y = x hoch x < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
wie berechne ich generell:
wieviel hoch wieviel = eine gegebene Zahl ?
z.B. 3125 = 5 hoch 5 (wie finde ich "5" ?)
oder: wieviel hoch wieviel ist 2 ? (1,559609...)
Ich sah bisher noch keine Formel. Die Zusammenhänge "Logarithmus vom Logarithmus" sind mir schon bekannt, aber wie führe ich die Berechnung numerisch durch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Reinholddaniel und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> wie berechne ich generell:
> wieviel hoch wieviel = eine gegebene Zahl ?
>
>
> z.B. 3125 = 5 hoch 5 (wie finde ich "5" ?)
>
> oder: wieviel hoch wieviel ist 2 ? (1,559609...)
>
> Ich sah bisher noch keine Formel. Die Zusammenhänge
> "Logarithmus vom Logarithmus" sind mir schon bekannt, aber
> wie führe ich die Berechnung numerisch durch?
Nun, ich denke, dass du die Gleichung [mm]x^x=y[/mm] (bis auf Sonderfälle vllt., die durch Raten lösen kannst) nicht algebraisch schön geschlossen nach [mm]x=...[/mm] auflösen kannst.
Für [mm]x>0, y>0[/mm] kannst du es umschreiben in [mm]x^x=y[/mm]
[mm]\gdw e^{\ln\left(x^x\right)}=y[/mm]
[mm]\gdw e^{x\ln(x)}=y[/mm]
[mm]\Rightarrow x\ln(x)=\ln(y)[/mm]
Ab hier geht's nur mit numerischen Näherungsverfahren weiter.
Aber das ist wohl nicht Stoff der 10.Klasse.
Oder hast du schon vom Newtonverfahren gehört (oder vom Bisektionsverfahren)?
Man kann auch versuchen, es zeichnerisch zu lösen ...
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ich meine schon auch nichtganze Zahlen als Lösungswerte.
Auch für nicht-ganze Zahlen, z.B. wieviel hoch wieviel ist Pi.
Oder wieviel hoch wieviel ist "i" (Wurzel aus minus 1).
Gibt es eine schnell iterierende numerische Lösung ?
Muss doch für Ingenieur-Zwecke möglich sein.
Für den Fall, dass ein natürlicher oder technischer Vorgang sich im Verhältnis zu seiner eigenen Potenz positiv oder negativ verändert,
die Kurve dieser Funktion ist jedenfalls stetig (und sehr steil).
Vielen Dank schon mal allen, die zu dem Thema geantwortet haben!
|
|
|
| |
|
vorneweg:
> Gibt es eine schnell iterierende numerische Lösung ?
Es gibt nur schnell iterierende numerische Verfahren
Das führt für Schulmathematik glaube ich vieeeeel zu weit. Doch ich wüsste nicht anders zu antworten.
Wie schon angemerkt wurde, sind die Lösung nicht algebraisch zu finden. Da ich mich auf Grund eines anderen Threads hier schon mal mit der Lambert-W [mm]W(\cdot)\;[/mm] Funktion beschäftigt hatte, möchte ich für [mm]x^x=i[/mm] ein x explizit angeben:
[mm]x=\frac{i*\pi*0.5}{W(i*\pi*0.5)}[/mm]. Allerdings ist das auch wieder ne Umschreibung, da man mit der LambertW-Funktion so gut auch wieder nicht rechnen kann. Wenn man es ganz genau nimmt und das nur ne Umformulierung des Problems.
Der Ausdruck hat eine numerische Näherung:
x=1.360624870+1.119439166i
Beachte diese Zahl hat einen Imaginärenteil. Dafür braucht man den erweiterten Exponentialbegriff für komplexe Basen und komplexe Exponenten. Somit ist dieser Wert auch nicht eindeutig
[mm] $a^b=e^{b*\ln a}, \qquad a,b,\in \IC$. [/mm] Hier wird der Hauptwert vom Logarithmus genommen. Wie gesagt das führt für Mathematik einer 10. Klasse sehr weit.
Für [mm]x^x=\pi[/mm] analog:
[mm]x=\frac{\ln (\pi)}{W(\ln(\pi))}[/mm]
Dieser Wert ist reell: [mm]x\approx 1.854105968[/mm]
Ich wüsste nicht wo man eine praktische Anwendung außer "Vertreibung der Langeweile" ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]") findet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Nero12 |
Sollen die Exponenten ganzzahlig sein oder ist dir das egal ??
|
|
|
| |
|
Hallo Nero12,
auch an dich ein herzliches
> Sollen die Exponenten ganzzahlig sein oder ist dir das egal ??
