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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - x gleichzeitig Pol und Nullst.
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x gleichzeitig Pol und Nullst.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 So 06.07.2008
Autor: jarjar2008

Sagen wir ich habe eine Funktion, bei der ein [mm] x_{0} [/mm] gleichzeitig Nullstelle und mehrfache Polstelle ist ...

Was ist die Ordnung von einem solchen [mm] x_{0}? [/mm]

        
Bezug
x gleichzeitig Pol und Nullst.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 So 06.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Sagen wir ich habe eine Funktion, bei der ein [mm]x_{0}[/mm]
> gleichzeitig Nullstelle und mehrfache Polstelle ist ...
>  
> Was ist die Ordnung von einem solchen [mm]x_{0}?[/mm]


Normalerweise tritt so etwas gar nicht auf !

Du denkst wohl an Beispiele wie etwa

[mm] f(x)=\bruch{(x-3)*(2x+1)}{(x^2-9)*(x-3)} [/mm]

Die Zahl  3  ist keine Nullstelle dieser Funktion, weil
der Nenner in diesem Fall null ist. Division durch null geht
nicht, auch [mm] \bruch{0}{0} [/mm] nicht !

Im obigen Beispiel liegt bei x=3 ein Pol erster Ordnung (also
mit Vorzeichenwechsel) , aber
eben keine Nullstelle.

Ein Faktor (x-3) kürzt sich weg, aber ein weiterer solcher
Faktor steckt noch im Ausdruck [mm] (x^2-9). [/mm]

LG


  

Bezug
                
Bezug
x gleichzeitig Pol und Nullst.: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 So 06.07.2008
Autor: jarjar2008

Danke für deine Antwort,


Habe eine kleine Rückfrage mit trivialbeispiel:

Was wäre mit:
[mm] f(z)=\frac{z^2}{z} [/mm]

Ist das jetzt eine Nullstelle erster Ordnung, eine Polstelle erster Ordnung oder gar eine hebbare Singularität?

und was wäre mit

[mm] f(z)=\frac{x^2+1}{(x-i)^2} [/mm]

ist i jetzt eine Polstelle oder eine Nullstelle :)

Bezug
                        
Bezug
x gleichzeitig Pol und Nullst.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 So 06.07.2008
Autor: abakus


> Danke für deine Antwort,
>  
>
> Habe eine kleine Rückfrage mit trivialbeispiel:
>  
> Was wäre mit:
>  [mm]f(z)=\frac{z^2}{z}[/mm]
>  
> Ist das jetzt eine Nullstelle erster Ordnung, eine
> Polstelle erster Ordnung oder gar eine hebbare
> Singularität?

Da f für z=0 nicht definiert ist, kann es keine Nullstelle sein. Für alle anderen z ist die Funktion kürzbar zu f(z)=z (mit einer einzigen Lücke bei z=0), also hebbare Singularität.

>  
> und was wäre mit
>  
> [mm]f(z)=\frac{x^2+1}{(x-i)^2}[/mm]

Das ist das gleiche wie [mm]f(z)=\frac{(x-i)(x+i)}{(x-i)^2}[/mm] bzw. [mm] \frac{(x+i)}{(x-i)}, [/mm] falls x [mm] \ne [/mm] i.
Für x=i ist der Zähler ungleich Null, aber der Nenner Null, also Polstelle.
Gruß Abakus

>  
> ist i jetzt eine Polstelle oder eine Nullstelle :)


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