
Produktregel ist erstmal außen vor, weil dann ja dein f die Gestalt TERM1 + TERM2 haben sollte (wenn man pingelig ist: natürlich kann eine Ableitung auch eine andere Gestalt haben - aber erst nach Umformungen).
Kettenregel sieht so aus: innere Ableitung * äußere Ableitung.
Das sieht doch hier schon eher danach aus: $x * [mm] e^{-x^{2}}$.
[/mm]
Jetzt die Überlegung: Der "e-Term" muss eigentlich schon so in der Stammfunktion auftauchen.
Leite also einfach mal [mm] $e^{-x^{2}}$ [/mm] ab, das ergibt $-2x * [mm] e^{-x^{2}}$, [/mm] also schon fast deine gesuchte Funktion f.
Die kleine Korrektur mit der -2 bekommst du jetzt bestimmt selbst hin.
Denn wenn du dir die Zeile deines Tutors mal anschaust (ich vermute, da ist beim Eintippen etwas schiefgegangen), dann steht da:
$f(x) = [mm] -\bruch{1}{2}*\left(-2x*e^{-x^{2}}\right)$
[/mm]
Wenn du dann die Stammfunktion hast, musst du im zweiten Schritt noch die Grenzwertbildung machen, aber das ist auch sehr einfach.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 20.01.2011 | | Autor: | Sarotti |
Hey Weightgainer,
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Allerdings versteh ich nicht ganz was du meinst...
Aber es gibt einen anderen Weg: Wenn du die Stammfunktion ableitest, kommt ja dein f(x) heraus.
Das ist klar, allerdings kenne ich doch meine Stammfunktion garnicht, weshalb ich meiner Meinung nach auch nicht die Kettenregel nutzen kann.
Jetzt die Überlegung: Der "e-Term" muss eigentlich schon so in der Stammfunktion auftauchen.
Leite also einfach mal $ [mm] e^{-x^{2}} [/mm] $ ab, das ergibt $ -2x [mm] \cdot{} e^{-x^{2}} [/mm] $, also schon fast deine gesuchte Funktion f.
Wieso darf ich da dann einfach ableiten? Damit zerstör ich doch eigtl. die Ausgangsfunktion die ich integrieren soll oder nicht?
Hmm, die Aufgabe ist zum verzweifeln^^. Man sollte eindeutig nicht kranksein wenn man uneigentliche Integrale im Tutorium hat:P
Angenommen ich nehme den Term [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] - 1/2 [mm] \integral_{1}^{n}{-2x * e^-x² dx} [/mm] als gegeben hin, ohne zu wissen wie ich drauf komme, da ich aus deiner antwort leider nicht richtig schlau werde:/
Dann muss ich doch, um das gesuchte Integral - 1/2 [e^-x²]1-a, partiell integrieren oder substituieren oder nicht?
Diese Aufgabe macht mich noch wahnsinnig... Ich sitz schon seit ca. 2 Stunden dran um den rechenweg zu rekapitulieren, das kann doch garnicht sein-.-
Grüße
Sarotti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Wie wärs damit:
Substituiere [mm] u=-x^2
[/mm]
FRED
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Du suchst eine Stammfunktion zu $f(x) = [mm] x*e^{-x^{2}}$.
[/mm]
Jetzt weißt du (z.B. weil ich das geschrieben habe):
Für $g(x) = [mm] e^{-x^{2}}$ [/mm] ist $g'(x) = [mm] -2x*e^{-x^{2}}$.
[/mm]
Dein f entspricht logisch jetzt dem g', denn du suchst eine Stammfunktion von f.
Problem: es passt noch nicht ganz.
Wenn deine Funktion jetzt $f(x) = [mm] -2x*e^{-x^{2}}$ [/mm] wäre (ist sie aber nicht), dann hättest du eine Stammfunktion.
Zum Glück ist es so, dass du jetzt das machen kannst, was dein Tutor auch gemacht hat:
Schreibe $f(x) = [mm] -\bruch{1}{2}* (-2)*x*e^{-x^{2}}$.
[/mm]
Das klappt, weil [mm] $-\bruch{1}{2}* [/mm] (-2) = 1$ ist.
Bei der Integration darfst du einen konstanten Faktor, hier die [mm] $-\bruch{1}{2}$ [/mm] vor das Integral ziehen und schon hast du genau das in deinem Integral stehen, wovon du eine Stammfunktion kennst.
