x mithilfe von determinante < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
ich habe folgendes Gleichungssystem:
[mm] -x^3-2*x^2-3*x-2=0
[/mm]
kann man sowas in einer Matrixform schreiben und dann die Determinante bestimmen?
Oder hilft mir die Determinante irgendwie bei Gleichungen?
Danke im Vorraus
Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Hallo
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> ich habe folgendes Gleichungssystem:
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> [mm]-x^3-2*x^2-3*x-2=0[/mm]
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> kann man sowas in einer Matrixform schreiben und dann die
> Determinante bestimmen?
> Oder hilft mir die Determinante irgendwie bei
> Gleichungen?
> Danke im Vorraus
> Philipp
Hallo,
nein, das ist nur eine Gleichung in einer Variablen, wobei das KEINE lineare Gleichung ist. Schauen wir uns das mal an:
[mm] $-x^3-2*x^2-3*x-2=0$
[/mm]
Für [mm] $x_0=-1$ [/mm] gilt:
[mm] $-(-1)^3-2*(-1)^2-3*(-1)-2=1-2+3-2=0$, [/mm] d.h. [mm] $x_0=-1$ [/mm] ist eine Lösung der Gleichung.
Nun führe eine Polynomdivision durch, indem Du die linke Seite der obigen Gleichung durch [mm] $(x-x_0)=(x-(-1))=x+1$ [/mm] teilst, als Ergebnis solltest Du erhalten:
[mm] $(-x^3-2*x^2-3*x-2):(x+1)=-x^2-x-2$
[/mm]
Also gilt
[mm] $-x^3-2*x^2-3*x-2=-(x+1)(x^2+x+2)$
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $-x^3-2*x^2-3*x-2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $-(x+1)(x^2+x+2)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(x+1)(x^2+x+2)=0$
[/mm]
Ein Produkt ist genau dann $=0$, wenn einer der Faktoren $=0$ ist. Also... (überlege mal ein bisschen weiter!)...
P.S.:
Es sollte am Ende herauskommen, dass [mm] $x_0=-1$ [/mm] die einzige reelle Zahl ist, die die Gleichung [mm] $-x^3-2*x^2-3*x-2=0$ [/mm] löst (im Komplexen hat die Gleichung genau drei Lösungen (inklusive Vielfachheiten)).
Ich schätze mal, es sollte $x [mm] \in \IR$ [/mm] sein?
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
danke für deine ANtwort, die Gleichung hatte ich schon selber gemacht, am Ende kommt was negatives unter der Wurzel(bei der pq) Formel.
Was ja bedeutet, dass es nur eine Lösung gibt.
Bei Linearen Gleichungen mit verschiedenen Variabeln, was genau gibt mir denn da die Determinante an?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Sa 12.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Determinante bestimmt nur, ob ein homogenes System (also rechte Seite bzw Glieder ohne x sind 0) eine Lösung hat. ist die Det 0 gibts eine sonst nicht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 So 13.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Hallo
> die Determinante bestimmt nur, ob ein homogenes System
> (also rechte Seite bzw Glieder ohne x sind 0) eine Lösung
> hat. ist die Det 0 gibts eine sonst nicht.
> Gruss leduart
Hallo Leduart,
man könnte das missverstehen, was Du schreibst, deswegen solltest Du es vielleicht umformulieren:
Ein HOMOGENES lineares Gleichungssystem hat nämlich immer eine Lösung: Man nehme einfach den entsprechenden Nullvektor.
(@ Philipp: Diese Lösung nennt man dann auch die "triviale Lösung".)
Du meinst, dass es im Falle, dass die Determinante den Wert 0 hat, es neben dieser Lösung noch andere Lösungen gibt. Und im Falle, dass die Determinante einen Wert [mm] $\not=0$ [/mm] hat, ist die triviale Lösung die einzige, die das HOMOGENE lineare Gleichungssystem löst.
@ Philipp:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29#Determinante_eines_Endomorphismus
Wenn Du nun eine Matrix $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] (mit einem festen $n [mm] \in \IN$) [/mm] hast, so beschreibt diese ja in folgender Weise ein HOMOGENES Gleichungssystem:
$n$ Gleichungen in $n$ Variablen, was man einfach so schreiben kann
[mm] $A*\vektor{x_1 \\ .\\ .\\.\\x_n}=\vektor{0\\.\\.\\.\\0}$
[/mm]
(kurz: $A*x=0$ mit $x,0 [mm] \in \IR^n$.)
[/mm]
($A$ hat die Gestalt:
[mm] $A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & . & . & . & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & . & . & . & a_{2n}\\ . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & .\\ a_{n1} & a_{n2} & . & . & . & a_{nn}}$, [/mm] also ist
[mm] $A*\vektor{x_1 \\ .\\ .\\.\\x_n}=\vektor{0\\.\\.\\.\\0}$
[/mm]
genau dann, wenn alle folgenden Gleichungen gelten:
(1) [mm] $a_{11} x_1 [/mm] + ... [mm] +a_{1n} x_n=0$
[/mm]
(2) [mm] $a_{21} x_1 [/mm] + ... [mm] +a_{2n} x_n=0$
[/mm]
.
.
.
(n) [mm] $a_{n1} x_1 [/mm] + ... [mm] +a_{nn} x_n=0$.)
[/mm]
Anhand der Determinante der Matrix $A$ kann man nun erkennen, ob dieses Gleichungssystem eine einzige Lösung, nämlich [mm] $x_1=...=x_n=0$ [/mm] hat (also nur $x=0 [mm] \in \IR^n$ [/mm] die Gleichung $A*x=0$ löst) (das ist der Fall, wenn [mm] $\det(A)\not=0$), [/mm] oder ob es auch noch Vektoren [mm] $x=\vektor{x_1 \\ .\\ .\\ .\\ x_n} \not=\vektor{0\\.\\.\\.\\0}=0 \in \IR^n$ [/mm] gibt, die $A*x=0$ lösen (die gibt es genau dann, wenn [mm] $\det(A)=0$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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