Ganz allgemein kann man natürlich nicht davon ausgehen, dass die Exponenten ganzzahlig sind.
Da auch du noch in der Schule bist, ist aber nicht davon auszugehen, dass Aufgaben gestellt werden, wo die Gleichung [mm] y=x^x [/mm] irgendwelche krummen Lösungen für x hat.
Stattdessen gibt es meistens ganzzahlige Lösung und da kommt man mit Raten ganz gut weiter.
Bzw. mache die Primfaktorzerlegung:
[mm] 5^5=5*5*5*5*5
[/mm]
Das erfordert ein bisschen Kopfrechnen, sollte aber ganz gut gehen
>
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Nero12 |
Die Gleichung müste eigentlich heißen:
x= [mm] \wurzel[x]{2}
[/mm]
vieleicht hielft dir das aber ich glaube nicht das sich das so gut lösen läst
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
wenn du nur an natürlichen Zahlen [mm] $n\in\IN$ [/mm] interessiert bist, die für gegebenes [mm] $y\in\IN$ [/mm] die Gleichung
[mm] $n^n=y$ [/mm] erfüllen, so mache eine Primfaktorzerlegung von $y$.
Daran siehst du dann, ob's klappt 
Bei deinem Bsp ist [mm] $3125=5\cdot{}5\cdot{}5\cdot{}5\cdot{}5=5^5$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Mit dem Newtonschen Näherungsverfahren kannst du in wenigen Schritten eine sehr gute Näherungslösung (Taschenrechner-Genauigkeit) bekommen.
-------------------------------------------------------------------------------------
Sucht man zu einer Funktion f(x) eine Nullstelle und hat einen "günstigen" Wert x "in der Nähe" gefunden, so ist der Wert
[mm] \overline{x} [/mm] = x - [mm] \bruch{f(x)}{f'(x)} [/mm] ein (im Normalfall deutlich besserer) Näherungswert. Dies ist das Newtonsche Näherungsverfahren, falls du es nicht kennst, mache dich im Internet schlau.
-------------------------------------------------------------------------------------
Nun willst du das Problem [mm] x^x=a [/mm] lösen. Da die Ableitung von [mm] x^x [/mm] etwas unhandlich ist, formen wir es so um, wie das schon in einer anderen Antwort steht:
[mm] ln(x^x) [/mm] = ln(a) oder nach log-Regeln: x*ln(x) = ln(a).
Hieraus basteln wir nun die Funktion
f(x) = x*ln(x)-ln(a).
Wenn f(x)=0 ist, ist x*ln(x)-ln(a)=0 und damit eine Lösung gefunden. Also suchen wir nun eine Nullstelle von f und können somit das Newtonsche Näherungsverfahren anwenden. Dazu beginnen wir mit einem sinnvollen Startwert für x, grundsätzlich können wir immer 1 wählen, es dauert dann etwas länger.
Es ist nun f'(x)= [mm] 1*ln(x)+x*\bruch{1}{x} [/mm] = ln(x)+1 und damit
[mm] \overline{x} [/mm] = x - [mm] \bruch{f(x)}{f'(x)} [/mm] =x - [mm] \bruch{x*ln(x)-ln(a)}{ln(x)+1}= \bruch{x*ln(x)+x -x*ln(x)+ln(a)}{ln(x)+1}=\bruch{x+ln(a)}{ln(x)+1}
[/mm]
[mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \bruch{x+ln(a)}{ln(x)+1}
[/mm]
Du setzt nun z.B. 1 in die rechte Seite ein und erhältst den besseren Wert [mm] \overline{x}. [/mm] Diesen fasst du als neuen, besseren Startwert auf und setzt ihn wieder in die rechte Seite der Gleichung ein und erhältst einen besseren Wert für [mm] \overline{x}. [/mm] Dies wiederholst du so oft, bis sich der Wert im Taschenrechner nicht mehr ändert. Zur Kontrolle berechnest du nun noch [mm] x^x, [/mm] damit du siehst, wie gut du an a herankommst. Für a=3 und Startwert x = 1 war ich nach 4 Schritten fertig.
|
|
|
|