Ist das so ein bisschen verständlicher?
lg weightgainer
p.s. Fred hat dir ja die richtige Substitution vorgeschlagen - das steckt im Prinzip auch in meiner Idee drin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> > Berechnen sie die folgenden uneigentlichen Integrale
> >
> > Integral von 1- unendlich
> >
> > x*exp(-x²) dx
> > Hey,
> > Ich verstehe den Lösungsweg einfach nicht, bzw. wie ich
> > das exp(-x²) integrieren soll.
> >
> > Eigentlich müsste man dies doch mit partieller Ableitung
> > lösen können, oder nicht?
> >
> > Quasi dass man sagt der Lim ist a-> unendlich und dann nach
> > der
> >
> > u(x)*v(x) - [mm]\integral_{a}^{b}{u(x) * v'(x) dx}[/mm] Formel
> > partiell integriert.
> >
> > Das Problem ist allerdings wie ich das exp(x²) integriere,
> > das 1/k * exp(k) doch nicht richtig ist oder?
> >
> > Unser Tutor hat als ersten Schritt
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{1}^{n}{- 1/2 -2x exp(-x²) dx}[/mm]
> > raus, allerdings hab ich keine Idee wie er da drauf
> > gekommen sein könnte.
> >
> > Per google hab ich leider auch nichts einleuchtendes
> > gefunden und darum wollte ich hier mal fragen.
> >
> > Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
> > Danke schonmal im voraus
> > Grüße
> > Sarotti
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> Zur Lösung brauchst du mehrere Schritte, aber einer der
> ersten ist wohl die Suche nach einer Stammfunktion von [mm]f(x) = x*e^{-x^{2}}[/mm].
>
> Die Idee über die Produktintegration ist ungünstig, weil
> das [mm]e^{-x^{2}}[/mm] so unhandlich ist, z.B. gibt es dazu keine
> Stammfunktion.
Das stimmt aber nicht !! Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion (Hauptsatz der Diff. - und Integralrechnung)
Wenn Du gemeint haben solltest: " eine Stammfunktion von [mm]e^{-x^{2}}[/mm] lässt sich nicht elementar hinschreiben", so hast Du recht.
FRED
>
> Aber es gibt einen anderen Weg: Wenn du die Stammfunktion
> ableitest, kommt ja dein f(x) heraus.
> Welche Ableitungsregeln kennst du so? Naja, außer den
> ganz einfachen sicher noch die Produktregel
> (korrespondierend zur partiellen Integration) und die
> Kettenregel (korrespondierend zur Integration durch
> Substitution).
>
> Produktregel ist erstmal außen vor, weil dann ja dein f
> die Gestalt TERM1 + TERM2 haben sollte (wenn man pingelig
> ist: natürlich kann eine Ableitung auch eine andere
> Gestalt haben - aber erst nach Umformungen).
> Kettenregel sieht so aus: innere Ableitung * äußere
> Ableitung.
>
> Das sieht doch hier schon eher danach aus: [mm]x * e^{-x^{2}}[/mm].
>
> Jetzt die Überlegung: Der "e-Term" muss eigentlich schon
> so in der Stammfunktion auftauchen.
> Leite also einfach mal [mm]e^{-x^{2}}[/mm] ab, das ergibt [mm]-2x * e^{-x^{2}}[/mm],
> also schon fast deine gesuchte Funktion f.
>
> Die kleine Korrektur mit der -2 bekommst du jetzt bestimmt
> selbst hin.
>
> Denn wenn du dir die Zeile deines Tutors mal anschaust (ich
> vermute, da ist beim Eintippen etwas schiefgegangen), dann
> steht da:
>
> [mm]f(x) = -\bruch{1}{2}*\left(-2x*e^{-x^{2}}\right)[/mm]
>
> Wenn du dann die Stammfunktion hast, musst du im zweiten
> Schritt noch die Grenzwertbildung machen, aber das ist auch
> sehr einfach.
>
>
> lg weightgainer
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Ja sorry, du hast absolut Recht - da fehlt mir noch das Gespür beim Abwägen zwischen Korrektheit und Verständnis.
Dieses Mal ging beides daneben, meine Antwort war nicht zu verstehen und korrekt war es auch nicht..... nächstes Mal wird es bestimmt wieder besser 
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 So 23.01.2011 | | Autor: | Sarotti |
Hey,
vielen Dank für die schnellen und hilfreichen Antworten, habs jetzt verstanden
Grüße
Sarotti
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